2026年中考数学一轮复习专题1.1实数的相关概念（全国通用版）练习（解析版）

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专题1 实数的相关概念
知识梳理
【考点一】实数的相关概念
1. 数轴
2. 相反数
绝对值
4.倒数
5.平方根与立方根
【补充1】平方根与立方根的区别与联系
【补充2】非负数及性质：
1.在实数范围内，正数和零统称为非负数.
2.非负数的三种形式：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②任何一个实数a的平方是非负数，即 QUOTE a2 ≥0；
③任何非负数的算术平方根是非负数，即 QUOTE a ≥0
3.非负数的性质：①非负数有最小值零；
②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0
6.零指数幂、负指数幂
(1)零指数幂：任何不等于零的数的0次幂都等于1。用公式表示为：a⁰ = 1 （其中 a ≠ 0）
(2)负指数幂：任何不等于零的数的 -n 次幂，等于这个数的 n 次幂的倒数。用公式表示为：
a −n= 1an=(1a)n（其中 a ≠ 0, n 是正整数）
【考点二】实数的分类及正负数的意义
1.正数、负数
(1)大于0的数叫做正数；小于0的数，叫做负数；0既不是正数，也不是负数。
(2)用正、负数可以表示具有相反意义的量，一对相反意义的量，其中一个“意义”规定用“+”表示，则另一个“意义”必定用“-”表示．如：若规定向东5米为“+5米”，则向西9米为“-9米”.
2.实数
(1)整数和分数统称为有理数；
【本质】有理数能够化为分数的形式，即形如 pq，其中 p,q是整数，且 q≠0。
【补充】有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.（例：0.53（分数形式： QUOTE 53100 53100 QUOTE b−3100 ）、1.333333…（分数形式： QUOTE 43 43）等）.
无限不循环小数叫做无理数；
【补充1】无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.(例如：π，π2（不是分数）等.
【补充2】常见的无理数：
①开方开不尽的数，如：2 QUOTE 2 、37等.
注意带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.如.
②有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如5π，3+π等.
③具有特定结构的数（看似有规律循环实际上是无限不循环的小数），如0.1010010001···（两个1之间依次增加1个0）.
(3)有理数和无理数统称为实数。
3.实数的分类
（1）按照定义分类（2）、按照正负分类

例题讲解
【题型一】实数的相关概念
◇典例1：如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示和的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查数轴与有理数，根据数轴的概念即可求解；
根据题意先判断出数轴的单位长度是，得到原点对应的刻度，即可求得数轴上与刻度线对齐的点表示的数．
【详解】解：∵和刻度分别与数轴上表示和的两点对齐，
∴数轴的单位长度是，
∴原点对应的刻度，
∴数轴上与刻度线对齐的点表示的数是，
故选：B．
◆变式训练
如图，点A，B，C在数轴上表示的数分别为a，b，c，则下列结论中①；②；③；④．正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了数轴的特点，有理数的乘除，减法．根据数轴上点的特点可得，由此进行判定即可求解．
【详解】解：根据题意可得，，
∴，，故①③错误；
∵，
∴，则，故②正确；
∵，即异号，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有②④，共2个，
故选：B ．
◇典例2：下列各数中，互为相反数的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】D
【分析】本题考查相反数的概念，解题的关键是先化简各选项中的数，再根据“只有符号不同的两个数互为相反数”判断．
先利用符号法则化简每个选项中的两个数，再逐一判断它们是否互为相反数．
【详解】解：相反数的定义是：只有符号不同的两个数互为相反数．我们先化简各选项的数：
A、，则3和3是同一个数，不是相反数；
B、，则和是同一个数，不是相反数；
C、，则和是同一个数，不是相反数；
D、和只有符号不同，互为相反数．
故选：D．
◆变式训练
在，，，这四个数中，与互为相反数的数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，化简绝对值，化简多重符号，相反数的定义等知识，需要判断四个数中哪些是的相反数（即1），分别计算每个数的值即可求解．
【详解】解：∵ ，，，，
∴与互为相反数（即等于1）的数有、、，共3个，
故选C
◇典例3：若，则a的值是（）
A．B．4C．D．不确定
【答案】A
【分析】本题主要考查绝对值的定义；根据绝对值的定义，一个数的绝对值表示它到原点的距离，解答即可．
【详解】解：∵，
∴或，即．
故选：A．
◆变式训练
已知，则代数式的值是（ ）
A．1B．C．0D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，熟练掌握“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”是解题的关键．
利用绝对值的非负性，由两个非负数的和为0得出每个绝对值内的式子为0，求出、的值，再代入计算代数式的值．
【详解】解：∵ ，，且，
∴ ，，
∴ ，，
∴ ，，
∴ ，
∴ ，
故选：．
◇典例4：的倒数是（ ）
A．B．C．D．5
【答案】A
【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义，一个数的倒数是1除以这个数，直接计算即可．
【详解】解：∵倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，
∴-5的倒数为 ，
故选：A．
◆变式训练
一个有理数的倒数是，则这个数的相反数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查倒数和相反数的定义．熟练掌握倒数和相反数的定义是解题的关键．
根据倒数的定义，先求出原数，再求其相反数．
【详解】解：∵该有理数的倒数为，
∴该有理数为，
∴该有理数的相反数为．
故选：D．
◇典例5：9的平方根是x，y的立方根是，则的值为（ ）
A．1B．或C．D．或
【答案】D
【分析】根据平方根及立方根的定义求得x，y的值，然后代入中计算即可．
本题考查立方根，平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
【详解】解：的平方根是x，
，
的立方根是，
，
或，
故选：D
◆变式训练
若、互为相反数，、互为倒数，的平方为4，求的值为（ ）
A．1B．5C．1或D．1或5
【答案】C
【分析】本题考查相反数、倒数、乘方的性质，涉及的知识点是“互为相反数的两数和为0”“互为倒数的两数积为”“平方为的数有两个”．解题方法是先根据定义求出、、的值，再分情况代入式子计算；解题关键是注意的取值有两个，需分情况讨论．易错点是忽略的正负两种情况，导致漏解．解题思路为：先利用相反数、倒数、乘方的性质得到、、，再分和两种情况代入式子计算结果．
【详解】∵互为相反数，
∴．
∵互为倒数，
．
，
或．
当时，=．
当时，=．
故选C．
【题型二】实数的分类及正负数的意义
◇典例1：《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上记作，则表示气温是（ ）
A．零上 B．零下
C．零上 D．零下
【答案】B
【分析】由正负数定义可得答案.
【详解】由题可知, 正数表示零上, 负数表示零下,所以-3℃表示零下3℃.
故选B.
【点睛】本题主要考查实数中的正负数.
◆变式训练
1．在， 0，，， 2，，， （－1）2020中负数的个数有（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据小于0的数是负数，可得负数的个数
【详解】＜0
＜0
＜0
所以负数个数为4个
故选B
【点睛】本题考查的是正数和负数的判断，熟练掌握两者的性质是解题的关键．
◇典例2：下列说法正确的是（ ）
A．正实数和负实数统称实数B．正数、和负数统称有理数
C．带根号的数和负数统称实数D．无理数和有理数统称实数
【答案】D
【分析】本题考查实数、有理数的定义，解题的关键是掌握：有理数和无理数统称为实数，整数和分数统称为有理数．据此解答即可．
【详解】解：A．有理数和无理数统称为实数，实数包括正实数、负实数和0，原说法遗漏了0，故原说法不正确，故此选项不符合题意；
B．有理数由正有理数、负有理数和0组成，而选项中的“正数”包含了无理数（如），故原说法不正确，故此选项不符合题意；
C．有理数和无理数统称为实数，原说法不正确，故此选项不符合题意；
D．无理数和有理数统称实数，原说法正确，故此选项符合题意．
故选：D．
◆变式训练
1．下列说法正确的是（ ）
A．有理数是有限小数B．无理数是无限小数
C．无限小数是无理数D．是分数
【答案】B
【分析】本题考查了实数的相关概念．
无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．．
【详解】A．有理数也包括无限循环小数（如），原说法错误，本选项不符合题意；
B．无理数是无限不循环小数，原说法正确，本选项符合题意；
C．无限小数也包括无限循环小数，而无限循环小数是有理数，故原说法错误，本选项不符合题意；
D．是无理数，分数属于有理数，原说法错误，本选项不符合题意；
故选：B．
◇典例3：已知下列各数：
，，3，0，，，0.205，，，．
其中，有理数有 ，无理数有 ，正实数有 ，负实数有 ．
【答案】 ，，，，， ，，， ，，， ，，，，
【分析】本题考查了有理数和实数的分类，掌握有理数和实数的定义和分类是解题关键．先化简各数，再根据有理数和实数的分类作答即可．
【详解】解：，
有理数有：，，，，，；
无理数有：，，，；
正实数有：，，，
负实数有：，，，，．
故答案为： ，，，，，；，，，； ，，，； ，，，，．
◆变式训练
1．在，，，，，，，，，（每两个之间的个数逐次增加）中，正分数有个，非负整数有个，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了实数的分类，有理数的分类，代数式求值，根据有理数的分类，分别求出非负整数和正分数的个数，再代入计算即可．
【详解】解：在给定的数中，正分数有，，，共个，故，
非负整数有，，共个，故；
，
故答案为：．
真题在线
1．（2025·山东德州·中考真题）下列实数为无理数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是关键．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：A、是整数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意；
B、是无理数，故此选项符合题意；
C、是分数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意；
D、是无限循环小数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．（2025·四川广元·中考真题）的相反数是（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【分析】本题考查了算术平方根的计算及相反数的概念，解题的关键是先求出√4的具体值，再根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）确定其相反数．
计算的值：因为，所以；求2的相反数：根据相反数定义，2的相反数是，因此的相反数是．
【详解】解：∵表示4的算术平方根，且，
∴．
根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），可得2的相反数是，即的相反数是．
故选：B．
3．（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（ ）
A．或B．或C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴上两点间距离的定义，该点可能在点A的左侧或右侧，分别计算即可．
【详解】解：数轴上点A表示的数是，与点A相距2个单位长度的点可能在点A的左侧或右侧．
当该点在点A右侧时，表示的数为．
当该点在点A左侧时，表示的数为．
因此，符合条件的数为或
故选A．
4．（2024·四川攀枝花·中考真题）2的算术平方根是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴2的算术平方根是，
故选：C．
5．（2025·江西·中考真题）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．0B．C．3.14D．
【答案】B
【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．结合选项逐一判断即可．
【详解】解：A、0是整数，属于有理数，本选项不符合题意；
B、是开方开不尽的数，属于无理数，本选项不符合题意；
C、3.14是有限小数，属于有理数，本选项不符合题意；
D、是分数，属于有理数，本选项不符合题意；
故选：B．
6．（2025·四川南充·中考真题）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查圆的周长公式及数轴上点的移动规律，熟练掌握圆的周长计算和数轴上点的平移关系是解题关键．先根据圆的直径求出滚动一周的距离（即圆的周长），再结合点对应的数，通过逆向推理得到滚动前点对应的数．
【详解】解：由题意可得圆的直径，根据圆的周长公式，可得周长 ．
圆从点滚动到，滚动的距离是圆的周长，点对应数是，那么滚动前点对应的数是 ，
故选D．
7．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（ ）
A．8B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
，得：，
∴的平方根是；
故选：C．
8．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了数轴与实数的运算法则，掌握实数与数轴的基本知识是解题的关键．根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，不等式的性质及绝对值的意义判断出式子的大小即可．
【详解】解：根据数轴得，
∴，
故选：D．
二、填空题
9．（2025·青海·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 ．（填“”“”或“”）
【答案】
【分析】本题主要考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，根据实数在数轴上对应点的位置，判定出符号以及绝对值的大小，即可进行判断即可，解题的关键是根据实数在数轴上的位置，正确判断出实数的符号和绝对值的大小．
【详解】解：由实数在数轴上对应点的位置可知：，，且，
∴，
∴，
故答案为：．
10．（2025·山东威海·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂，零指数幂，二次根式的化简求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：
．
11．（2025·浙江·中考真题） ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键．
分别计算绝对值和立方根，再进行加法计算即可．
【详解】解：，
故答案为：2．
12．（2025·四川遂宁·中考真题）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则 0．（填“>”“=”或“