湖南省长沙市2026年中考一模数学试卷附答案

这是一份湖南省长沙市2026年中考一模数学试卷附答案，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列互为倒数的是（ ）
A．和B．和C．和D．和
2．《哪吒之魔童闹海》在2025年春节期间在各大影院上映，广受大家喜爱，成为中国史上票房最高的国产电影，哪吒的莲花宝座可以抽象视为一个“正六边形”，下列选项中俯视图为正六边形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．若 是反比例函数，则m必须满足（ ）
A．m≠0B．m＝－2C．m＝2D．m≠－2
6．如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，，以的各边为边在外作三个正方形，、、分别表示这三个正方形的面积，若，，则的值是（ ）
A．5B．8C．10D．20
8．关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．且D．且
9．某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点和的两地同时出发，参加活动．甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前到达活动地点．若设乙同学的速度是，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．地球的海洋面积为361000000km2，数字361000000用科学记数法表示为 ．
12．分解因式： ．
13．一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是 度．
14．某篮球队五名队员的年龄分别为17，15，17，16，15，则这五名队员年龄的中位数是 ．
15．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ．
16．小志和小强进行了十次剪刀石头布的对决，已知：①小志出了6次石头，1次剪刀，3次布：②小强出了4次石头，3次剪刀，3次布：③10次对决中没有平局；④你不知道他们的出拳顺序，则这十次对决中小志赢了 次．
三、解答题（本大题共9个小题，第17，18，19题每小题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题9分，第24，25题每题10分，共72分）
17．计算：．
18．先化简，再求值，其中．
19．游艇在湖面上向正东方向航行，在O处，看到灯塔A在游艇北偏东方向上，航行1小时到达B处，此时看到灯塔A在游艇北偏西方向上，且O与B之间距离6千米，
（1）由题意知： 度， 度；
（2）求灯塔A到航线的距离（答案保留根号）．
20．某校九年级计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D四个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生共有__________人，研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为__________；
（2）若该年级共有800名学生，请估计最喜欢去C地研学的学生人数；
（3）九（1）班研学归来，班主任组织学生进行研学收获及感悟交流分享会，A小组有两名男同学和两名女同学，从A小组中随机选取2人谈收获及感悟，请用列表法或画树状图法，求恰好抽中两名同学为一男一女的概率．
21．如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，．
（1）求证：；
（2）若，， 求的长
22．端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元．
（1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？
（2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？
23．如图，，平分，分别以点、为圆心，以大于的长为半径在两侧作圆弧，交于点，点．作直线，分别交于，点，，连结，．
（1）请判断四边形的形状，并说明理由；
（2）设的面积为，四边形的面积为，若，求的值．
24．我们约定：若点A为，点B为，我们称点B是点A的“L点”；我们发现：若点A在抛物线上，点B始终在抛物线上，那么我们称抛物线是抛物线的“X抛物线”．
（1）点的“L点”是______；抛物线l：的“X抛物线”是______；
（2）已知抛物线经过点，若点与点在其“X抛物线”上，且，求p的取值范围．
（3）已知点在抛物线：图像上，点A的“L点”为点．若该抛物线的顶点为，该抛物线的“X抛物线”的顶点为．
①当时，求n的取值范围；
②当c取不同的值时，所有顶点组成新的抛物线，记的顶点为H且与x轴交于G，K两点，抛物线所有顶点组成新的抛物线，记的顶点为F且与x轴交于R，T两点，若线段，构成直角三角形时，求t的值
25．在中，，，，O为线段上的动点，圆O的半径为，与射线交于点M，圆A的半径为，与射线交于点N．
（1）如图1，当时，判断圆O与圆A的位置关系；
（2）如图2，当圆O与圆A存在公共弦时，与交于点H．
①设，，求y关于x的关系式，并写出x的取值范围；
②若，求两圆重合部分的周长l．
③设圆A与边交于点F，连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求圆O的半径．
答案
1．【答案】A
【解析】【解答】解：A．因为，所以3和是互为倒数，因此选项符合题意；
B．因为，所以与2不是互为倒数，因此选项不符合题意；
C．因为，所以3和不是互为倒数，因此选项不符合题意；
D．因为，所以和不是互为倒数，因此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据互为倒数的两数相乘等于1求解即可。
2．【答案】D
【解析】【解答】解： A．该几何体的俯视图是一个圆，故此选项不符合题意；
B．该几何体的俯视图是一个正方形，故此选项不符合题意；
C．该几何体的俯视图是一个矩形，故此选项不符合题意；
D．该几何体的俯视图是一个正六边形，故此选项符合题意．
故答案为：D。
【分析】根据俯视图的定义：俯视图是指从物体上面向下面正投影得到的投影图，据此即可求解。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：ABC选项不能在平面上找到一个点，使图形绕着某一个点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，则ABC不是中心对称图形，D选项能在平面上找到一个点，使图形绕着某一个点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，则D是中心对称图形，
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此逐项进行判断即可.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：A．，原式运算错误，不符合题意；
B.，原式运算错误，不符合题意；
C.，原式运算错误，不符合题意；
D.，计算正确，符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据合并同类项、积的乘方和幂的乘方、去括号、以及同底数幂的乘法的计算方法，即可判断
5．【答案】D
【解析】【解答】依题意有m＋2≠0，
所以m≠－2．
故选D．
【分析】根据反比例函数的定义．即y＝kx（k≠0），只需令m＋2≠0即可．
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故答案为：A。
【分析】根据圆内接四边形对角互补，可求出的度数，再根据是的直径，可知，最后再根据三角形的内角和公式，即可求解。
7．【答案】C
【解析】【解答】解：，，，，分别表示三个正方形的面积，
，，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】先根据图形及正方形的面积公式求出，，，再结合，以及，求出的值即可.​​​​​​​
8．【答案】D
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
即，
解得：，
的取值范围是且．
故答案为：D．
【分析】
根据一元二次方程的定义得到得到；再由根的判别式的意义得到，即，然后解不等式即可得到的取值范围．
9．【答案】A
【解析】【解答】解：设乙同学的速度是，则甲同学的速度为，根据题意得：
故答案为：A．
【分析】设乙同学的速度是，则甲同学的速度为，根据时间=路程÷速度，最后再根据“乙同学比甲同学提前到达活动地点”，建立分式方程：，即可求解
10．【答案】D
【解析】【解答】解：由一次函数的图象可知，，
则抛物线与轴的交点在原点上方，故排除AB选项；
∵，，
∴，
∴抛物线的对称轴直线，
即对称轴位于轴左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意；
故答案为：D。
【分析】根据一次函数的图象，可先确定a和b的符号；再根据二次函数与y轴的交点和抛物线开口方向，可确定a和b的符号，进而确定ab的符号；最后再根据二次函数的对称轴公式：，确定对称轴的位置，从而即可判断。
11．【答案】3.61×108
【解析】【解答】361 000 000将小数点向左移8位得到3.61，
所以361 000 000用科学记数法表示为：3.61×108，
故答案为：3.61×108．
【分析】利用学科记数法的表达方法求解即可。
12．【答案】
【解析】【解答】解：由题意知，，
故答案为：．
【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解即可．
13．【答案】36
【解析】【解答】解：设扇形的圆心角为．
由题意得：，
解得：。
故答案为：。
【分析】设扇形的圆心角为，根据弧长公式：，代入数据即可求解
14．【答案】16
【解析】【解答】解：将所给5个数据从小到大排列：15，15，16，17，17，第3个数据是16，
∴中位数为16，
故答案为：16。
【分析】先对五名队员的年龄从小到大排序，然后再根据中位数的定义：5个数中的中间的数，即可求解。
15．【答案】20
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴，
如图，过作于点，交于点，
∴，，
∴，即，
∴（），
即小孔到的距离为，
故答案为：．
【分析】由题可得，过作于点，交于点，利根据相似三角形的对应边上高的比等于相似比解题即可.
16．【答案】6
【解析】【解答】解：∵10次对决中没有平局，
∴小志6次石头只能对应小强的3次剪刀3次布，
∴这6局中小志赢3局，
同理，小志1次剪刀，3次布只能对应小强4次石头，
∴这4局中小志赢3局，
∴小志共赢了局．
故答案为：6。
【分析】根据题干中的已知条件，可知10次对决中没有平局，而小志6次石头只能对应小强的3次剪刀3次布，6局中小志赢3局；小志1次剪刀，3次布只能对应小强4次石头，这4局中小志赢3局，据此可求出小志赢的局数。
17．【答案】解：原式＝
【解析】【分析】利用零指数幂、特殊角三角函数值、绝对值及负整数指数幂的性质先计算，再计算加减即可.
18．【答案】原式，
当时，原式
​​​​​​​
【解析】【分析】首先对括号内的式子进行通分相加，把除法转化为乘法，进行约分，最后代入数值计算即可．
19．【答案】（1）60；30
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴
过点作于点E，如图，
∵
∴，
∴，
在中，
∴灯塔A到航线的距离千米
【解析】【解答】（1）解：∵在O处，看到灯塔A在游艇北偏东方向上，
∴；
∵在B处，看到灯塔A在游艇北偏西方向上，
∴
故答案为：60；30。
【分析】（1）根据方向角的表示方法为：以南北方向线为基准，后接东西方向，角度写在中间，据此即可求解。
（2）根据，，求出的度数，然后再根据三角形内角和定理，求出的度数，再根据“角所对直角边等于斜边一半”求出的长度，过点作于点E，根据再一次根据“角所对直角边等于斜边一半”求出的长度，在中，根据勾股定理：，代入数据即可求解
（1）解：∵在O处，看到灯塔A在游艇北偏东方向上，
∴；
∵在B处，看到灯塔A在游艇北偏西方向上，
∴
故答案为：60；30；
（2）解：∵；，
∴，
∴，
∴
过点作于点E，如图，
∵
∴，
∴，
在中，
∴灯塔A到航线的距离千米
20．【答案】（1）100；
（2）解：（人），
答：估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人．
（3）解：列表如下：
由上表可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一男一女的结果有8种，
刚好抽中两名同学为一男一女的概率为：（一男一女）．
答：刚好抽中两名同学为一男一女的概率为．
​​​​​​
【解析】【解答】（1）解：此次被调查的学生共有（人）；
研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为．
故答案为：100；；
【分析】（1）利用“选择地点B的学生人数其其占比”求解即可；利用“选择地点A的学生占比”求解即可；
（2）利用“该校学生总数×选择地点C的学生占比”，即可求得答案；
（3）根据题意列表，结合表格即可获得答案．
（1）解：此次被调查的学生共有（人）；
研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为．
故答案为：100；；
（2）解：（人），
答：估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人．
（3）解：列表如下：
由上表可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一男一女的结果有8种，
刚好抽中两名同学为一男一女的概率为：（一男一女）．
答：刚好抽中两名同学为一男一女的概率为．
21．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴。
（2）解：∵，，
∴，
，
∴，，
∴。
【解析】【分析】（1）根据，易证；再根据，易证，然后根据易证；
（2）根据，，得出，根据，易得，，最后再根据BC=BD+CD，代入数据即可求解
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
，
∴，，
∴．
22．【答案】解：（1）设肉粽和蜜枣粽的进货单价分别为x、y元，则根据题意可得：
解此方程组得：.
答：肉粽得进货单价为10元，蜜枣粽得进货单价为4元。
（2）设第二批购进肉粽t个，第二批粽子得利润为W，则
，
∵k=2>0，
∴W随t的增大而增大，
由题意，解得，
∴当t=200时，第二批粽子由最大利润，最大利润，
答：第二批购进肉粽200个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大，最大利润为1000元。
【解析】【分析】（1）设肉粽和蜜枣粽的进货单价分别为x、y元，根据“用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元”，建立方程组：，然后再进行解方程即可。
（2）设第二批购进肉粽t个，则购进枣粽为（300-t），第二批粽子得利润为W，根据利润=售价-进价，再根据（1）可知，用肉粽的单价利润乘以购进的肉粽的数量，再加上枣粽单价利润乘以购进枣粽的数量，然后再建立等量关系：，然后再根据一次函数的性质，再结合“肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍”，建立不等式，即可求出t的取值范围，进而可求出最大利润
23．【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
由题意可知：垂直平分，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
同理可得，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形。
（2）解：由（1）可知：四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
由
可设，则有，
∴，
∴，
∴。
【解析】【分析】（1）根据题干中的作图方法，易得，从而可得，，再根据平分，可得，进而可得，易证四边形是平行四边形，最后再根据菱形的判定定理：有一组邻边相等的平行四边形的是平行四边形，据此即可证明。
（2）根据（1）易得，进而可得，易得的值，设，可得，进而根据相似三角形的性质：，代入数据即可求解
（1）解：四边形是菱形，理由如下：
由题意可知：垂直平分，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
同理可得，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：由（1）可知：四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
由可设，则有，
∴，
∴，
∴．
24．【答案】（1）；
（2）解：将点代入，得，
，
，
原抛物线上点A，
其“L点”B的坐标为，
“X抛物线”方程为，
点与点在其“X抛物线”上，
分别代入，
得，，
，
，
。
（3）解：①点A的“L点”为点．，，
，
代入抛物线：，
得，
，
的顶点为，
，，
由题意得：的表达式为，
的顶点为，
，，
即，
当时，即，的最大值在顶点时为1，最小值在时为，
故的取值范围为；
②新的抛物线为，顶点为，
令，
解得，，
，
即与轴交点长度为，
新的抛物线为，顶点为，
令，
解得，，
，即与轴交点长度为2，
，
当线段即，构成直角三角形时，
可能的组合为，
解得，
或，
解得，
t的值为或。
【解析】【解答】（1）解：根据“L点”定义，点的“L点”坐标为∶横坐标不变为，
纵坐标为，
故“L点”为；；
原抛物线，
设其上任意点A，其“L点”B的坐标为，即，
“X抛物线”方程为．
故答案为：，。
【分析】（1）根据“L点”和“X抛物线”的定义：用A点的横纵坐标相加，横坐标保持不变，据此求出“L点”的坐标；设A点坐标为：，然后再根据“L点”的定义，求出“L点”的坐标，即可求出“X抛物线”
（2）将点代入，求出原抛物线，然后再根据“X抛物线”的定义，即可求出其“X抛物线”，再将点与点分别代入其“X抛物线”，最后再根据建立不等式即可求p的取值范围；
（3）①根据点A的“L点”为点．可得的值，进而可得，，根据“X抛物线”的定义得的方程为，根据的顶点为，可得，，，即进而可得的值，根据二次函数的性质可得当时，即，的最大值在顶点时为1，最小值在时为，即可得出的取值范围；
②根据题意，可令，解方程，即可求与轴交点长度，再令，同理，可求与轴交点长度，最后再根据线段即，GK，RT构成直角三角形时，可能的组合为或，分别解方程即可求解。
（1）解：根据“L点”定义，点的“L点”坐标为∶横坐标不变为，
纵坐标为，
故“L点”为；；
原抛物线，
设其上任意点A，其“L点”B的坐标为，即，
“X抛物线”方程为．
故答案为：，；
（2）解：将点代入，
得，
，
，
原抛物线上点A，
其“L点”B的坐标为，
“X抛物线”方程为，
点与点在其“X抛物线”上，
分别代入，
得，，
，
，
；
（3）解：①点A的“L点”为点．
，，
，
代入抛物线：，
得，
，
的顶点为，
，，
由题意得：的表达式为，
的顶点为，
，，
即，
当时，即，的最大值在顶点时为1，最小值在时为，
故的取值范围为；
②新的抛物线为，顶点为，
令，
解得，，
，
即与轴交点长度为，
新的抛物线为，顶点为，
令，
解得，，
，即与轴交点长度为2，
，
当线段即，构成直角三角形时，
可能的组合为，
解得，
或，
解得，
t的值为或．
25．【答案】（1）解：圆O与圆A外切，理由如下：
当时，
∴圆O的直径为，圆A的半径为，
∵，
∴圆O与圆A外切。
（2）解：①由题意得，则四边形是菱形，
设，
，
，，
在中，由勾股定理得，，
∴，
整理得；
②∵，
∴，，则是等边三角形，
设，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴的长；
∴两圆重合部分的周长；
③当时，如图，
∴圆O的半径为；
当时，如图，圆O与圆A重合，
∴圆O的半径为；
当时，如图，连接，作于点，
，
，，
∵，，，
∴，
设，，
∵，
∴，
解得，
∴，，
由题意得是线段的垂直平分线，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
设，则，
同理，
解得．
综上，当是以为腰的等腰三角形时，圆O的半径为或或。
【解析】【分析】（1）用圆O的半径加上圆A的半径，即可判断根据两圆的位置关系
（2）①根据题意，易得四边形是菱形，根据，设，在中，由勾股定理：，代入数据即可求解；
②根据三角函数的定义，可得，然后再根据特殊角的三角函数，求出的度数，易证是等边三角形，设，分别求出PH和AH的长，然后再根据，再根据勾股定理求得，再利用弧长公式求解即可；
③根据、、三种情况进行分析：当时，易得圆O的半径OB的长；当时，圆O与圆A重合，据此即可求出AB的长；当时，连接，作于点，根据三角函数的定义，求出，设，，根据勾股定理，可得AC和BC的长，然后再根据垂直平分线定理，可得，根据勾股定理，易得，代入数据即可求出的长度，再结合，根据勾股定理：
，代入数据即可求解，设，则，根据勾股定理，，即可求出圆O的半径
（1）解：圆O与圆A外切，理由如下：
当时，
∴圆O的直径为，圆A的半径为，
∵，
∴圆O与圆A外切；
（2）解：①由题意得，则四边形是菱形，
∴，，，，
在中，由勾股定理得，，
∴，
整理得；
②∵，
∴，，则是等边三角形，
设，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴的长；
∴两圆重合部分的周长；
③当时，如图，
∴圆O的半径为；
当时，如图，圆O与圆A重合，
∴圆O的半径为；
当时，如图，连接，作于点，
，，，
∵，，，
∴，
设，，
∵，
∴，
解得，
∴，，
由题意得是线段的垂直平分线，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
设，则，
同理，
解得．
综上，当是以为腰的等腰三角形时，圆O的半径为或或．男1
男2
女1
女2
男1
男1男2
男1女1
男1女2
男2
男2男1
男2女1
男2女2
女1
女1男1
女1男2
女1女2
女2
女2男1
女2男2
女2女1
男1
男2
女1
女2
男1
男1男2
男1女1
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男2
男2男1
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