2026年湖南省中考模拟数学自编试卷含答案（一）

这是一份2026年湖南省中考模拟数学自编试卷含答案（一），共14页。试卷主要包含了选择题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．如图所示的几何体为圆台，其俯视图正确的是
A．B．C．D．
2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．4cm，5cm，9cmB．8cm，8cm，15cmC．5cm，5cm，10cmD．6cm，7cm，14cm
3．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
5．湖南地处云贵高原向江南丘陵和南岭山脉向江汉平原过渡的地带，地势呈三面环山、朝北开口的马蹄形地貌，由平原、盆地、丘陵地、山地、河湖构成，地跨长江、珠江两大水系，属亚热带季风气候，界于北纬，东经之间，气候和地理位置决定了湖南湿冷的气候特性．下表是2012-2023年每年12月长沙平均最低气温统计情况（℃），则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．3，4B．4，3C．4，4D．4，5
6．若a，b是一元二次方程的两根，则的值为（ ）
A．2024B．2025C．2026D．2027
7．若函数是反比例函数，则m的值为（ ）
A．0B．1C．或1D．或
8．如图，在中，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是（ ）
A．B．
C．或D．或
10．如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线．有以下结论：
①；
②二次函数图象与轴的另一个交点是；
③；
④三点都在该二次函数的图象上，则．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．②④
二．填空题（每小题6分，满分18分）
11．因式分解：__________．
12．如图，在中，，分别是边，的中点，连接，．若，，则的长为________．
13．如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点F，交于点E，分别以点E，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点G，作射线交于点D．若，，则的长为______．
14．如图，点都在上，，则的度数等于______．
15．如图，在五边形中，，，分别平分和，则的度数为________．
16．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点A，B，与x轴，y轴分别交于点C，D，若，则k的值为____．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．先化简，再求值：，其中．
18．计算：．
19．如图，已知，点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于E，F两点，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线，交于点M．
问题解决：
(1)若，求的度数；
(2)若，垂足为点N，求证：．
20．幸福成都，美在文明！为助力成都争全国文明典范城市，某校采用四种宣传形式：A．宣传单宣传，B．电子屏宣传，C．黑板报宣传，D．志愿者宣传．每名学生从中选择一种最喜欢的宣传形式，学校就最喜欢的宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请结合图中所给信息，解答下列问题：
(1)本次调查的学生共有______人，请补全条形统计图；
(2)扇形统计图中，“D．志愿者宣传”对应的扇形圆心角度数为______；
(3)本次调查中，在最喜欢“志愿者宣传”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，若从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的志愿者活动，请用列表或画树状图的方法，求选出两人恰好是甲和乙的概率
21．如图，已知内接于，是的直径，点E在上，过E作的切线，交的延长线于点F，；
(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
22．为落实“五育并举”，提升学生的身体素质，某校在课后服务中大力开展球类运动，现需要购买一批足球、篮球和排球．已知购买1个足球和1个篮球共需140元；购买2个足球和3个篮球共需340元．
(1)求每个足球和每个篮球的价格各是多少元；
(2)若该学校需一次性购买足球、篮球共100个，且购买足球不少于30个，也不多于60个，设购买足球个，购买这两种球的总费用为元，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
(3)若该校购买这一批足球、篮球和排球的总资金为8000元，每个排球的价格为40元，在（2）的条件下，学校最多可以购买多少个排球？
23．已知：如图，正方形的边长为，在射线上取一点，连接，将绕点逆时针旋转，点落在处，连接，与对角线所在的直线交于点，与射线交于点．求证：
(1)当时，求的值；
(2)当点在线段上，如果，，求关于的函数解析式，并写出定义域；
(3)连接，直线与直线交于点，当时，求的值．
24．如图，中，，为的直径，在上且为的中点，过点作，连接，于点．
(1)求证：为的切线；
(2)记的面积分别为，若，求的值：
(3)若的半径为1，设，试求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
25．我们约定：当，，，满足，且时，称点与点一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题：
(1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）；
①函数（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；________
②函数一定是“对偶函数”；________
③函数的图象上至少存在两对“对偶点”；________
(2)若关于x的一次函数是“对偶函数”，它与二次函数的图象相交于A、B两点，且A、B两点间的距离为，求该一次函数的解析式；
(3)已知点、，若关于x的二次函数是“对偶函数”，且与线段有且仅有一个交点，求实数a的取值范围．
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
3
4
3
3
5
5
4
4
4
4
2
4
参考答案
一、选择题
1．C
2．B
3．D
4．D
5．C
6．B
7．B
8．C
9．D
10．B
二、填空题
11．
12．8
13．
14．
15．
16．2
三、解答题
17．【详解】解：
当时，
原式．
18．【详解】解：
．
19．【详解】（1）解：∵，
，
∵，
，
由题意平分，
．
（2）证明：平分，
，
∵，
，
，
，
，
在和中，
，
．
20．【详解】（1）本次调查的学生共有：（人），
喜欢B．电子屏宣传的人数有：（人），
补全条形统计图如图所示：
故答案为：50
（2）“D．志愿者宣传”对应的扇形圆心角度数为；
故答案为：；
（3）列表得：
共有12种等可能的结果，其中恰好是甲和乙的有2种，
∴被选取的两人恰好是甲和乙的概率是．
21．【详解】（1）证明：连接，交于点G，如图：
，
∵与相切于点E，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴的长为．
22．【详解】（1）解：设每个足球为元，每个篮球为元，根据题意得，
解得
答：每个足球的价格为80元，每个篮球的价格为60元．
（2）解：设购买足球个，则购买篮球为个，根据题意得，
总费用为；
（3）解： 由解析式得，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，购买足球、篮球资金最少，最少为（元），
此时购买排球资金最多，可购买排球的个数为（个），
答：最多可以购买35个排球．
23．【详解】（1）解：如图：过点E作于H，
∵正方形的边长为1，，
∴，
∵为正方形对角线，
∴平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如上图：∵，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴， ，
∴，
在中，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，即
∴，
∴．
（3）解：①如图：当点G在上，，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵由（2）知，
∴，
∵，
∴，,
∴，
∴，
∵，
∴，整理得：，解得：，舍去．
②当点G在延长线上，，过M作，交直线于L，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵， ，，
∴，整理得：，解得，舍去，
∴的值为或．
24．【详解】（1）证明：如图，连接，
点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
，
，
又是半径，
为的切线；
（2）解：，
，
，即，
，
，
，
，
解得：或（舍），
设，，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
；
（3）解：的半径为1，
，
点是的中点，，
，
在中，，
，
，
，
由（2）可知，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得，，
，
，，
．
25．【详解】（1）解：，且，，
，，
，，
即点与点在函数图象上，且，
①函数（k是非零常数），
点在函数图象上，得，即，
则点也在函数图象上，
即函数（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”，故①“√”；
②函数，点和点在图象上，
则函数存在“对偶点”，
所以函数一定是“对偶函数”，故②“√”；
③函数，
点与点在函数图象上，
，
①代入②得，
即，
即，
或，
解得或，
当时，，即，不符合“对偶点”，
当时，点与点为“对偶点”，
函数的图象上只有一对“对偶点”， 故③“×”；
（2）解：关于x的一次函数是“对偶函数”，
在一次函数图象上，
，
得，
又，
，
当时，，设，
把代入，
得，
，
设，
，
解得，即，
综上，该一次函数的解析式；
（3）解：关于x的二次函数是“对偶函数”，
点与点在函数图象上，
，
得，即，
又，
，即，
，解得，
当时，即，
解得，此时，，不符合题意；
，
又二次函数与线段有且仅有一个交点，
（i）如图，
时，，解得，
（ii）如图，
设的解析式为，
，解得，
，代入，得，
，解得；
综上，或．
甲
乙
丙
丁
甲
（甲，乙）
（甲，丙）
（甲，丁）
乙
（乙，甲）
（乙，丙）
（乙，丁）
丙
（丙，甲）
（丙，乙）
（丙，丁）
丁
（丁，甲）
（丁，乙）
（丁，丙）