【名师导航】2026年中考数学一轮复习专题2.3分式方程（组）解法及应用练习（全国通用版）（解析版）

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专题3 分式方程（组）解法及应用
知识梳理
【考点一】分式方程的解法
1．分式方程的概念
分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．
2.分式方程的解法
（1）基本思路：将分式方程化为整式方程．（转化思想）
（2）解分式方程的具体步骤：
①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；
②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；
③解整式方程；
④检验．
易错提醒：
①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项，尤其是常数项；
②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
3.分式方程的增根
增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．
【考点二】分式方程的应用
1.分式方程的应用
利用分式方程解决实际问题的一般步骤：
①设未知数；
②找等量关系；
③列分式方程；
④解分式方程；
⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；
⑥写答案．
2.应用分式方程解决实际问题的常见原因分析：
原因之一：等量关系分析错误导致方程列错；
原因之二：解方程过程中，去分母时，不含分母的项漏乘分母的最小公倍数导致错误；
原因之三：方程解完后，忘记检验，导致错误。
3.分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．
例题讲解
【题型一】解分式方程中判断去分母是否正确
◇典例1：
将关于x的分式方程2x−3x+4=0去分母可得（ ）
A．2x+4+3x=0B．2x+4−3x=0
C．2x+3x+4=0D．2x−3x+4=0
【答案】B
【分析】本题主要考查解分式方程，将原分式方程两边同乘xx+4，即可求出结果．
【详解】解：2x−3x+4=0，
方程两边同乘xx+4，
得2x+4−3x=0．
故选：B．
◆变式训练
1.解分式方程2xx−2−1=3x−12−x时，去分母的结果正确的是（ ）
A．2x−1=3x−1B．2x−(x−2)=3x−1
C．2x−(x−2)=−3x−1D．2x−(x−2)=−3x+1
【答案】D
【分析】此题考查了解分式方程，根据去分母的过程进行解答即可，熟练掌握解分式方程方法步骤是解题关键．
【详解】解：2xx−2−1=3x−12−x，
去分母得， 2x−x−2=−3x+1，
故选：D．
2.解分式方程3x−2+x+32−x=4时，去分母后变形正确的为（ ）
A．3+x+3=4x−2B．3−x+3=4x−2
C．3−x+3=4D．3−x+3=4x−2
【答案】D
【分析】本题考查解分式方程，方程两边同时乘以最简公分母，将方程转化为整式方程进行判断即可．
【详解】解：方程两边同时乘以x−2，得：3−x+3=4x−2；
故选：D．
【题型二】解分式方程
◇典例2：
分式方程3−xx−2=12−x−2的解是（ ）
A．x=6B．x=2C．x=0D．无解
【答案】C
【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：3−xx−2=12−x−2
去分母得：3−x=−1−2x−2，
解得：x=0，
检验：当x=0时，x−2≠0，
∴原方程的解为x=0．
故选：C
◆变式训练
1.解方程：4x−3x−2=0；
【答案】x=8
【分析】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握相关的解法及注意事项是解答本题的关键．
先化为整式方程，求解后进行检验即可；
【详解】解：4x−3x−2=0，
两边同时乘以xx−2得
4x−2−3x=0，
4x−8−3x=0，
4x−3x=8，
x=8，
检验：当x=8时，xx−2≠0，
所以原分式方程的解是x=8；
2.解方程：2x−2=3x+2．
【答案】x=10
【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键．按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解并检验即可．
【详解】解：2x−2=3x+2，
2x+2=3x−2，
2x+4=3x−6，
−x=−10，
解得：x=10，
经检验，x=10是原方程的解，
∴原方程的解为x=10．
【题型三】已知分式方程的解正负求参数
◇典例3：
已知关于x的分式方程mx−1+2=−31−x的解为非负数，则所有正整数m的个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的解的问题求参数．考虑到分式方程有可能产生增根的情形是解题的关键．
利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，由题意得到不等式；分式方程有可能产生使分母为0的增根，所以原方程的解不等于1，由以上两个条件即可得出答案．
【详解】解：去分母，得：
m+2x−1=3，
移项，合并同类项，系数化1得：
x=5−m2．
∵解为非负数，
∴5−m2≥0，
∴m≤5．
∵原分式方程有可能产生增根x=1，
∴5−m2≠1，
∴m≠3，
∴正整数m的值为5、4、2、1，故有4个，
故选：A．
◆变式训练
1.已知关于x的分式方程mx−3+43−x=1的解是非正数，则m的取值范围是（ ）
A．m1且m≠4
【答案】B
【分析】本题主要考查根据分式方程的根求参数，掌握解分式方程的方法，根据根的情况求参数的方法，求一元一次不等式的解的方法是解题的关键．表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于m的不等式，解出m的范围即可．
【详解】解：去分母得：m−4=x−3，
解得：x=m−1，
∵方程的解为非正数，
∴m−1≤0，
解得m≤1，
又∵x−3≠0，
∴x≠3，
∴m−1≠3，
∴m≠4，
∴m的取值范围是m≤1．
故选：B．
2.已知关于x的分式方程2x−3+mxx2−9=5x+3的解是非正数，则m取值范围是（ ）
A．m≥3且m≠10B．m>3且m≠10
C．m≤3且m≠−4D．m>3且m≠4
【答案】B
【分析】本题考查分式方程的解法，一元一次不等式组的解法，解题的关键在于根据分式方程解的情况建立不等式组．
根据题意，先解出分式方程，再根据其解是非正数，建立不等式组求解，注意考虑分母不为0即可．
【详解】解：2x−3+mxx2−9=5x+3
2x+3+mx=5x−3
2x+6+mx=5x−15
m−3x=−21
x=−21m−3，
∵分式方程的解是非正数，
∴x=−21m−3≤0，且−21m−3≠3，−21m−3≠−3，
∵m−3≠0，
整理得：m−3>0，且21≠9−3m，21≠−9+3m，
解得m>3，且m≠−4，m≠10，
综上所述，则m取值范围是m>3且m≠10，
故选：B。
【题型四】已知分式方程增根或无解求参数
◇典例4：
解关于x的分式方程5+xx−2=m2−x，若该分式方程产生增根，则m的值为（ ）
A．0B．−2C．2D．2或−2
【答案】B
【分析】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是明确增根的定义（使分式方程分母为零的根），先求出增根，再将增根代入去分母后的整式方程求解m的值．
先确定分式方程的分母为x−2和2−x，令分母为零得增根x=2；再将分式方程两边同乘最简公分母x−2化为整式方程；最后把增根x=2代入整式方程，计算得出m的值，进而判断选项．
【详解】解：分式方程5+xx−2=m2−x的分母为x−2和2−x=−(x−2)，
令分母为零，得增根x=2．
方程两边同乘x−2去分母，得：5(x−2)+x=−m．
将增根x=2代入整式方程：5×(2−2)+2=−m，
即0+2=−m，解得m=−2．
故选：B．
◆变式训练
1.如果关于x的分式方程mxx+2+xx+2=2无解，那么实数m的值为（ ）
A．−1B．1或0C．1D．1或−1
【答案】D
【分析】本题考查分式方程的解，理解其意义是解题的关键．将原方程去分母得mx+x=2x+4，整理得m−1x=4，根据题意分情况讨论并求得对应的m的值即可．
【详解】解：原方程去分母得mx+x=2x+4，
整理得m−1x=4，
当m−1=0，m=1时，
0x=4无解，那么原方程无解，符合题意，
当m≠1时，
若方程无解，那么它有增根x=−2，
则−2m−1=4，
解得：m=−1，
综上，m的值为1或−1，
故选：D．
2.若分式方程2x=mx−1无解，则m的值为（ ）
A．0B．2C．0或2D．1或2
【答案】C
【分析】本题主要考查分式方程无解的情况，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
先将分式方程转化为整式方程，再分一元一次方程无解和分式方程有增根进行讨论即可．
【详解】解：2x=mx−1
2x−2=mx
2−mx=2
∵分式方程2x=mx−1无解，
∴2−m=0，
∴m=2；
∴xx−1=0，
当x=0时，0≠2，不成立；
当x−1=0时，x=1，则2−m=2，
∴m=0，
综上所述，若分式方程2x=mx−1无解，则m的值为0或2，
故答案为：C．
【题型五】分式方程实际应用之行程问题
◇典例5：
小吉和小林从同一地点出发跑800米，小吉的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40秒到达终点．求小林跑步的平均速度．
【答案】小林跑步的平均速度为4米每秒
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．
设小林跑步的平均速度为x米每秒，则小吉的平均速度为1.25x米每秒，分别表示出时间，根据“小吉比小林少用40秒到达终点”建立分式方程求解，再检验即可．
【详解】解：设小林跑步的平均速度为x米每秒，则小吉的平均速度为1.25x米每秒，
由题意得：8001.25x+40=800x，
解得：x=4，
经检验，x=4是原方程的解，且符合题意，
∴原方程的解为：x=4，
答：小林跑步的平均速度为4米每秒．
◆变式训练
2025年佛山50公里徒步活动，约40万市民迎着春光奔跑，用脚步丈量绿美佛山环城线中途设置了6个签到点，签到点与起点的距离如下表：
求：小明从第4签到第6签的平均速度是起点到第3签的平均速度v的0.8倍，且他从第4签到第6签比起点到第3签少用25h，求v的值．
【答案】v的值为5km/h．
【分析】此题考查了分式方程的应用，根据题意得17v−35.5−，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：根据题意得：17v−35.5−，
解得：v=5，
经检验，v=5是所列方程的解，且符合题意，
答：v的值为5km/h．
2024年“有礼杯”衢州马拉松于11月24日开跑，小明和小聪一起报名参加了“迷你跑”的比赛．小明以一定的速度跑到3000米处的补给点休息了一段时间后，继续以原速前行，在距离终点500米处因体力不支，最终以100米/分的速度坚持跑到终点；小聪在途中休息了5分钟后，以原来的43倍的速度冲向终点．如图是小明和小聪在比赛过程中所跑的路程s（米）和跑步时间t（分）的函数关系图．根据图象回答下列问题：
(1)求a的值；
(2)求图中线段BC对应的函数表达式；
(3)求小聪休息前的速度．
【答案】(1)42.5
(2)s=200t−200025≤t≤37.5
(3)150米/分
【分析】此题考查了一次函数的应用、从函数图象获取信息等知识，准确求出函数解析式是关键．
（1）利用“ 在距离终点 500 米处因体力不支，最终以 100 米/分的速度坚持跑到终点 ”求解；
（2）先求出B、C两点的坐标，再利用待定系数法求出线段BC的解析式；
（3）先当t=32.5时，得出s=4500，再设小聪休息前的速度为v米/分，列出关于v的分式方程求解．
【详解】（1）解：a=37.5+500÷100=42.5；
（2）解：由题意得：小明共休息37.5−5500÷3000÷15=10（分钟），
∴点B的坐标为(25,3000)，点C的坐标为(37.5,5500)，
设线段BC的解析式为s=kt+b，由题意得：
25k+b=300037.5k+b=5500，
解得k=200b=−2000，
∴线段BC的解析式为：s=200t−200025≤t≤37.5；
（3）解：当t=32.5时，s=4500；
由图可得小聪休息时所跑的路程为4500米，
设小聪休息前的速度为v米/分，得：
4500v+6000−450043v+5=42.5，
解得：v=150，
经检验v=150是原方程的解,，且符合题意，
答：小聪休息前的速度为150米/分．
【题型六】分式方程实际应用之工程问题
◇典例6：
某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单．
(1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品；
(2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？
【答案】(1)甲车间每天能生产180件产品乙车；间每天能生产120件产品
(2)安排甲车间生产20天，则乙车间生产10天
【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式以及一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设乙车间每天能生产x件产品，则甲车间每天能生产1.5x件产品，分别表示出甲、乙两个车间合作完成的时间和乙车间单独完成的时间，再根据“前后共用10天完成这批订单”建立分式方程求解；
（2）设安排甲车间生产m天，则乙车间生产30−m天，先根据“安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍”得到关于m的一元一次不等式，再设生产总量为w，建立w关于m的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解．
【详解】（1）解：设乙车间每天能生产x件产品，则甲车间每天能生产1.5x件产品，
由题意得：1500x+1.5x+2100−1500x=10，
解得：x=120，
经检验：x=120是原方程的解，且符合题意，
则1.5×120=180（件），
答：甲车间每天能生产180件产品，乙车间每天能生产120件产品
（2）解：设安排甲车间生产m天，则乙车间生产30−m天，
由题意得：m≤230−m，
解得：m≤20，
设生产总量为w，由题意得：
w=180m+12030−m=60m+3600，
∵m>0，
∴w随着m的增大而增大，
∴当m=20时，w最大，即这30天的生产总量最大，
∴30−m=30−20=10，
∴安排甲车间生产20天，则乙车间生产10天．
◆变式训练
2024年1月上旬，太原市城市轨道交通1号线一期工程首列车在中车大连公司正式下线．为保障轨道交通1号线的顺利通车，某工厂加急生产一批零件，需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产20%，则提前4天完成任务．求实际每天生产的零件个数和实际完成任务的天数．
【答案】实际每天生产的零件个数为200个，实际完成任务的天数为20天
【分析】
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设原计划每天生产零件x个，由需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产20%，则提前4天完成任务列出方程，解方程即可．
【详解】
解：设原计划每天生产零件x个，
由题意得：4800x=48001+20%x+4，
解得：x=200，
经检验，x=200是原方程的根，且符合题意，
∴1.2×200=240（个），
则实际完成任务的天数为：4800÷240=20（天），
答：实际每天生产的零件个数为200个，实际完成任务的天数为20天．
2.如图，从A地到D地规划修建一条东西方向的笔直公路AD，勘测人员发现公路AD要穿过一座山，施工队原计划从B处开凿隧道通到C处，已知A，B，C，D四点在同一直线上，在C处的正南方取一观测点E，观测到点E在点B的南偏东53°方向上，观测点E到点B的距离为1500m．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，最后结果保留整数）
(1)求隧道两端BC间的距离；
(2)原计划从B向C开挖，为了加快施工进度，实际从B，C两端同时相向施工，结果工作效率比原计划提高了20%，比原计划提前5天完工．问原计划单向开挖每天挖多少m？
【答案】(1)BC间的距离为1200m
(2)原计划单向开挖每天挖40m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用．熟练掌握解直角三角形的应用，分式方程的应用是解题的关键．
（1）由题意知，∠BCE=90°，∠E=53°，BE=1500m，则∠CBE=37°，根据BC=BE⋅cs37°，求解作答即可；
（2）设原计划单向开挖每天挖xm，则相向施工时每天挖1.2xm，依题意得，1200x−12001.2x=5，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，∠BCE=90°，∠E=53°，BE=1500m，
∴∠CBE=180°−∠BCE−∠E=37°，
∴BC=BE⋅cs37°≈1500×0.80=1200m，
∴BC间的距离为1200m；
（2）解：设原计划单向开挖每天挖xm，则相向施工时每天挖1.2xm，
依题意得，1200x−12001.2x=5，
解得，x=40，
经检验，x=40是原分式方程的解，
∴原计划单向开挖每天挖40m．
【题型七】分式方程实际应用之销售问题
◇典例7：
随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同．
(1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元．
(2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
【答案】(1)甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元
(2)购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元．
【分析】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为x+300元，根据题意，得50000x=56000x+300，解方程即可．
（2）根据题意，甲型健身器材买了a个，则购买乙型健身器材数量为20−a个，且a≤320−a，根据题意，得w=280020−a+2500a=−300a+56000，解答即可．
本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】（1）解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为x+300元，
根据题意，得50000x=56000x+300，
解得x=2500，
经检验，x=2500是原方程的根．
此时x+300=2800，
答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元．
（2）解：根据题意，甲型健身器材买了a个，则购买乙型健身器材数量为20−a个，且a≤320−a即a≤15，且a为正整数，
根据题意，得w=280020−a+2500a=−300a+56000，
由k=−300