2026年广东省深圳市中考模拟数学压轴练习一

这是一份2026年广东省深圳市中考模拟数学压轴练习一，共14页。

A．41mB．42mC．43mD．77m
2．（2026深圳模拟）如图，把圆分成n（n≥3）等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形叫做这个圆的外切正n边形．如图，⊙O的半径为R，则它的外切正n边形的边长是（ ）
A．2Rtan(90°−180°n)B．2R⋅tan(90°−180°n)
C．2Rsin(90°−180°n)D．2Rtan180°n
3．（2026深圳模拟）如图①，在▱ABCD中，AC是对角线，动点P从点A出发，沿折线A→B→C→D匀速运动至点D停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为x（s），△ADP的面积为y（cm2），y与x的函数图象如图②所示．当AP恰好平分∠BAC 时，BP 的长为（ ）
A．2cmB．23cmC．(23−2)cmD．4cm
4．（2026深圳模拟）如图，在4×4的方格中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形，O，A，B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的面积等于（ ）
A．2πB．2πC．22πD．22π
5．（2026深圳模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，且OC＝42，那么BC的长等于（ ）
A．32B．5C．25D．92
二．填空题（共6小题）
6．（2026深圳模拟）如图，已知△OAB的一边AB平行于x轴，且反比例函数y=kx经过△OAB顶点B和OA上的一点C，若OC＝2AC且△OBC的面积为103，则k的值为 ．
7．（2026深圳模拟）如图，菱形ABCD中，tan∠ABD=815，点E在边AD上，点F在对角线BD上，作AG⊥BE，EG∥AF交AG于点G．若AGBE=815，则DEBF= ．
8．（2026深圳模拟）如图，矩形ABCD的顶点B，C在x轴的负半轴上，AD＝3，AB＝8，反比例函数y=kx的图象经过DC的中点E，交AB于点F，AF＝7，则k的值为 ．
9．（2026深圳模拟）如图，在平面直角坐标系中，A（4，3），⊙P与射线OA以及y轴的正半轴始终相切，过点B（6，0）作⊙P的切线，切点为Q，则切线长BQ的最小值为 ．
10．（2026深圳模拟）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DA，AB上，且DE＝AF，作AG⊥EF于点H，交BC于点G．若AB＝6，EF：AG＝2：3，则BG的长为 ．
11．（2026深圳模拟）如图，一张矩形纸片ABCD中，BCAB=m（m为常数）．将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在BC边上的点H处，点D的对应点为点M，CD与HM交于点P．当点H落在BC的中点时，且CPCD=13，则m＝ ．
三．解答题（共6小题）
12．（2026深圳模拟）【情境与问题】
在研究二次函数y＝2x2+1时，小明得到了下表：
观察上表，自变量x从左到右依次取连续的整数，若保持这一规律不变，继续扩展表格，那么，表格中的数据间会有什么特殊规律吗？
【探索与发现】
如上表，用一个倒“T”形的套色方框（如图）框住了表格中的四个数，若将套色方框左右移动，可框住另外四个数．设四个数中，上面的数为t，下面三个数从左到右依次为l，m，n（如图）．
（1）写出n与t间的函数关系式为 ．
（2）小明发现：l+n2−m为定值．小明的发现正确吗？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．
【联系与拓广】
（3）①t为何值时，n﹣2m的值最大？
②若二次函数y＝ax2+bx+c在x＝2026，2028，2030时的函数值分别为p，q，r，且p+r2−q=10，则a＝ ．
13．（2026深圳模拟）（1）发现：如图1所示，BD是矩形ABCD的对角线，作AF⊥BD交BD于点F，交BC于点E．求证：△ABE∽△BCD；
（2）探究：如图2，点G是矩形ABCD边BC上一点，连接DG，过点D作AF⊥DG交BC于点G，ABBC=611，探究AEDG的值；
（3）拓展：在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点P为BC边上的三等分点，点E和F分别为直线AD和BC上的点，将矩形ABCD沿直线EF翻折，点P恰好落在边CD上的点Q处，求EFPQ的值．
14．（2026深圳模拟）在一次设计公园休闲凉亭的数学实践课上，老师提供了两个素材．
素材1：某公园计划修建一个如图所示的凉亭，凉亭正中间立柱OA的高为256m，立柱左右两侧是关于立柱对称的抛物线形凉伞，凉伞的最高点距离地面4.5m，且最高点到立柱OA的水平距离为1m．
素材2：为使凉伞更加美观牢固，在凉伞最外侧的C，E（C，E两点分别在这两条抛物线上）处，分别修建了高度均为3.5m的支架CD，EF．
小艺同学建立了如图所示的平面直角坐标系，请你帮他解答下列各题：
（1）求在第二象限的抛物线的表达式（不要求写自变量x的取值范围）．
（2）求CD与EF之间的距离．
（3）若P是第二象限的抛物线上一点，P′是点P关于立柱OA的对称点，且PP′在点A的下方，CE的上方，过点P，P′分别作PM⊥CE于点M，P′N⊥CE于点N．为迎接春节，在PP′，PM，P′N上悬挂迎新年的主题彩带，求彩带长（PP′+PM+P′N）的最大值．
15．（2026深圳模拟）【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O1的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形OEBF为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点O旋转．
【问题发现】
（1）①线段AE，BF之间的数量关系是 ．
②在①的基础上，连接EF，则线段AE，CF，EF之间的数量关系是 ．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O1的一个顶点，A1O与边AB相交点E，C1O与边BC相交于点F，连接EF，延长C1O交AD于点P，连接EP，AC，矩形A1B1C1O1可绕点O旋转．判断线段AE，CF，EF之间的数量关系并证明．
【拓展应用】
（3）如图3，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，直角∠EDF的顶点D在边AB的中点处，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，∠EDF可绕点D旋转．当AE＝4时，请直接写出线段BF的长．
16．（2026深圳模拟）如图1，已知排球场的长度为18m，宽9m，位于球场中线处的球网AB的高，度为2.24m．一球员定点发球技术非常稳定，当他站在底线中点O处发球时，排球运动轨迹是如图2的抛物线，C点为击球点，OC＝1.8m，球飞行到达最高点F处时，其高度为2.6m，F与C的水平之距为6m，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系（排球大小）忽略不计）．
（1）当他站在底线中点O处向正前方发球时，
①求排球飞行的高度y与水平距离x之间的函数关系式（不用写x的取值范围）．
②这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？并说明理由．
（2）假设该球员改变发球方向和击球点高度时球运动轨迹的抛物线形状不变，在点O处上方击球，要使球落在①号区域（以对方场地的边线底线交点M为圆心，半径为1.5m的扇形）内，球员跳起的高度范围是多少？（17≈4.12，结果保留两位小数）
17．（2026深圳模拟）如图1，在矩形OABC中，OC＝3OA＝15，对角线AC，OB交于点D，E是AO延长线上一点，连结CE，DE，已知AE＝CE，MN为半圆O的直径，CE切半圆O于点F．
（1）求证：△ADE∽△AOC．
（2）求半圆O的直径．
（3）如图2，动点P在CF上点C出发向终点F匀速运动，同时，动点Q从M出发向终点N匀速运动，且它们恰好同时停止运动．
①当PQ与△ABD的一边平行时，求所有满足条件的MQ的长．
②作点F关于PQ的对称点F'，当点F'落在半圆O上时，直接写出PQPC的值．
2026年深圳中考压轴模拟训练一
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
一．选择题（共5小题）
1．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面120m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行73m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M，N，A，B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为（ ）（结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40）
A．41mB．42mC．43mD．77m
【分析】延长BA交MN于点C，则BC⊥MN，由题意得，BC＝120m，MN＝73m，分别解Rt△CNB和Rt△AMC，依次求出CN、MC、AC，最后根据线段的和差关系即可求解．
【解答】解：延长BA交MN于点C，则BC⊥MN，
由题意得，BC＝120m，MN＝73m，
在Rt△CNB中，∠CNB＝45°，
∴∠CNB＝∠CBN＝45°．
∴CN＝BC＝120m．
∴MC＝MN+CN＝73+120＝193（m），
在Rt△AMC中，∠AMC＝22°，
∴AC＝MC•tan22°≈193×0.4＝77.2（m），
∴AB＝BC﹣AC＝120﹣77.2≈43（m），
即潮汐塔AB的高度约为43m．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
2．如图，把圆分成n（n≥3）等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形叫做这个圆的外切正n边形．如图，⊙O的半径为R，则它的外切正n边形的边长是（ ）
A．2Rtan(90°−180°n)B．2R⋅tan(90°−180°n)
C．2Rsin(90°−180°n)D．2Rtan180°n
【分析】根据正多边形的性质，直角三角形的边角关系进行计算即可．
【解答】解：如图，设正n边形的边AB与内切圆⊙O相切于点M，连接OA、OB、OM，则OM＝R，
在Rt△AOM中，OM＝R，∠AOM=12∠AOB=12×360°n=180°n，
∴AM＝OM•tan180°n，
AB＝2AM
＝2R•tan180°n
＝2R•1tan(90°−180° n)
=2Rtan(90°−180° n)，
故选：A．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形的性质，中心角的计算方法以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
3．如图①，在▱ABCD中，AC是对角线，动点P从点A出发，沿折线A→B→C→D匀速运动至点D停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为x（s），△ADP的面积为y（cm2），y与x的函数图象如图②所示．当AP恰好平分∠BAC 时，BP 的长为（ ）
A．2cmB．23cmC．(23−2)cmD．4cm
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，过点P作PG⊥AC于点G，连接BD，由图象可得 AB＝CD＝2cm，BC＝4cm，利用三角形等面积法求出AH=3cm，解直角三角形求出∠ABC＝60°，∠BAH＝30°，求出BH＝1cm，进而求出CH＝3cm，解直角三角形求出∠ACB＝30°，进而求出∠BAC＝90°，由角平分线的定义得到∠BAP＝∠CAP＝45°，设PG＝x，则CP＝2x，求出PH＝3﹣2x，AP=2x，利用勾股定理建立方程求出x的值，进而得到PH，即可求解．
【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，过点P作PG⊥AC于点G，连接BD，
当点P在BC上运动时，△ADP的面积为定值，
由图象可得点P运动到点B时，运动时间为2s，△ADP的面积为23cm2，
∴AB＝CD＝2cm，
∴BC＝4cm，
∵在▱ABCD中，S△ABD=S△ABC=12AH⋅BC=23cm2，
∴AH=3cm，
∵sin∠ABC=AHAB=32，
∴∠ABC＝60°，
∴∠BAH＝30°，
∴BH=12AB=1cm，
∴CH＝BC﹣AH＝3cm，
∵tan∠ACB=AHCH=33，
∴∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝90°，
∵AP恰好平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠CAP＝45°，
设PG＝x，则CP＝2x，
∴PH＝3﹣2x，AP=2x，
∵PH2+AH2＝AP2，
∴(3−2x)2+(3)2=(2x)2，即x2﹣6x+6＝0，
解得：x=3−3或x=3+3＞3（舍去），
∴PH=3−6+23=(23−3)cm，
∴BP=BH+PH=1+23−3=(23−2)cm，
故选：C．
【点评】本题考查了动点函数图象间关系，平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形，解一元二次方程，掌握函数图象是解题的关键．
4．如图，在4×4的方格中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形，O，A，B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的面积等于（ ）
A．2πB．2πC．22πD．22π
【分析】由题目给出的图形可知△AOB为等腰直角三角形，求出扇形的半径及圆心角的弧度数，然后直接代入面积公式求解．
【解答】解：∵每个小方格都是边长为1的正方形，
∴由图可知，∠AOB＝90°，且OA＝22．
由弧长公式可得：扇形OAB的面积等于90π×(22)2360=2π．
故选：A．
【点评】本题考查了面积公式，考查了学生的读图能力，是基础的计算题．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，且OC＝42，那么BC的长等于（ ）
A．32B．5C．25D．92
【分析】以C为坐标原点建立直角坐标系，CB为x轴，CA为y轴，设B（x，0），可得O点坐标为（3+x2，3+x2），根据勾股定理即可求出BC边的长．
【解答】解：
如图，作EQ⊥x轴，以C为坐标原点建立直角坐标系，CB为x轴，CA为y轴，则A（0，3）．
设B（x，0），由于O点为以AB一边向三角形外作正方形ABEF的中心，
∴AB＝BE，∠ABE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，∠ABC+∠EBQ＝90°，
∴∠BAC＝∠EBQ，
在△ABC和△BEQ中，
∠ACB=∠BQE=90°∠BAC=∠EBQAB=EB
∴△ACB≌△BQE（AAS），
∴AC＝BQ＝3，BC＝EQ，
设BC＝EQ＝x，
∴O为AE中点，
∴OM为梯形ACQE的中位线，
∴OM=3+x2，
又∵CM=12CQ=3+x2，
∴O点坐标为（3+x2，3+x2），
根据题意得：OC＝42=(x+32)2+(x+32)2，
解得x＝5，则BC＝5．
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质和解直角三角形，勾股定理的知识，解题的关键是在建立的直角坐标系中得出正方形的中心O点坐标．
二．填空题（共6小题）
6．如图，已知△OAB的一边AB平行于x轴，且反比例函数y=kx经过△OAB顶点B和OA上的一点C，若OC＝2AC且△OBC的面积为103，则k的值为 8 ．
【分析】作BD⊥x轴，CE⊥x轴，AF⊥x轴，得AF∥CE，推比例线段，设点B（kn，n），推出C（3k2n，23n），再根据S△OBC＝S△OBD+S梯形BCED﹣S△COE＝S梯形BCED，求出k的值．
【解答】解：作BD⊥x轴，CE⊥x轴，AF⊥x轴，
∴AF∥CE，
∴CEAF=OCOA，
∵OC＝2AC，
∴CEAF=23，
设点B（kn，n），
∵AB∥x轴，
∴A点的纵坐标为n，
∴CE=23n，
∵点C反比例函数y=kx，
∴C（3k2n，23n），
∵S△OBC＝S△OBD+S梯形BCED﹣S△COE＝S梯形BCED，
∴12（n+23n）（3k2n−kn）=103，
解得k＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握这两个知识点的应用，由图形推比例线段及C点的表示方法是解题关键．
7．如图，菱形ABCD中，tan∠ABD=815，点E在边AD上，点F在对角线BD上，作AG⊥BE，EG∥AF交AG于点G．若AGBE=815，则DEBF= 1517 ．
【分析】连接AC，分别交BD，BE于点O，M，连接OG，OE，设BD，GE相交于点N，先证明△OBE∽△OAG，得到∠EOB＝∠GOA，OGOE=OAOB，推出∠GOE＝∠AOB＝90°，得出△AOB∽△GOE，利用平行线的性质及三角形外角的性质得到∠BAF＝∠DOE，推出△DOE∽△BAF，利用相似三角形的性质即可得到答案．
【解答】解：连接AC，分别交BD，BE于点O，M，连接OG，OE，设BD，GE相交于点N，
在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵AG⊥BE，∠AME＝∠BMO，
∴∠OBE＝∠OAG，
∵tan∠ABD=815=OAOB，AGBE=815，
∴△OBE∽△OAG，
∴∠EOB＝∠GOA，
∴OGOE=OAOB，
∴∠GOE＝∠AOB＝90°，
∴△AOB∽△GOE，
∴∠ABO＝∠GEO＝∠ADO，
∵AF∥GE，
∴∠AFD＝∠END，
∴∠ABF+∠BAF＝∠NEO+∠NOE，
∴∠BAF＝∠DOE，
∴△DOE∽△BAF，
∴DEBF=ODAB，
设OA＝8x，则OB＝OD＝15x，AB＝17x，
∴DEBF=1517．
故答案为：1517．
【点评】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
8．如图，矩形ABCD的顶点B，C在x轴的负半轴上，AD＝3，AB＝8，反比例函数y=kx的图象经过DC的中点E，交AB于点F，AF＝7，则k的值为 ﹣4 ．
【分析】由矩形的性质得BC＝AD＝3，CD＝AB＝8，设OC＝m，则OB＝OC+BC＝m+3，所以E（m，4），F（m+3，1），再根据E、F两点在反比例函数y=kx上得到4m＝（m+3）×1，解出m的值，求出点E的坐标，代入反比例函数解析式，即可求出k的值．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝8，
设OC＝m，则OB＝OC+BC＝m+3，
∵AF＝7，反比例函数y=kx的图象经过DC的中点E，
∴BF＝AB﹣AF＝1，CE=12CD=4，
∴E（m，4），F（m+3，1），
∵E、F两点在反比例函数y=kx上，
∴4m＝（m+3）×1，
解得：m＝1，
∴E（﹣1，4），
∴k＝﹣1×4＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义，矩形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，A（4，3），⊙P与射线OA以及y轴的正半轴始终相切，过点B（6，0）作⊙P的切线，切点为Q，则切线长BQ的最小值为 33 ．
【分析】由勾股定理可直接得OA=42+32=5．由于⊙P与射线OA以及y轴的正半轴始终相切，可推得圆心P在∠MOA的角平分线OP上．通过作A点关于直线OP的对称点A'（0，5），进而找到AA'的中点坐标（2，4），则OP必经过点（2，4），可求出直线OP的表达式为y＝2x．设点P坐标为（x，2x），故OP=x2+(2x)2=5x．由勾股定理可得：BQ2＝PB2﹣PQ2，即BQ2＝（x﹣6）2+（2x）2﹣x2＝4x2﹣12x+36＝4（x−32）2+27，将BQ的最值问题转化为函数最值问题．通过求此二次函数的最值即可得BQ的最小值．
【解答】解：如图所示，设⊙P切y轴于点M，连接PM，
∵A（4，3），
∴OA=42+32=5．
∵⊙P与射线OA以及y轴的正半轴始终相切，
∴圆心P在∠MOA的角平分线OP上．
作A点关于直线OP的对称点A'（0，5），
则AA'的中点坐标为（2，4），
则OP必经过点（2，4），
∴直线OP的表达式为y＝2x．
设点P坐标为（x，2x），
故OP=x2+(2x)2=5x．
⊙P的半径PM＝PQ＝x，
连接PQ，则∠PQB＝90°，
则由勾股定理可得：BQ2＝PB2﹣PQ2，
即BQ2＝（x﹣6）2+（2x）2﹣x2＝4x2﹣12x+36＝4（x−32）2+27，
故BQ2有最小值27，
此时BQ最小为33．
故答案为：33．
【点评】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，掌握以上知识点并运用函数思想求最值是解题关键．
10．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DA，AB上，且DE＝AF，作AG⊥EF于点H，交BC于点G．若AB＝6，EF：AG＝2：3，则BG的长为 3 ．
【分析】根据有两个角相等的三角形相似可得Rt△EAF∽Rt△ABG，因为EF：AG＝2：3，所以△EAF与△ABG的相似比为2：3，由相似三角形对应线段成比例，列比例式即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝6，∠DAB＝∠ABG＝90°，
∴∠EAH+∠GAB＝90°，
∵AG⊥EF，
∴∠AHE＝90°，
∴∠EAH+∠AEH＝90°，
∴∠AEF＝∠GAB，
∴Rt△EAF∽Rt△ABG（HL），
∴AFBG=AEAB=EFAG=23，
∵AB＝6，
∴AE6=23，
解得：AE＝4，
∴AF＝DE＝AD﹣AE＝2，
∵AFBG=EFAG=23，
∴BG＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
11．如图，一张矩形纸片ABCD中，BCAB=m（m为常数）．将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在BC边上的点H处，点D的对应点为点M，CD与HM交于点P．当点H落在BC的中点时，且CPCD=13，则m＝ 277 ．
【分析】根据CPCD=13，设CP＝t，则CD＝AB＝3t，根据△CHP∽△BEH，得到BC2＝4BE•t①，在Rt△BEH中，利用勾股定理得到（3t﹣BE）2＝BE2+（12BC）2②，解①②即可求解．
【解答】解：∵CPCD=13，
设CP＝t，则CD＝AB＝3t，
∵点H是BC的中点，
∴CH＝BH=12BC，
∵△CHP∽△BEH，
∴CHBE=CPBH，
即12BCBE=t12BC，
∴BC2＝4BE•t①，
∵AE＝AB﹣BE，AE＝EH，CD＝AB＝3t，
∴AE＝EH＝3t﹣BE，
在Rt△BEH中，EH2＝BE2+BH2，
∴（3t﹣BE）2＝BE2+（12BC）2②，
解①②得BE=97t，
∴BC2＝4BE•t＝4×97t×t=367t2，
∴BC=677t，
∴m=BCAB=677t3t=277．
故答案为：277．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，从复杂的图形中找出相似三角形是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
12．【情境与问题】
在研究二次函数y＝2x2+1时，小明得到了下表：
观察上表，自变量x从左到右依次取连续的整数，若保持这一规律不变，继续扩展表格，那么，表格中的数据间会有什么特殊规律吗？
【探索与发现】
如上表，用一个倒“T”形的套色方框（如图）框住了表格中的四个数，若将套色方框左右移动，可框住另外四个数．设四个数中，上面的数为t，下面三个数从左到右依次为l，m，n（如图）．
（1）写出n与t间的函数关系式为n＝2（t+1）2+1 ．
（2）小明发现：l+n2−m为定值．小明的发现正确吗？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．
【联系与拓广】
（3）①t为何值时，n﹣2m的值最大？
②若二次函数y＝ax2+bx+c在x＝2026，2028，2030时的函数值分别为p，q，r，且p+r2−q=10，则a＝ 52 ．
【分析】【情境与问题】依据题意，观察表格数据即可判断得解；
【探索与发现】（1）依据题意得，当x＝t+1时，y＝n，从而n＝2（t+1）2+1，即可得解；
（2）依据题意得，当x＝t﹣1时，y＝l＝2（t﹣1）2+1；当x＝t时，y＝m＝2t2+1，则l+n2−m=2(t−1)2+1+2(t+1)2+12−（2t2+1），进而可以证明得解；
【联系与拓广】（3）①依据题意得，n﹣2m＝2（t+1）2+1﹣2（2t2+1）＝﹣2（t﹣1）2+3，结合﹣2＜0，从而可以得解；
②依据题意得，a×20262+b×2026+c＝p，a×20282+b×2028+c＝q，a×20302+b×2030+c＝r，又p+r2−q=10，则p+r﹣2q＝20，可得a×[（2028﹣2）2+（2028+2）2﹣2×20282）]＝20，进而计算可以得解．
【解答】解：【情境与问题】由题意，根据表格数据可得，
当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＝0时，y取最小值为1；在x＝0两侧的数据关于x＝0对称；
【探索与发现】（1）由题意得，当x＝t+1时，y＝n，
∴n＝2（t+1）2+1．
故答案为：n＝2（t+1）2+1；
（2）小明的发现正确，证明如下：
由题意得，当x＝t﹣1时，y＝l＝2（t﹣1）2+1；当x＝t时，y＝m＝2t2+1，
∴l+n2−m=2(t−1)2+1+2(t+1)2+12−（2t2+1）
=4t2+4+22−2t2﹣1
＝2t2+3﹣2t2﹣1
＝2．
∴小明的发现正确，l+n2−m为定值2；
【联系与拓广】（3）①由题意得，n﹣2m＝2（t+1）2+1﹣2（2t2+1）
＝2t2+4t+2+1﹣4t2﹣2
＝﹣2t2+4t+1
＝﹣2（t﹣1）2+3．
∵﹣2＜0，
∴当t＝1时，n﹣2m取最大值，最大值为3；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c在x＝2026，2028，2030时的函数值分别为p，q，r，
∴a×20262+b×2026+c＝p，a×20282+b×2028+c＝q，a×20302+b×2030+c＝r．
∵p+r2−q=10，
∴p+r﹣2q＝20．
∴a×（20262+20302）+b×（2026+2030）+2c﹣2（a×20282+b×2028+c）＝20．
∴a×（20262+20302﹣2×20282）+b×（2026+2030﹣2×2028）＝20．
∴a×[（2028﹣2）2+（2028+2）2﹣2×20282）]＝20．
∴8a＝20，则a=52．
故答案为：52．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用、规律型：数字的变化类，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
13．（1）发现：如图1所示，BD是矩形ABCD的对角线，作AF⊥BD交BD于点F，交BC于点E．求证：△ABE∽△BCD；
（2）探究：如图2，点G是矩形ABCD边BC上一点，连接DG，过点D作AF⊥DG交BC于点G，ABBC=611，探究AEDG的值；
（3）拓展：在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点P为BC边上的三等分点，点E和F分别为直线AD和BC上的点，将矩形ABCD沿直线EF翻折，点P恰好落在边CD上的点Q处，求EFPQ的值．
【分析】（1）由矩形的性质，可得∠ABE＝∠C，由直角三角形的两个锐角互余，结合同角的余角相等，可得∠BAE＝∠CBD，即可证得结论；
（2）设AB＝6a，BC＝11a，BG＝GE＝x，证明△AEB﹣△GDC，可得AEGD=ABGC=BECD，可得x＝2a，即可得AEDG的值；
（3）作EM⊥BC于点M，由矩形的判定和性质，可得EM＝3，证明△EMF∽△PCQ，EFPQ=EMPC，由已知可得PC＝4或PC＝2，即可得EFPQ的值．
【解答】（1）证明：∵AE⊥BD，
∴∠EFB＝90°，
∴∠FBE+∠FEB＝90°，
又∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C＝∠ABC＝90°，
∴∠FBE+∠BDC＝90°，
∴∠FEB＝∠BDC，
∴△ABE∽△BCD．
（2）解∵BG＝GE，ABBC=611，
设AB＝6a，BC＝11a，BG＝GE＝x，
∵CE＝11a﹣2x＞0，
∴x＜112a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，∠ABE＝90°，CD＝AB＝6a，
∴∠CGD+∠CDG＝90，∠ABE＝∠C，
∵AF⊥DG，
∴∠GFE＝90°，
∴∠CGD+∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠GDC，
∴△AEB∽△GDC，
∴AEGD=ABGC=BECD，
∴6a11a−x=2x6a，
∴x＝2a或x＝9a（与x＜112a矛盾，舍去），
∴AEGD=BECD=2×2a6a=23；
（3）解：作EM⊥BC于点M，则∠EMB＝∠EMF＝90°，
∵在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝90°＝∠EMF，
∴四边形ABME为矩形，
∴EM＝AB＝3，
根据题意可知，点P和点Q关于直线EF对称，
∴EF⊥PQ，
∴∠CPQ+∠PFE＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠CPQ+∠CQP＝90°，
∴∠MFE＝∠CQP，
∴△EMF∽△PCQ，
∴EFPQ=EMPC，
∵BC＝6，点P为BC边上的三等分点，
∴PC=6×23=4或PC=6×13=2，
∴EMPC=34或EMPC=32，
∴EFPQ=34或EFPQ=32．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
14．在一次设计公园休闲凉亭的数学实践课上，老师提供了两个素材．
素材1：某公园计划修建一个如图所示的凉亭，凉亭正中间立柱OA的高为256m，立柱左右两侧是关于立柱对称的抛物线形凉伞，凉伞的最高点距离地面4.5m，且最高点到立柱OA的水平距离为1m．
素材2：为使凉伞更加美观牢固，在凉伞最外侧的C，E（C，E两点分别在这两条抛物线上）处，分别修建了高度均为3.5m的支架CD，EF．
小艺同学建立了如图所示的平面直角坐标系，请你帮他解答下列各题：
（1）求在第二象限的抛物线的表达式（不要求写自变量x的取值范围）．
（2）求CD与EF之间的距离．
（3）若P是第二象限的抛物线上一点，P′是点P关于立柱OA的对称点，且PP′在点A的下方，CE的上方，过点P，P′分别作PM⊥CE于点M，P′N⊥CE于点N．为迎接春节，在PP′，PM，P′N上悬挂迎新年的主题彩带，求彩带长（PP′+PM+P′N）的最大值．
【分析】（1）由题意设抛物线的顶点式为y＝a（x+1）2+4.5，代入A点坐标即可得出答案；
（2）由题意得支架高度为3.5m，代入得3.5=−13(x+1)2+4.5，解出方程即可进一步得出CD与EF之间的距离；
（3）先设P(x，−13(x+1)2+4.5)，x＜0，PP′与x轴交于点H，表示出PM，PH，即可得出PM+PH=−13(x+52)2+114，注意配方法的使用，进一步分析即可得出PP′+PM+P′N＝PM+PH+HP′+P′N的最大值．
【解答】解：（1）∵OA=256m，
∴A点坐标为(0，256)，
∵最高点距离地面4.5m，且最高点到立柱OA的水平距离为1m，
∴最高点坐标为（﹣1，4.5），
设抛物线的顶点式为y＝a（x+1）2+4.5，
将A(0，256)代入，得256=a+4.5=a+92，
∴a=256−92=25−276=−26=−13，
∴抛物线的表达式为y=−13(x+1)2+4.5；
（2）∵支架高度为3.5m，即y＝3.5，
当y＝3.5时，有3.5=−13(x+1)2+4.5，
解得x1=3−1，x2=−3−1，
∵两侧抛物线对称，
∴BE=3+1，
∴CD与EF之间的距离为：|x1−x2|=|3+1−(−3−1)|=(23+2)m；
（3）设P(x，−13(x+1)2+4.5)，x＜0，PP′与x轴交于点H，
∵CD＝EF＝3.5，
∴yM＝3.5，
∴PM=−13(x+1)2+4.5−3.5=−13(x+1)2+1，PH＝﹣x，
∴PM+PH=−x−13(x+1)2+1=−13x2−53x+23=−13(x+52)2+114，
∵−13(x+52)2+114≤114，
∴当x=−52时，(PM+PH)max=114，
∵P′是点P关于立柱OA的对称点，
∴PH＝P′H，PM＝P′N，
∴PP′+PM+P′N=PM+PH+HP′+P′N=114×2=112，
∴彩带长最大值为112m．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，得出二次函数的解析式以及利用数形结合思想进行分析解决是关键．
15．【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O1的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形OEBF为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点O旋转．
【问题发现】
（1）①线段AE，BF之间的数量关系是 AE＝BF ．
②在①的基础上，连接EF，则线段AE，CF，EF之间的数量关系是 AE2+CF2＝EF2 ．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O1的一个顶点，A1O与边AB相交点E，C1O与边BC相交于点F，连接EF，延长C1O交AD于点P，连接EP，AC，矩形A1B1C1O1可绕点O旋转．判断线段AE，CF，EF之间的数量关系并证明．
【拓展应用】
（3）如图3，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，直角∠EDF的顶点D在边AB的中点处，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，∠EDF可绕点D旋转．当AE＝4时，请直接写出线段BF的长．
【分析】（1）①证明△OAE≌△OBF，由全等三角形的性质即可得到AE＝BF，从而可得BE＝CF；
②由①的结论及勾股定理即可得到三线段AE，CF，EF间的数量关系；
（2）由矩形的性质可证明△OAP≌△OCF，则有AP＝CF，OP＝OF；再由矩形的性质及线段垂直平分线的性质可得EP＝EF；在Rt△PAE中，由勾股定理及等量代换可得AE2+CF2＝EF2；
（3）分两种情况：点E在边AC上；点E在CA延长线上，由（2）的结论及勾股定理即可解决．
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD、四边形A1B1C1O均为正方形，
∴AB＝BC，∠OAE＝∠OBF＝45°，∠AOB＝∠A1OC1＝90°，OA＝OB，
∴∠AOE＝∠BOF＝90°﹣∠EOB；
在△AOE与△BOF中，
∠OAE=∠OBFOA=OB∠AOE=∠BOF，
∴△OAE≌△OBF（ASA），
∴AE＝BF，
故答案为：AE＝BF
②在Rt△EBF中，BF2+BE2＝EF2，AE＝BF，BE＝CF，
∴AE2+CF2＝EF2；
故答案为：AE2+CF2＝EF2；
（2）三线段AE，CF，EF间的数量关系为：AE2+CF2＝EF2；证明如下：
∵四边形ABCD、四边形A1B1C1O均为矩形，矩形ABCD的中心为O，
∴OA＝OC，∠DAB＝∠A1OC1＝90°，AD∥BC，
∴∠PAO＝∠FCO，
∴△OAP≌△OCF（ASA），
∴AP＝CF，OP＝OF，
∵∠A1OC1＝90°，
∴EP＝EF，
在Rt△PAE中，由勾股定理得AE2+AP2＝EP2，
∴AE2+CF2＝EF2；
（3）①当点E在边AC上时，由（2）的结论知AE2+BF2＝EF2；
在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2+CF2＝EF2，
即CE2+CF2＝AE2+BF2；
设BF＝x，则CF＝8﹣x，CE＝AC﹣AE＝6﹣4＝2，
∴22+（8﹣x）2＝42+x2，
解得x=134，
即BF=134；
②当点E在CA延长线上时，如图，
把Rt△ABC补成矩形ACBM，延长FD交AM延长线于点P，连接EP，
同理AE2+BF2＝EF2，
在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2+CF2＝EF2，
即CE2+CF2＝AE2+BF2；
设BF＝x，则CF＝x﹣8，CE＝AC+AE＝6+4＝10，
∴102+（x﹣8）2＝42+x2，
解得x=374，
即BF=374；
综上，BF的长为134或374．
【点评】本题是四边形的综合，考查了矩形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，旋转的性质等知识，证明三角形全等是问题的关键．
16．如图1，已知排球场的长度为18m，宽9m，位于球场中线处的球网AB的高，度为2.24m．一球员定点发球技术非常稳定，当他站在底线中点O处发球时，排球运动轨迹是如图2的抛物线，C点为击球点，OC＝1.8m，球飞行到达最高点F处时，其高度为2.6m，F与C的水平之距为6m，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系（排球大小）忽略不计）．
（1）当他站在底线中点O处向正前方发球时，
①求排球飞行的高度y与水平距离x之间的函数关系式（不用写x的取值范围）．
②这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？并说明理由．
（2）假设该球员改变发球方向和击球点高度时球运动轨迹的抛物线形状不变，在点O处上方击球，要使球落在①号区域（以对方场地的边线底线交点M为圆心，半径为1.5m的扇形）内，球员跳起的高度范围是多少？（17≈4.12，结果保留两位小数）
【分析】（1）①根据题意设出抛物线解析式y＝a（x﹣6）2+2.6，再把（0，1.8）代入解析式求出a即可；
②把x＝9代入解析式求出y的值，再令y＝0，解方程求出x的值即可；
（2）先求出OM的值，设出抛物线解析式，再分三种情况讨论即可．
【解答】解：（1）根据题意设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+2.6，
把C（0，1.8）代入解析式，得a（0﹣6）2+2.6＝1.8，
解得a=−145，
∴排球飞行的高度y与水平距离x之间的函数关系式为y=−145（x﹣6）2+2.6=−145x2+415x+95；
②当x＝9时，y=−145（9﹣6）2+2.6＝2.4＞2.24，
∴这次所发的球能够过网；
令y＝0，则−145（x﹣6）2+2.6＝0，
解得x1＝6+313，x2＝6﹣313（舍去），
∵6+313＜18，
∴不会出界；
（2）根据题意得，抛物线解析式为y=−145x2+415x+c，
OM=(92)2+182=9217≈4.5×4.12＝18.54，
①当球落在点M时，即当x=9217时，y＝0，
∴−145（9172）2+415×9172+c＝0，
解得c=153−241720≈2.71；
②当球落在圆弧上时，x＝18.54﹣1.5＝17.04时，y＝0，
∴−145（17.04）2+415×17.04+c＝0，
解得c≈1.91；
③当球过球网AB时，即x=9174时，y＝2.24，
∴−145（9174）2+415×9174+c＝2.24，
解得c≈1.68．
∴球员跳起的高度范围是1.68≤h≤2.71．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式并结合分类讨论的思想．
17．如图1，在矩形OABC中，OC＝3OA＝15，对角线AC，OB交于点D，E是AO延长线上一点，连结CE，DE，已知AE＝CE，MN为半圆O的直径，CE切半圆O于点F．
（1）求证：△ADE∽△AOC．
（2）求半圆O的直径．
（3）如图2，动点P在CF上点C出发向终点F匀速运动，同时，动点Q从M出发向终点N匀速运动，且它们恰好同时停止运动．
①当PQ与△ABD的一边平行时，求所有满足条件的MQ的长．
②作点F关于PQ的对称点F'，当点F'落在半圆O上时，直接写出PQPC的值．
【分析】（1）由矩形的性质可知AD＝CD，∠AOC＝90°，结合AE＝CE，可知DE是AC的垂直平分线，可得∠AOC＝∠ADE＝90°，进而可证得△ADE∽△AOC；
（2）如图，连结OF，易知∠OFC＝90°，OC＝15，OA＝5，AC=510，AD=5210，再根据△ADE∽△AOC可求得AE＝CE＝25，OE＝20，再利用等面积法S△COE=12OE⋅OC=12CE⋅OF，可求得半径OF的长度；
（3）①根据题意可得CF＝9，EF＝16，EM＝8，sin∠OEC=35，由P，Q同时出发且同时到达终点，可知CPMQ=CFMN=924=38，设CP＝3x，MQ＝8x，EP＝25﹣3x，EQ＝8+8x，分情况1：PQ∥BD，情况2：PQ∥AD，情况3：PQ∥AB，三种情况进行讨论即可；
②若F'落在半圆O上，由圆的对称性可知，PQ必经过点O，即点Q与点O重合，此时MQ＝12，CPMQ=38=CP12，可得CP=FP=92，PQ=OF2+FP2=3273，即可求得PQPC=733．
【解答】（1）证明：在矩形OABC中，AD＝CD，∠AOC＝90°，
∵AE＝CE，AD＝CD
∴DE是AC的垂直平分线，即ED⊥AC，
∴∠AOC＝∠ADE＝90°，
又∵∠OAC＝∠DAE，
∴△ADE∽△AOC．
（2）解：如图，连结OF，
∵CE切半圆于点F，则∠OFC＝90°，
∵OC＝15，OA＝5，
∴AC=OA2+OC2=52+152=510，
∴AD=5210，
由△ADE∽△AOC，得AEAC=ADOA，
∴AE＝CE＝25，OE＝20，
∴S△COE=12OE⋅OC=12CE⋅OF，即：OF=OC⋅OECE=12，
∴半圆O的直径为24．
（3）解：①∵CF=OC2−OF2=9，EF＝16，EM＝8，sin∠OEC=35，
∵P，Q同时出发且同时到达终点，
∴CPMQ=CFMN=924=38，
∴设CP＝3x，MQ＝8x，EP＝25﹣3x，EQ＝8+8x，
情况1：PQ∥BD，如图，作PR⊥MN于点R，
∴tan∠RQP＝tan∠AOB＝tan∠OAC＝3，
∴PR＝3QR，
∴PR＝EP•sin∠OEC=75−9x5，ER＝EP•cs∠OEC=100−12x5，
∴QR=ER−EQ=100−12x5−(8+8x)=60−52x5，
∴75−9x5=3(60−52x)5，
解得x=57，
∴MQ=8x=407．
情况2：PQ∥AD，如图，此时EP＝EQ，则25﹣3x＝8+8x，
∴x=1711，
∴MQ=8x=13611．
情况3：PQ∥AB，如图，此时PQ⊥MN，则EP•cs∠OEC＝EQ，
∴45(25−3x)=8+8x，
解得x=1513，
∴MQ=8x=12013，
综上所述MQ的长为407或13611或12013．
②如图，若F'落在半圆O上，由圆的对称性可知，PQ必经过点O，即点Q与点O重合，
此时MQ＝12，CPMQ=38=CP12，可得CP=92，
∴CP=FP=92，PQ=OF2+FP2=122+(92)2=342+(32)2=3273．
∴PQPC=733．
【点评】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定及性质，切线的性质，解直角三角形，圆的对称性，连接圆心与切点构造直角三角形是解决问题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/27 15:22:41；用户：罗帅；邮箱：17729846990；学号：37340701x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y＝2x2+1
…
33
19
9
3
1
3
9
19
33
…
题号
1
2
3
4
5
答案
C
A
C
A
B
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y＝2x2+1
…
33
19
9
3
1
3
9
19
33
…