【名师导航】2026年中考数学一轮复习专题2.3分式方程（组）解法及应用练习（全国通用版）（原卷版）

这是一份【名师导航】2026年中考数学一轮复习专题2.3分式方程（组）解法及应用练习（全国通用版）（原卷版），共15页。试卷主要包含了方程等内容，欢迎下载使用。
专题3 分式方程（组）解法及应用
知识梳理
【考点一】分式方程的解法
1．分式方程的概念
分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．
2.分式方程的解法
（1）基本思路：将分式方程化为整式方程．（转化思想）
（2）解分式方程的具体步骤：
①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；
②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；
③解整式方程；
④检验．
易错提醒：
①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项，尤其是常数项；
②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
3.分式方程的增根
增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．
【考点二】分式方程的应用
1.分式方程的应用
利用分式方程解决实际问题的一般步骤：
①设未知数；
②找等量关系；
③列分式方程；
④解分式方程；
⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；
⑥写答案．
2.应用分式方程解决实际问题的常见原因分析：
原因之一：等量关系分析错误导致方程列错；
原因之二：解方程过程中，去分母时，不含分母的项漏乘分母的最小公倍数导致错误；
原因之三：方程解完后，忘记检验，导致错误。
3.分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．
例题讲解
【题型一】解分式方程中判断去分母是否正确
◇典例1：
将关于x的分式方程2x−3x+4=0去分母可得（ ）
A．2x+4+3x=0B．2x+4−3x=0
C．2x+3x+4=0D．2x−3x+4=0
◆变式训练
1.解分式方程2xx−2−1=3x−12−x时，去分母的结果正确的是（ ）
A．2x−1=3x−1B．2x−(x−2)=3x−1
C．2x−(x−2)=−3x−1D．2x−(x−2)=−3x+1
2.解分式方程3x−2+x+32−x=4时，去分母后变形正确的为（ ）
A．3+x+3=4x−2B．3−x+3=4x−2
C．3−x+3=4D．3−x+3=4x−2
【题型二】解分式方程
◇典例2：
分式方程3−xx−2=12−x−2的解是（ ）
A．x=6B．x=2C．x=0D．无解
◆变式训练
1.解方程：4x−3x−2=0；
2.解方程：2x−2=3x+2．
【题型三】已知分式方程的解正负求参数
◇典例3：
已知关于x的分式方程mx−1+2=−31−x的解为非负数，则所有正整数m的个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
◆变式训练
1.已知关于x的分式方程mx−3+43−x=1的解是非正数，则m的取值范围是（ ）
A．m1且m≠4
2.已知关于x的分式方程2x−3+mxx2−9=5x+3的解是非正数，则m取值范围是（ ）
A．m≥3且m≠10B．m>3且m≠10
C．m≤3且m≠−4D．m>3且m≠4
【题型四】已知分式方程增根或无解求参数
◇典例4：
解关于x的分式方程5+xx−2=m2−x，若该分式方程产生增根，则m的值为（ ）
A．0B．−2C．2D．2或−2
◆变式训练
1.如果关于x的分式方程mxx+2+xx+2=2无解，那么实数m的值为（ ）
A．−1B．1或0C．1D．1或−1
2.若分式方程2x=mx−1无解，则m的值为（ ）
A．0B．2C．0或2D．1或2
【题型五】分式方程实际应用之行程问题
◇典例5：
小吉和小林从同一地点出发跑800米，小吉的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40秒到达终点．求小林跑步的平均速度．
◆变式训练
2025年佛山50公里徒步活动，约40万市民迎着春光奔跑，用脚步丈量绿美佛山环城线中途设置了6个签到点，签到点与起点的距离如下表：
求：小明从第4签到第6签的平均速度是起点到第3签的平均速度v的0.8倍，且他从第4签到第6签比起点到第3签少用25h，求v的值．
2024年“有礼杯”衢州马拉松于11月24日开跑，小明和小聪一起报名参加了“迷你跑”的比赛．小明以一定的速度跑到3000米处的补给点休息了一段时间后，继续以原速前行，在距离终点500米处因体力不支，最终以100米/分的速度坚持跑到终点；小聪在途中休息了5分钟后，以原来的43倍的速度冲向终点．如图是小明和小聪在比赛过程中所跑的路程s（米）和跑步时间t（分）的函数关系图．根据图象回答下列问题：
(1)求a的值；
(2)求图中线段BC对应的函数表达式；
(3)求小聪休息前的速度．
【题型六】分式方程实际应用之工程问题
◇典例6：
某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单．
(1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品；
(2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？
◆变式训练
2024年1月上旬，太原市城市轨道交通1号线一期工程首列车在中车大连公司正式下线．为保障轨道交通1号线的顺利通车，某工厂加急生产一批零件，需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产20%，则提前4天完成任务．求实际每天生产的零件个数和实际完成任务的天数．
2.如图，从A地到D地规划修建一条东西方向的笔直公路AD，勘测人员发现公路AD要穿过一座山，施工队原计划从B处开凿隧道通到C处，已知A，B，C，D四点在同一直线上，在C处的正南方取一观测点E，观测到点E在点B的南偏东53°方向上，观测点E到点B的距离为1500m．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，最后结果保留整数）
(1)求隧道两端BC间的距离；
(2)原计划从B向C开挖，为了加快施工进度，实际从B，C两端同时相向施工，结果工作效率比原计划提高了20%，比原计划提前5天完工．问原计划单向开挖每天挖多少m？
【题型七】分式方程实际应用之销售问题
◇典例7：
随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同．
(1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元．
(2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
◆变式训练
1.某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型机器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，B型机器人单价比A型机器人单价低3万元．
(1)求A型、B型两种机器人的单价；
(2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求A、B两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案．
2.为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊，预算资金为2700元，其中1200元购买甲种花卉，其余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株．
(1)求甲、乙两种花卉每株的价格；
(2)购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元．求购买这两种花卉有几种方案？并计算所需费用的最小值．
真题在线
一、单选题
1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程的解为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·湖南·中考真题）将分式方程去分母后得到的整式方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（ ）
A．B．C．且D．且
4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（ ）
A．B．C．或D．且
5．（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·宁夏·中考真题）数学活动课上，甲，乙两位同学制作长方体盒子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍．设乙每小时做个盒子，根据题意可列方程（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·甘肃甘南·中考真题）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（）
A．B．
C．D．
8．（2024·黑龙江绥化·中考真题）一艘货轮在静水中的航速为，它以该航速沿江顺流航行所用时间，与以该航速沿江逆流航行所用时间相等，则江水的流速为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．（2025·四川·中考真题）方程的解为 ．
10．（2025·四川凉山·中考真题）若关于x的分式方程无解，则 ．
11．（2025·江西·中考真题）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为
12．（2024·山东东营·中考真题）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为 ．
三、解答题
13．（2025·江苏常州·中考真题）某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少1吨，20吨水可以使用的天数是原来的2倍．问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？
14．（2025·山西·中考真题）我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里．
15．（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同．
(1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元．
(2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
专项练习
一、单选题
1．若关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A．B．C．1或D．5
2．将分式方程去分母后可得整式方程为（ ）．
A．B．
C．D．
3．方程的解为（ ）
A．B．C．或D．无解
4．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）
A．B．C．D．
5．已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
6．在一次活动中，小明需要将一段长度为x米的绳子进行处理．他发现如果按照某种方式将绳子分成若干段，其中一种分式关系可以表示为．然而，在实际操作过程中，小明发现这个分式关系无解，那么a的值为（ ）
A．和B．
C．D．和
7．2024年12月29日，主题为“跑出新高度，追梦彩云南”的2024上合昆明马拉松在美丽的滇池边鸣枪起跑．甲，乙两人参加约40公里的比赛，两人同时出发，甲每小时比乙多跑2公里．最终甲比乙早1小时到达．设乙的平均速度为每小时x公里，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．某同学第一次到奶茶店花15元买奶茶，第二次再去买时，恰好该奶茶店搞优惠酬宾活动，同样奶茶每杯比原来便宜1元，结果该同学比上次少花了1元，却比上次多买了2杯奶茶．若设他第一次买了x杯奶茶，根据题意可列方程为（ ）
A．B．C．D．
9．某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天生产个零件，可列方程为（）
A．B．
C．D．
10．《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文如下：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别售出后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？
若设某个量为x，根据题意可列方程，则x（ ）
A．只能表示绫布的长度
B．只能表示罗布每尺的价格
C．既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度
D．既可以表示绫布每尺的价格，又可以表示罗布每尺的价格
二、填空题
11．若关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围是 ．
12．若关于的方程有增根，则的值为 ．
13．为了加强生物实验教学，提高学生动手操作能力，培养学生的学科素养，新学期开始，某学校购进了单目显微镜和双目显微镜共30台，已知购买单目显微镜用了7560元，购买双目显微镜用了4860元，且这批双目显微镜的单价是单目显微镜单价的1.5倍，求这批单目、双目显微镜各购进多少台？若设购进单目显微镜台，则可列方程为 ．
14．某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了，结果提前8天完成任务．设原计划每天铺设管道x米，根据题意列出方程为 ．
15．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马速度．若设慢马的速度为x里/天，则可列分式方程为 ．
16．随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多1万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程 ．
三、解答题
17．解方程：
(1)．
(2)．
18．已知关于x的方程：．
(1)当m为何值时，方程无解．
(2)当m为何值时，方程的解为负数．
19．某工厂计划生产文创产品“穿楼积木”套，安排甲、乙两车间完成任务，甲车间生产套，乙车间生产套“穿楼积木”、在生产过程中，乙车间每天生产“穿楼积木”的数量是甲车间每天生产“穿楼积木”数量的倍，两个车间同时生产，结果甲车间比乙车间提前2天完成任务，求甲车间每天生产多少套“穿楼积木”？
20．2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买A、B两种机器人进行销售．已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍．求购买一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？
21．海安是 “中国麻虾之乡”，麻虾酱是本地知名特产．小安为走访亲友购买了相同数量的甲、乙两种麻虾酱，分别花去元和元．回家后小安告诉妈妈 “每盒甲型麻虾酱比乙型贵元”，妈妈听完后说 “你肯定是搞错了”．设每盒乙型麻虾酱的单价为x 元．
(1)请通过计算分析，妈妈为什么说小安搞错了？
(2)小安核实账单后，发现甲、乙两种麻虾酱的单价均为整数，每盒甲型与乙型的单价差值算错了，其他信息都正确．若每盒甲型麻虾酱比乙型贵 m（且为整数）元，求每盒乙型麻虾酱的单价．
起点
第1签5km
第2签13.5km
第3签17km
第4签23.5km
第5签29.5km
第6签35.5km
终点50km
电视塔
升平里
欧C工业园
悦城峯境
绿岛湖
智慧公园
青年公园
世纪莲