【名师导航】2026年中考数学一轮复习专题3.4一次函数的图象及应用练习（全国通用版）（解析版）

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专题4 一次函数的图象及应用
知识梳理
【考点一】一次函数与行程问题
一次函数与行程问的函数图象方法：
（1）一看坐标轴：行程问题函数图象的 “基础语言”（必记）
行程问题的函数图象通常是路程 （纵坐标）− 时间（横坐标）图象，少数情况是速度（纵坐标）− 时间（横坐标）图象，谨记：看图象，要先看坐标轴表示的意义；
（2）二看关键点：图象起点、拐点、交点、终点
起点：确定出发时刻、初始位置（是否同地出发）；
拐点：预示着运动状态改变：速度变化、方向改变（前进→返回）、暂停（水平线段起点 / 终点）；
交点：同一时间，两人到达同一位置；
终点：到达目的地（路程不再变化）或运动结束.
（3）三看变化趋势：坐标轴的意义不同，变化趋势的意义也不同，所以要在明确坐标轴的意义前提下，再看变化趋势才有意义。
【考点二】一次函数与销售问题
1．销售问题的常用数量关系
（1）总利润W = 单件利润 × 销量 = 总收入 − 总成本
（2）单件利润 = 售价 − 成本（进价）= 标价 × 折扣率 − 成本
（3）销量与定价联动问题：
① 涨价时：销量 = 原销量 − 每涨1元少卖的件数 × 涨价金额；
② 降价时：销量 = 原销量 + 每降1元多卖的件数 × 降价金额；
（4）售价 = 标价 × 折扣率
2． 一次函数建模方法
【考点三】一次函数与梯度计价问题
1．梯度计价问题（如阶梯水费、电费、燃气费、个税等）是初中数学一次函数应用的中考高频题型（常以解答题形式出现），核心特征是 “分区间定价”—— 不同用量 / 收入区间对应不同单价，需通过分段一次函数建模求解。
2．梯度计价的本质是分段的一次函数：
梯度计价的本质是 “多区间线性定价”，每个区间对应一段独立的一次函数 y = kx + b（x 为用量 / 收入，y 为总费用），关键在于明确：
3. 通用解题步骤：
第一步：审题析区间 —— 拆分梯度，明确关键参数；
（1）找分界点：从题目中提取梯度划分的关键数值（如 “电费：不超过 200 度按 0.5 元 / 度，超过 200 度的部分按 0.8 元 / 度”，分界点为 200 度）；
（2）列区间表：按 “用量从小到大” 拆分区间，标注每个区间的 “单价” 和 “累计基础费用 ”；
（3）定变量：设 x 为实际用量/收入，y 为总费用；
第二步：列函数表达式 —— 分区间写一次函数
根据 “y = 本区间单价⋅x + 前序累计费用”，分区间推导表达式，
关键：表达式需标注对应 x 的取值范围，避免区间混淆。
第三步：根据题意求数值 —— 分情况代入计算
（1）已知用量 x，求总费用 y：先判断 x 属于哪个区间，再代入对应区间的函数表达式计算；
（2）已知总费用 y，求用量 x，从第一档开始验证，直到找到对应区间；
第四步：验证答案 —— 结合实际场景检验合理性
【考点四】一次函数与分配方案问题
1．用一次函数解决分配方案问题是初中数学中考综合应用题的高频类型，常以解答题形式出现，核心场景是 “资源分配（材料、人力、资金）、生产调度、运输调配” 等，本质是在多个约束条件下（如总量限制、数量范围），通过构建一次函数（目标函数）求最优方案（最小成本、最大收益、最高效率） 。
2．分配方案问题分析
3．一次函数性质在分配方案问题中的应用
4. 自变量的特殊要求：
分配方案中的自变量多为 “数量”（如件数、吨数、人数），因此需满足：
非负性：x ≥ 0；
整数性：x 为正整数（或自然数），最终可行方案需为整数解。
5.通用解题方法总结：
第一步：审题析题 —— 明确约束条件和优化目标
找关键词：提取 “总量”“不超过”“至少”“最多”“比例” 等约束条件（如 “钢材总用量不超过 100 吨”“A 产品产量至少 5 件”）；
定优化目标：明确是 “求最小成本”“最大收益” 还是 “最短时间”（目标函数的因变量 y）；
设变量：设核心分配量为自变量 x（如 “设生产 A 产品 x 件”“设甲运输 x 吨”），用 x 表示其他相关量（如 B 产品产量 = 总销量 − x）。
第二步：列不等式组 —— 确定自变量取值范围
根据约束条件列出不等式组，解出 x 的取值范围（注意整数性要求）：
第三步：列目标函数 —— 构建一次函数
根据优化目标，用 x 表示目标量 y，化简为y = kx + b 的形式：
成本类：总成本 = A的单位成本×x + B的单位成本×(相关量 − x)；
收益类：总收益 = A的单位收益×x + B的单位收益×(相关量 − x)。
第四步：求最优方案 —— 利用一次函数增减性
判断 k 的正负，确定函数增减性；
结合自变量取值范围（整数区间），找到最优端点：
若 k > 0：取 x 最大值，y 最大；取 x 最小值，y 最小；
若 k < 0：取 x 最大值，y 最小；取 x 最小值，y 最大；
列出所有可行方案（若取值范围为连续整数，可列举关键端点方案）。
第五步：验证答案 —— 检验方案的可行性
检查最优方案是否满足所有约束条件（如成本是否超预算、产量是否符合要求）；
确认自变量为整数，目标量计算无误。
例题讲解
【题型一】一次函数与行程问题
◇典例1：
已知甲、乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲、乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来用30分钟装完货物后，发现此时与出租车相距，货车改变速度继续出发后，与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图，这是两车距各自出发地的距离与货车行驶时间之间的函数关系图象．
(1)=________，货车装完货物后的行驶速度为________．
(2)求出租车从乙地返回甲地的速度．
(3)在出租车返回的过程中，货车出发多长时间与出租车相距？
【答案】(1)120，
(2)
(3)或
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了一次函数图象及应用，待定系数法求一次函数解析式，路程、速度和时间的关系．关键在于利用待定系数法求函数表达式，结合路程、速度、时间关系分析各阶段运动状态，第三问需分类讨论“相遇前”和“相遇后”的距离情况．而且注意时间单位统一及图象中坐标的实际意义．
（1）求a的值：通过出租车从甲地到乙地的函数图象确定其速度，再代入计算a；求货车装完货物后的速度：利用相遇时的路程和与时间关系求解即可；
（2）求出租车从乙地返回甲地的速度：先确定货车到达甲地的时间，再结合出租车比货车早15分钟到达，计算出租车返回时间，进而求速度；
（3）求出租车返回时与货车相距的时间：设时间为t小时，分别表示货车和出租车距乙地的距离，分“相遇前”和“相遇后”两种情况列方程求解．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
将代入，得，解得，
的解析式为．
把代入，．
出租车从甲地到乙地的速度为，
货车继续出发小时后，与出租车相遇，
相遇时，货车的速度为；
故答案为：120，；
（2）由（1）得，
货车卸货时与乙地相距，
装完货物后，发现此时与出租车相距,
此时出租车距离乙地，
把代入，得，解得，
，
货车的速度为，
直线的解析式为，
把代入得，解得，
出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地，且，
点E的坐标为即，
出租车从乙地返回到甲地的速度为；
（3）设货车出发t小时后，出租车返回与货车相距， 货车距乙地：， 出租车距乙地：，
分两种情况讨论：
情况一：相遇前相距 ，可得，
解得；
情况二：相遇后相距，可得，
解得．
综上，货车出发或与出租车相距．
◆变式训练
1.无人快递车在我市的城市道路上已正式“上岗”．现有一条笔直的路上依次有三个快递网点，甲车由网点地驶往网点，乙车由网点地驶往网点，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离网点的路程、（单位：千米）与乙车行驶时间（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题：
(1)甲车的速度是 千米/时；
(2)求图象中线段的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
(2)当两车距网点的路程之和是千米时，此时求乙车的行驶时间．
【答案】(1)；
(2)；
(3)乙车的行驶或小时后，两车距网点的路程之和是千米．
【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了一次函数的应用，数形结合是解题的关键．
（）根据函数图象，结合路程除以速度，即可求解；
（）先求得乙车的速度，进而得出，待定系数求得解析式，即可求解；
（）分别求得各段解析式，根据题意，列出一元一次方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：根据图象可知：甲车的速度是（千米时），
故答案为：；
（2）解：根据图象可知：乙车的速度是（千米时），
∴，
∴，
设线段的函数解析式为，
∴，解得：，
∴线段的函数解析式为；
（3）解：由题意设，
∴，解得：，
∴，
同理可得：当时，；
∴，
设乙车的行驶小时后，两车距网点的路程之和是千米，
当乙未到达时，，
解得：；
当乙经过后，，
解得：（舍去）；
当甲到达后，，
解得：；
答：乙车的行驶或小时后，两车距网点的路程之和是千米．
【题型二】一次函数与销售问题
◇典例2：
为了更好的服务各云计算中心，某科技公司计划购进两类服务器升级后再销售．高性能服务器每台的进价是普通服务器每台进价的倍．花费480万元购进高性能服务器的台数比花费560万元购进普通服务器的台数少6台．
(1)高性能服务器和普通服务器每台的进价各是多少万元？
(2)若该科技公司采购这两种服务器共100台，且购买的总费用不超过5400万元．高性能服务器每台售价80万元，普通服务器按进价的2倍标价后再打7折销售，请你帮该科技公司设计利润最大的进货方案，并求出最大利润．
【答案】(1)高性能服务器每台的进价各是60万元，普通服务器每台的进价各是40万元
(2)购进高性能服务器70台，普通服务器30台时利润最大，最大利润是1880万元．
【知识点】分式方程的经济问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】此题考查不等式的实际应用、一次函数的应用和分式方程的应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键．
（1）设普通服务器每台进价为万元，则高性能服务器每台进价为万元，根据“花费480万元购进高性能服务器的台数比花费560万元购进普通服务器的台数少6台”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后即可求解；
（2）设购进高性能服务器台，则购进普通服务器台，根据“购买的总费用不超过5400万元”，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设总利润为万元，根据题意，可找出关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设普通服务器每台进价为万元，则高性能服务器每台进价为万元．
根据题意列方程得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，则高性能服务器每台进价为：万元；
答：高性能服务器每台的进价是60万元，普通服务器每台的进价是40万元；
（2）解：设购进高性能服务器台，则购进普通服务器台．
可列出不等式：，
解得：，且m的整数，
高性能服务器每台利润为：（万元），
普通服务器每台利润为：（万元），
设总利润为万元，则，化简得：，
∵，
∴随的增大而增大，
又∵，
∴当时，有最大值，（万元），此时购进普通服务器：（台）．
答：购进高性能服务器70台，普通服务器30台时利润最大，最大利润是1880万元．
◆变式训练
1.小明到服装店进行社会实践活动，服装店老板让小明帮助解决以下问题：服装店准备购进甲、乙两种服装，甲种每件进价120元，售价180元；乙种每件进价100元，售价150元．计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．
(1)若购进这100件服装的费用不得超过11500元，则甲种服装最多购进多少件？
(2)在（1）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠元的价格进行促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案使这批服装获得的利润最大？
【答案】(1)件
(2)方案1：当时，购进甲种服装75件，乙种服装25件；方案2：当时，所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以；方案3：当时，当时，购进甲种服装65件，乙种服装35件．
【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】此题考查了一次函数的应用和一元一次不等式的应用，准确列出不等式和函数解析式是关键．
（1）设购进甲种服装x件, 购进这100件服装的费用不得超过11500元，据此列出不等式，解不等式即可得到答案；
（2）设总利润为w元，因为甲种服装不少于65件，所以，列出函数解析式，根据一次函数的性质分情况进行解答即可．
【详解】（1）解：设购进甲种服装x件,由题意可知：

解得：
答：甲种服装最多购进75件．
（2）设总利润为w元，因为甲种服装不少于65件，所以，
方案1：当时，，w随x的增大而增大
所以当时，w有最大值，则购进甲种服装75件，乙种服装25件；
方案2：当时，所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以；
方案3：当时，，w随x的增大而减小
所以当时，w有最大值，则购进甲种服装65件，乙种服装35件．
【题型三】一次函数与梯度计价问题
◇典例3：
为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准：
（1）若每户居民每月用电量不超过度，则按元度计算；
（2）若每户居民每月用电量超过度，则超过部分按元度计算（未超过部分仍按每度电元计算）．
现假设某户居民某月用电量是x（单位：度），电费为y（单位：元），则y与x的函数关系用图象表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】梯度计价问题
【分析】本题考查了分段函数以及函数图象，根据题意求出各用电量段内的函数解析式是解题的关键．
根据题意求出电费与用电量的分段函数，然后根据各分段内的函数图象即可得到解，在从给出的四个图像中判断出正确的图像即可．
【详解】解：当时，；
当时，，
故与的函数关系式为，
观察各选项，选项中的图象符合，
故选：．
◆变式训练
1. 2025年3月1日，《节约用水条例》正式施行，为水资源可持续利用提供法治保障．为加强居民节水意识，某市采用如下收费标准：每月用水量不超过13立方米时，每立方米4元，超过13立方米时，超出的部分每立方米6元．设某用户月用水量为立方米，水费为元．
(1)求关于的函数表达式；
(2)若该用户某月预算水费为58元，实际水费为50元，则该用户本月实际用水比预算少用了多少立方米？
【答案】(1)
(2)该用户本月实际用水比预算少用了1.5立方米
【知识点】梯度计价问题
【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）根据题意可分用水量在13立方米以内和超过13立方米，然后分别列出函数关系式即可；
（2）根据（1）中函数关系式可直接进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：当时，则；
当时，则有；
综上所述：关于的函数表达式为；
（2）解：由（1）可知：当时，则，解得：；
当时，则，解得：；
∴（立方米）；
答：该用户本月实际用水比预算少用了1.5立方米．
【题型四】一次函数与分配方案问题
◇典例4：
为了提升社区居民的健康水平和生活质量，市政府决定对社区内的健身设施进行全面升级计划，采购两种不同类型的健身器材共720台．经过市场调研，发现A种器材的价格y（百元/台）与采购数量x之间的函数关系如图所示，而B种器材的价格为固定值30百元/台．
(1)当时，求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
(2)假设A种器材采购数量不低于60台，且B种器材采购数量不低于A中器材采购数量的3倍．如何分配两种器材的采购数量才能使采购费用w（百元）最少？最少是多少？
【答案】(1)
(2)当采购A种器材180台， B种器材540台时，采购费用w最少，最少为22500（百元）．
【知识点】求一次函数解析式、分配方案问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数)、不等式组的经济问题
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出函数关系式和不等式组是解题的关键．
（1）当时，；当时，设，再利用待定系数法求解即可；
（2）设采购A种器材m台，则采购B种器材台，根据A种器材采购数量不低于60台，且B种器材采购数量不低于A中器材采购数量的3倍建立不等式组求出m的取值范围为，再分和两种情况，分别求出w关于m的函数关系式，利用一次函数和二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，当时，；
当时，设，
把代入中得：，解得，
∴；
综上所述，；
（2）解：设采购A种器材m台，则采购B种器材台，
由题意得，，
解得；
当时，则，
∵，
∴w随m增大而增大，
∴当时，w有最小值，最小值为；
当时，则
，
∵，对称轴为，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵，
∴当时，w有最小值，最小值为，
∵，
∴当，时，w有最小值，
答：当采购A种器材180台， B种器材540台时，采购费用w最少，最少为22500（百元）．
◆变式训练
1.姚明将带队来我市体育馆进行表演比赛，市体育局在策划本次活动，在与单位协商团购票时推出两种方案．设购买门票数为（张），总费用为（元）．
方案一：若单位赞助广告费8000元，则该单位所购门票的价格为每张50元；（总费用＝广告赞助费+门票费）
方案二：直接购买门票方式如图所示．
解答下列问题：
(1)方案一中，与的函数关系式为 ；方案二中，当时，与的函数关系式为 ，当时，与的函数关系式为 ；
(2)如果购买本场篮球赛门票超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由；
(3)甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场篮球赛门票共700张，花去总费用计56000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张．
【答案】(1)
(2)当时，选择方案二总费用最省；当时，方案一、二均可；当时，选择方案一，总费用最省
(3)甲单位购买门票400张，乙单位购买门票300张
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、分配方案问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题主要考查了函数关系式，利用待定系数法求一次函数的解析式，求图象的交点坐标，利用图象判定自变量的大小，利用一元一次方程解决实际问题等知识点，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质，分类讨论的数学思想．
（1）根据题意列出函数关系式，利用待定系数法求正比例函数和一次函数的解析式即可；
（2）联立方案一和方案二解析式，求出交点坐标，利用图象即可判定出省钱的方案；
（3）设甲单位购买了张门票，则乙单位购买了张，分类两种情况进行讨论，根据总费用列出一元一次方程进行求解即可．
【详解】（1）解：方案一中，与的函数关系式为；
方案二中，当时，假设与的函数关系式为，
将代入解析式得，
，
解得
所以，当时，与的函数关系式为；
当时，假设与的函数关系式为，
将代入解析式得，
解得
所以，当时，与的函数关系式为，
故答案为：；
（2）解：如图所示，
联立
解得
所以，当时，选择方案二总费用最省；当时，方案一、二均可；当时，选择方案一，总费用最省；
（3）解：设甲单位购买了张门票，则乙单位购买了张，根据题意得，
当时，
解得，不符合题意舍去；
当时，
解得，
则，
所以，甲单位购买门票400张，乙单位购买门票300张．
【题型五】一次函数与科技热点问题
◇典例5：
文创产品是融合文化元素与创意设计的实用商品，某文创工作室开发、两种主题的书签进行销售，制作2套主题书签和5套主题书签的总成本为110元，制作3套主题书签和4套主题书签的总成本为130元．
(1)求制作1套主题书签和1套主题书签的成本分别为多少元？
(2)现工作室要制作、两种主题的书签共80套推向市场，种主题的书签每套售价100元，种主题的书签每套售价30元，已知主题书签的制作数量不少于主题书签的数量的，且总成本不能超过1400元．为使销售利润最大，请设计获得最大利润的销售方案，并求出最大利润值．
【答案】(1)制作1套A主题书签的成本是30元，1套B主题书签的成本是10元
(2)当工作室制作30套A主题书签，50套B主题书签时，销售利润最大，最大利润为3100元
【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
（1）设制作1套A主题书签的成本是x元，1套B主题书签的成本是y元，根据“制作2套A主题书签和5套B主题书签的总成本为110元，制作3套A主题书签和4套B主题书签的总成本为130元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设制作m套A主题书签，则制作套B主题书签，根据“A主题书签的制作数量不少于B主题书签的数量的，且总成本不能超过1400元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，设全部售出后的获得的总利润为w元，利用总利润每套A主题书签的销售利润制作A主题书签的套数每套B主题书签的销售利润制作B主题书签的套数，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设制作1套A主题书签的成本是x元，1套B主题书签的成本是y元，
根据题意得：，
解得：，
答：制作1套A主题书签的成本是30元，1套B主题书签的成本是10元；
（2）设制作m套A主题书签，则制作套B主题书签，
根据题意得：，
解得：，
设全部售出后的获得的总利润为w元，
则，
即，
，
随m的增大而增大，
当时，w取得最大值，最大值为（元），
（套）．
答：当工作室制作30套A主题书签，50套B主题书签时，销售利润最大，最大利润为3100元．
◆变式训练
1.如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为．
(1)若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．设出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、．当和时，都有．
①则甲的速度是__________，乙的速度是__________；
②求与的函数关系式；
(2)若甲从点先出发，骑车向北匀速直行；1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．当甲到达点时休息了1分钟，然后继续向北骑行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，求甲出发多长时间，两人与点的距离相等?
【答案】(1)①240；80；②
(2)甲出发4分钟或分钟后，两人与点的距离相等
【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用)、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、求一次函数的解析式，理解题意是解题的关键．
（1）①设甲的速度是，乙的速度是，根据题意列出方程组，解出的值即可；②根据①中甲的速度，分和两种情况即可求解；
（2）设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、，根据题意分、、、四种情况分析，分别求出、与的关系式，结合列出方程，求出的值即可解答．
【详解】（1）解：①设甲的速度是，乙的速度是，
当时，，，
当时，，，
由题意得，，
解得：，
甲的速度是，乙的速度是．
故答案为：240；80；
②甲的速度是，
甲到达的时间为，
当时，；
当时，；
与的函数关系式为．
（2）解：设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、，
①当时，，，
令，则，解得（舍去）；
②当时，，，
令，则，解得；
③当，，，
令，则，解得（舍去）；
④当，，，
令，则，解得；
答：甲出发4分钟或分钟后，两人与点的距离相等．
真题在线
一、单选题
1．（2024·河北·中考真题）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查正比例函数的应用，扇形的面积，设该扇面所在圆的半径为，根据扇形的面积公式表示出，进一步得出，再代入即可得出结论．掌握扇形的面积公式是解题的关键．
【详解】解：设该扇面所在圆的半径为，
，
∴，
∵该折扇张开的角度为时，扇面面积为，
∴，
∴，
∴是的正比例函数，
∵，
∴它的图像是过原点的一条射线．
故选：C．
2．（2025·江西·中考真题）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】A
【分析】本题考查了正比例函数的性质．根据正比例函数的性质解答即可．
【详解】解：如图，
根据题意得，
∴，
根据正比例函数的意义，值越大，图象越陡，反之图象越陡，值越大，
∴观察图象，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲，
故选：A．
3．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，当时，的值为（ ）
A．36B．38C．40D．42
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数的应用．理解题意是关键．依据题意，先求出时的函数关系式，然后将代入计算可以得解．
【详解】解：设当时的直线解析式为：，
由条件可得．
解得．
∴直线解析式为．
令，
∴．
故选：B．
4．（2023·山东聊城·中考真题）甲乙两地相距a千米，小亮8:00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（ ）

A．8:28B．8:30C．8:32D．8:35
【答案】A
【分析】利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，将两个解析式联立，通过解方程求出交点的横坐标即可．
【详解】解：令小亮出发时对应的t值为0，小莹出发时对应的t值为10，则小亮到达乙地时对应的t值为70，小莹到达甲地时对应的t值为40，
设小亮对应函数图象的解析式为，
将代入解析式得，解得，
小亮对应函数图象的解析式为，
设小莹对应函数图象的解析式为，
将，代入解析式，得，
解得，
小莹对应函数图象的解析式为，
令，得，
解得，
小亮与小莹相遇的时刻为8:28．
故选A．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，熟练运用数形结合思想．
5．（2025·江苏苏州·中考真题）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表：
研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据表格数据，确定一次函数中的系数a和常数项b，再代入计算v的值，即可解题．
【详解】解：满足公式，
由表格数据可得，
解得，
即，
当温度t为时，，
故选：B．
6．（2025·内蒙古·中考真题）在闭合电路中，通过定值电阻的电流（单位：A）是它两端的电压（单位：）的正比例函数，其图象如图所示，当该电阻两端的电压为时，通过它的电流为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了正比例函数的实际应用，正确求出函数解析式是解题的关键．
通过待定系数法求出电流关于电压的函数解析式，再将代入函数解析式即可求解．
【详解】解：由题意得设电流关于电压的函数解析式为：，
由图象可代入得：，
解得：，
∴，
当，则
故选：A．
7．（2024·山西·中考真题）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意可设，利用待定系数法求出k，b即得x、y之间的函数关系式．
【详解】解：∵蛇的体长是尾长的一次函数，
设，
把时，；时，代入得，
解得，
∴y与x之间的关系式为．
故选：A．
8．（2023·贵州·中考真题）今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y（）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．小星家离黄果树景点的路程为B．小星从家出发第1小时的平均速度为
C．小星从家出发2小时离景点的路程为D．小星从家到黄果树景点的时间共用了
【答案】D
【分析】根据路程、速度、时间的关系，结合图象提供信息逐项判断即可．
【详解】解：时，，因此小星家离黄果树景点的路程为，故A选项错误，不合题意；
时，，因此小星从家出发第1小时的平均速度为，故B选项错误，不合题意；
时，，因此小星从家出发2小时离景点的路程为，故C选项错误，不合题意；
小明离家1小时后的行驶速度为，从家出发2小时离景点的路程为，还需要行驶1小时，因此小星从家到黄果树景点的时间共用了，故D选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查从函数图象获取信息，解题的关键是理解题意，看懂所给一次函数的图象．
二、填空题
9．（2025·福建·中考真题）弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 千克．
【答案】0.8
【分析】本题主要考查了胡克定律的应用，熟练掌握胡克定律（其中为弹力，为劲度系数，为弹簧伸长或压缩量 ）及重力与质量的关系是解题的关键．先根据已知条件求出弹簧的劲度系数，再利用胡克定律求出弹簧长度为厘米时所挂物体的质量．
【详解】解：不挂物体时弹簧长度厘米，挂质量千克物体时，弹簧长度厘米，则弹簧伸长量(厘米)．
物体重力（为常量），根据胡克定律，可得，即，解得．
当弹簧长度厘米时，弹簧伸长量(厘米)．
设此时所挂物体质量为千克，则，因为，所以，两边同时除以，得．
故答案为： ．
10．（2024·江苏淮安·中考真题）一辆轿车从A地驶向B地，设出发后，这辆轿车离B地的距离为．已知y与x之间的函数表达式为，则轿车从A地到达B地所用时间是 h．
【答案】
【分析】本题考查一次函数的实际应用，求出时的的值即可．
【详解】解：由题意，当时，解得：；
∴轿车从A地到达B地所用时间是小时；
故答案为：．
11．（2023·江苏南京·中考真题）甲车从A地出发匀速行驶，它行驶的路程y（单位：km）与行驶的时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示．甲车出发20min后，乙车从A地出发沿同一路线匀速行驶．若乙车经过20min～30min追上甲车，则乙车的速度v（单位：km/min）的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象求出甲车的速度是本题的关键．根据图象，求出甲车的速度，设甲车出发t min后乙车追上甲车，根据两车与A地距离相等列等式，用t将v表示出来，根据t的取值范围，求出v的最小值即可．
【详解】解：由函数图象可知甲的速度为（km/min），
追及的路程为（km），
时，甲乙两车速度差为（km/min），此时乙车速度为（km/min），
时，甲乙两车速度差为（km/min），此时乙车速度为（km/min），
所以乙车的速度v的取值范围是．
故答案为：．
12．（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地 ．
【答案】/
【分析】本题属于一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是关键； 设甲的函数图象为，乙的函数图象为，结合图形进而确定两函数解析式； 利用两函数解析式联立方程组，进而求得方程组的解即可．
【详解】解：由图可得，甲的函数图象为正比例函数，乙的函数图象为一次函数，与纵坐标轴的交点为，
设甲的函数图象为，乙的函数图象为，
则，，
解得，，
甲的函数图象为，乙的函数图象为，
联立，
解得
即他们相遇时距离A地．
故答案为：．
三、解答题
13．（2025·四川·中考真题）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升．
(1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式；
(2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长．
【答案】(1)血液中药物浓度上升阶段对应的函数解析式为，下降阶段的函数关系式是．
(2)成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
（1）根据函数图象中的数据，可以得到血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式；
（2）依据由题，令 ，结合（1）的解析式，分别求出的值，进而可以判断得解．
【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为，
把 代入中得，
∴．
∴当时，与的函数关系式为；
当时，设与的函数关系式为，
把和代入中得，
∴，
∴当时，与的函数关系式为．
综上，血液中药物浓度上升阶段与之间的函数解析式为，下降阶段与之间的函数关系式是．
（2）解：在中，当时，，
在中，当时，，
小时，
答：成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时．
14．（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示．
(1)求所在直线的函数表达式；
(2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先设所在直线的函数表达式为，再代入进行计算，得，然后求出点坐标为，再运用待定系数法进行列式计算，即可作答．
（2）理解题意，则当时，解得，故，即可作答．
【详解】（1）解：设所在直线的函数表达式为，
把代入，
，
，
当时，，
即点坐标为，
设所在直线的函数表达式为
得，
解得，
∴所在直线的函数表达式为；
（2）解：由（1）得所在直线的函数表达式为；
依题意，当时，
解得，
，
该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为．
15．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下：
(1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？
【答案】(1)
(2)60元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用．
（1）由题意可知y是x的一次函数，利用待定系数法求解即可．
（2）列出单件的利润乘以销量等于总利润列出关于x的一元二次方程求解，再结合x的取值范围选择合适的解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，y是x的一次函数．
设y与x的函数表达式为，
把，分别代入，得
，解得
∴y与x的函数表达式为．
（2）解：根据题意，得，
∴．
整理，得．
解得，．
∵，
∴．
答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元．
专项练习
一、单选题
1．某共享单车公司推出一种新的计价方式：前15分钟收费1.8元，之后每超过1分钟收费1.5元（不足1分钟按1分钟计算）．小华骑行了t分钟（且为整数），需要支付的总费用y元，则y与t的函数关系式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据计价规则，总费用包括前15分钟的固定费用1.8元和超过15分钟部分按每分钟1.5元计算的费用．
【详解】解：前15分钟收费1.8元，超过部分分钟数为 ，收费为 元，
总费用 ，
故选：C．
2．某吊绳承受的最大拉力对应的重物质量不超过6吨．在吊绳的弹性限度内，通过实验测得吊起重物后吊绳的长度y（米）与所吊重物的质量x（吨）之间的部分数据如下表所示：
y与x的函数关系式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意即可得到函数关系式，熟知相关等量关系是解题的关键．
【详解】解：根据表格发现当每增加1时，增加，
故可设函数关系式为：，
当时，，故，
且吊绳承受的最大拉力对应的重物质量不超过6吨，故，
∴函数关系式为：，
故选：A．
3．某商店销售齐齐哈尔特色农产品，销量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，下列说法正确的是（ ）
A．售价每提高1元，销量增加2千克
B．售价每降低1元，销量增加2千克
C．当售价为40元时，销量为0
D．当售价为0元时，销量为80千克
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的实际应用．根据一次函数中，，可知售价与销量呈负相关：售价每降低1元，销量增加2千克；售价每提高1元，销量减少2千克．
【详解】解：∵，
∴，
当售价x降低1元时，销量y的变化量为千克，即销量增加2千克，∴选项B不符合题意；
当售价提高1元时，千克，即销量减少2千克，∴选项A符合题意；
当时，，∴选项C不符合题意；
当时，，∴选项D不符合题意，
故选：A．
4．如图为一个弹簧挂上重物后弹簧总长（单位：）关于所挂物体质量（单位：）的函数图象（轴），则该弹簧长度最大为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的实际应用，求出前一段线段的解析式，进而求出点的纵坐标，即可得出结果．
【详解】解：设前一段线段所在直线的解析式为，
把代入，得，
解得，
∴，
∴当时，；
故该弹簧长度最大为；
故选：C．
5．为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了测浮力的实验．如图甲，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数（单位：）与铁块下降的高度（单位：）之间的关系如图乙所示．下列说法①铁块的高度为；②铁块入水之前，烧杯内水的高度为；③当铁块下降的高度为时，弹簧测力计的示数为；④当弹簧测力计的示数为时，此时铁块距离烧杯底．正确的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数，依次判断后得出正确的个数即可．
【详解】解：当时，铁块接触水面，当时，铁块完全浸没于水中，
铁块的高度为．
故①正确；
由图像可知，当时，铁块开始接触水面，
所以铁块入水之前，烧杯内水的高度为，
故②正确；
设的解析式为，将代入得：
，
，
，
把代入，得．
故③错误；
把代入，得，
解得，
∴．
故④正确．
故选：C．
6．为鼓励居民节约用水，我市出台的居民用水收费标准：①若每月每户居民用水不超过4立方米，则按每立方米2元计算；②若每月每户居民用水超过4立方米，则超过部分按每立方米4.5元计算(不超过部分仍按每立方米2元计算)．现假设该市某户居民某月用水立方米，水费为元，则与的函数关系用图像表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一次函数的图像的识别，根据题意列出函数式子是解题的关键．
列出函数解析式再作图即可判断．
【详解】解：由题意可得：
当时，，
当时，，
∴与的函数关系为：，
作出图像可得：，
故选：C．
7．、两地相距千米，慢车从地到地，快车从地到地，慢车的速度为千米/小时，快车的速度为千米/小时，两车同时出发．设两车的行驶时间为（小时），两车之间的路程为（千米）．则能大致表示与之间函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意，确定分段函数的解析式，并根据函数解析式确定函数图象是解题关键．分别求出慢车到达地、快车到达地、两车相遇时间，然后分、、三段求出函数关系式，再结合函数图象即可求解．
【详解】解：根据题意得：慢车从地到地所用时间为（小时），
快车从地到地所用时间为（小时），
两车同时出发，相遇时慢车所用时间为（小时）．
当时，﹔
当时，；
当时，快车已到地，；
故选：C．
8．某生物小组观察一植物生长，得到了植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（是线段，射线平行于x轴）．下列说法错误的是（ ）
A．从开始观察时起，50天后该植物停止长高
B．线段的函数表达式为
C．该植物最高为
D．第40天，该植物的高度为
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．
根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高，可判断A；设直线的解析式为，然后利用待定系数法求出直线线段的解析式可判断B；把代入②的表达式进行计算可判断C；把代入②的表达式进行计算即可判断D．
【详解】解：A、∵射线平行于x轴，
∴从第50天开始植物的高度不变，故本选项的说法正确；
B、设直线的解析式为，
∵经过点，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，故本选项的结论正确；
C、当时，，
即第50天，该植物的高度为16厘米，故本选项的说法错误；
D、当时，，
即第40天，该植物的高度为14厘米，故本选项的说法正确．
故选：C．
9．清徐葡萄驰名华夏，是山西的著名传统水果之一．店庆来临之际，某超市对清徐葡萄采取促销方式，购买数量超过千克后，超过的部分给予优惠，水果的购买数量与所需金额（元）的函数关系如图所示．小丽用元去购买该种水果，则她购买的数量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意确定函数解析式是解题关键．设超过部分的函数解析式为，将点代入确定函数解析式，即可得解．
【详解】解：设超过部分的函数解析式为，
将点，代入得：
， 解得，
超过部分的函数解析式为，
当时，即，
解得，
小丽购买的数量为．
故选：C ．
10．小张和小王去爬山，小王先出发一段时间后小张再出发，途中小张追上了小王并最终先爬到山顶，两人所爬的高度（米）与小张出发后的时间（分）的函数关系如图所示，下列结论：
①山的高度是米；
②表示的是小王爬山的情况，表示的是小张爬山的情况；
③小张爬山的速度是小王爬山的速度的2倍；
④小王比小张先出发分钟．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，正确识图．根据函数图象逐项判断即可．
【详解】解：由图象可得：山的高度是米，故①正确；
表示的是小张爬山的情况，表示的是小王爬山的情况，故②错误；
小张爬山的速度是（米分），小王爬山的速度是（米分），
小张爬山的速度是小王的2倍，故③正确；
由图象可得，小王比小张先走米，所需时间是（分钟），
小王比小张先出发分钟．故④正确．
正确的有①③④三个，
故选：C．
二、填空题
11．某水池有水，现打开进水管进水，进水速度为，经过这个水池内有水，可得到关系式，请说明关系式中，所表示的实际意义是 ．
【答案】进水速度
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，关系式为一次函数形式，其中为一次项系数，表示水量随时间的变化率，即进水速度．
【详解】解：在关系式中，将其与一次函数标准形式对比，可得，则表示每小时进水的体积，即进水速度．
故答案为：进水速度．
12．小辰在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度与鞋子的码数之间满足一次函数关系，下表给出与的一些对应值：
根据小辰的数据，可以得出该品牌32码鞋子的长度为 ．
【答案】21
【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，一次函数的应用，根据表格中的数据，利用待定系数法求出一次函数解析式，再将代入解析式求解y的值．
【详解】解：设y与x的函数解析式为，
由和在函数图象上，
得方程组：
因此函数解析式为，
当时，．
故答案为：21．
13．在锅中倒入了一些油，用煤气灶均匀加热，每隔20秒测一次油温，得到下表：
加热110秒时，油刚好沸腾了，估计这种油沸点的温度为 ．
【答案】230
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
根据表格数据，油温随时间均匀变化，建立一次函数关系式，代入时间求温度．
【详解】解：由表格数据可知，时间每增加20秒，油温升高，故每秒油温升高，
∴y与x成一次函数关系，
设y与x的函数关系式为，代入点和，得
，
解得，
∴．
当时，，
故答案为：230．
14．某企业现年产值为150万元，计划今后每年增加20万元，年产值y（万元）与年数x的函数关系式是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意，发现变量间的关系是解题的关键．
根据年产值y等于原年产值加上年数x乘以每年增长额，直接列式即可解答．
【详解】解：由题意，现年产值为150万元，每年增加20万元，
则x年后的年产值，
∴年产值y（万元）与年数x的函数关系式是．
故答案为：．
15．已知甲、乙两车分别从，两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为，甲、乙两车离，两地中点的路程（千米）与甲车出发时间（时）的关系图象如图所示.解答下列问题：
（1），两地之间的距离为 千米；
（2）的值为 ．
【答案】 180 3.75
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确理解函数图象是解题的关键．
（1）设相遇时甲车走了千米，则乙车走了千米，根据交点的意义可得，求解，即可求解，两地之间的距离；
（2）先求出甲车3时走的路程，则即可求解甲车的速度，继而求解甲车到达中点时的时间．
【详解】（1）设相遇时甲车走了千米，则乙车走了千米，
因为交点的坐标为，
所以出发3时，两车相遇，此时乙车超过中点18千米，甲车还未到中点，距离中点18千米，
所以，
解得，
所以，
所以，两地之间的距离为180千米，
故答案为：；
（2）因为甲车3小时走了72（千米），
所以甲车的速度为（千米/时），
所以甲车到达中点时的时间：（时），即的值为3.75．
故答案为：．
16．某生物活动小组观察植物生长，得到该植物高度（）和观察时间（天）的关系，画出如图所示的函数图像（轴），则该植物在第天的高度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的应用，求出线段对应的函数关系式是解题的关键．利用待定系数法求出线段对应的函数关系式，进而求出点的坐标，即可得解．
【详解】解：设直线的解析式为，
将，代入得：
， 解得 ，
，
当时，即，解得， 即，
故结合图象可知，第天时，该植物高度达到最高，以后就不长了，
该植物在第天的高度为．
故答案为：．
三、解答题
17．某农场为提高农药喷洒效率，使用无人机进行作业．喷洒过程中，农药浓度y（单位：）与喷洒时间x（单位：）的关系图像如图所示，为直线的一部分，为反比例函数图像的一部分．
(1)求两段函数的解析式，并写出各自变量的取值范围；
(2)结合函数图像，回答下列问题：
①当时，农药浓度是多少？当时，农药浓度是多少？
②对比两段函数，说明在各自的自变量范围内，y随x的变化趋势；
(3)农场规定：农药浓度不低于且不超过时，既能保证杀虫效果，又能避免药害．求此次喷洒过程中，符合规定的时间范围．
【答案】(1)函数图像的段解析式：，自变量取值范围：；函数图像的段的解析式：，自变量取值范围：
(2)当 时， ；当 时， ．
(3) 或
【分析】本题主要考查了求函数解析式、求自变量的取值范围、一次函数的应用、反比例函数的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）分函数图像的段和段分别运用待定系数法求出函数解析式并结合函数图像确定自变量的取值范围即可；
（2）①分别求出和的函数值即可；②根据一次函数、反比例函数的增减性解答即可；
（3）由题意可得，然后分别在函数图像的段和段求得自变量的取值范围即可．
【详解】（1）解：函数图像的段是正比例函数，
设解析式为 ，代入点，
得 ，
解得： ．
∴函数图像的段解析式：，自变量取值范围：．
函数图像的段是反比例函数，
设解析式为 ，代入点，
得 ：，
解得： ．
∴函数图像的段的解析式：，自变量取值范围：．
（2）解：①当 时，代入 ，得： ；
当 时，代入，得 ．
② 变化趋势：函数图像段，，y 随 x 的增大而增大；
函数图像段，，y 随 x 的增大而减小．
（3）解：由题意可知：符合规定的时间范围要求 ，
当处于段：代入，得：，解得： ；
当处于段：代入，得 ，解得： ．
综上，符合规定的时间范围是 或．
18．某种树苗种植10年内每年增长的高度大致相同，林业人员种一棵该品种树苗，3年后的高度为，5年后的高度为．求：
(1)10年内该树苗的高度关于种植时间n（年）的函数表达式；
(2)该树苗刚种植时的高度．
【答案】(1)（）
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟练掌握利用待定系数法求一次函数表达式是解题的关键．
（1）根据“每年增长高度相同”设一次函数表达式，代入已知条件列方程组求解系数；
（2）利用（1）的函数表达式，令种植时间计算高度．
【详解】（1）解：设函数表达式为（为每年增长高度，为种植时高度），
把，和，代入得
，
解得，，
∴（）；
（2）解：令，代入得
，
答：该树苗刚种植时的高度．
19．云南大理地处云南省中部偏西，是我国唯一的白族自治州，是闻名于世的电影《五朵金花》的故乡，也是著名的旅游胜地．为了充分挖掘旅游资源，某景区准备购进一批印有当地风土人情的太阳帽和旅行包．已知购进3个太阳帽和2个旅行包需要125元，购进5个太阳帽和3个旅行包需要195元．
(1)求太阳帽、旅行包每个的进价．
(2)该景区每个太阳帽售价为25元，每个旅行包售价为60元．景区计划购进太阳帽和旅行包共500个（均购买），且购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的倍，景区应如何设计进货方案，才能使销售完后获得的利润最大？最大利润为多少？
【答案】(1)太阳帽每个进价15元，旅行包每个进价40元
(2)购进太阳帽300个，旅行包200个时，利润最大，最大利润为7000元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用．
（1）设太阳帽每个进价为x元，旅行包每个进价为y元，根据题意得到，整理得到，根据加减消元法求解即可；
（2）设购进太阳帽a个，旅行包b个，则，，总利润，由，得，分别得到，，根据一次函数的性质作答即可．
【详解】（1）解：设太阳帽每个进价为x元，旅行包每个进价为y元，
根据题意，得方程组：，
第一个方程乘以5，第二个方程乘以3，得：，
得：，
代入得，
解得：，
即，
所以太阳帽进价15元，旅行包进价40元；
（2）解：设购进太阳帽a个，旅行包b个，则，，
太阳帽每个利润为10元，旅行包每个利润为20元，
总利润，
由，得，
代入得：，解得，
又∵，
∴，
将代入，
得，
∵，
∴w随b增大而增大，
∴当时，w最大，
此时，
元．
答：购进太阳帽300个，旅行包200个时，利润最大，最大利润为7000元．
20．学校为每个班级配备了一种可加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升，待加热到，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温与通电时间x（分）的关系如图所示（图中的曲线是双曲线的一部分），解答下列问题：
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)求图中a值；
(3)一天早上，王老师将放满水后的饮水机电源打开，若他想在上课前能喝到不超过的温开水，应在什么时间段内接水？
【答案】(1)
(2)
(3)他应在时间段内接水
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的应用；
（1）由函数图象可设函数解析式，再将图中坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得与的关系式；
（2）将代入，即可得到的值；
（3）要想喝到不超过的开水，加20分钟即可接水，一直到；
【详解】（1）解：由图可知，
当时，设与的关系式为，
将，代入得：，
解得：，
∴当时，与的关系式为，
（2）解：当时，设与的函数关系式为：，
将代入，得：
解得：，
∴当时，与的函数关系式为：；
将代入，得：；
（3）解：依题意，得：，
解得：．
∵，
∴，
∴他应在时间段内接水．
21．越来越多的人喜欢选择自行车作为出行工具．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分钟）的关系如图，请结合图象，解答下列问题：
(1)______，______；
(2)若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；
(3)在（2）的条件下，爸爸自第二次出发后至到达图书馆前，何时与小军相距100米，此时小军骑行的时间为______分钟．
【答案】(1)15；200
(2)距图书馆的距离是750米
(3)或20
【分析】本题考查了一次函数的应用、解含绝对值符号的一元一次方程以及解二元一次方程组．
（1）根据时间=路程÷速度，即可求出a值，结合休息的时间为5分钟，即可得出b值，再根据速度路程时间，即可求出m的值；
（2）根据数量关系找出线段、所在直线的函数解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点的坐标，再用3000去减交点的纵坐标，即可得出结论；
（3）根据（2）结论结合二者之间相距100米，即可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：（分钟），
（分钟），
（米/分），
即，，，
故答案为： 15；200；
（2）解：线段所在直线的函数解析式为；
线段所在的直线的函数解析式为，
联立两函数解析式成方程组，，
解得：，
∴（米），
答：小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米；
（3）解：根据题意得：，
解得：，，
答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，17.5分钟或20分钟时与小军相距100米．
故答案为：或20．
建模要素
具体说明
自变量 x 设定
优先设 “定价调整量”：
① 设涨价 x 元（新售价 = 原售价 + x）；
② 设降价 x 元（新售价 = 原售价 - x）；
③ 设折扣率为 x（新售价 = 标价 ×x）。
因变量 y 设定
通常设 “总利润 W”（核心），或 “总销售额”“销量”。
函数表达式形式
W = kx + b
① k = 单件利润变化量 × 销量变化系数（如涨价 1 元，单件利润 + 1，销量 - 5，则 k=1×(−5) = −5；
② b = 初始总利润（未涨价 / 降价时的总利润，即原单件利润 × 原销量）
函数性质应用
① 当 k > 0：W 随x 增大而增大（此时最大值在 x 取值上限，最小值在下限）；
② 当 k < 0：W 随 x 增大而减小（此时最大值在 x 取值下限，最小值在上限）；
③ 当 k = 0：W = b（总利润不变，与定价调整无关）
分段函数要素
对应梯度计价的意义
自变量 x
实际用量（如水、电度数）或收入额（如个税应纳税所得额），需注意 “区间分界点”（如电费 1-200 度为第一档，201-400 度为第二档）。
k
对应区间的 “单价”（如第一档电费0.5元/度，第二档 0.8 元/度），k>0（费用随用量增加而上升）
b
前序区间的 “累计总费用”（第一档 b=0，第二档 b =第一档最大用量 × 第一档单价，第三档 b = 前两档总费用，以此类推）
自变量范围
每个区间的 x 取值范围（含左端点、不含右端点，或反之，需结合题目 “不超过”“超过” 表述确定）
要素类型
具体说明
与一次函数的关联
约束条件
① 总量限制（如材料总用量≤库存、资金总额≤预算）；
② 数量范围（如产量≥0、人数为正整数）；
③ 比例限制（如A产品产量≥B产品的 2 倍）。
用不等式组表示，解出自变量的取值范围（通常为整数集合，因分配方案多为具体数量）。
目标函数
① 优化目标：最小成本、最大收益、最短时间等；
② 表达式形式：y = kx + b，x 为分配量（如A产品产量、甲运输的吨数），y 为目标量（成本、收益）。
一次函数的增减性决定最优方案的位置（最值在自变量取值范围的端点，因一次函数无顶点）。
目标函数k
函数增减性
最优方案位置
k > 0
y 随 x 增大而增大
最大值在 x 取值上限，最小值在 x 取值下限。
k < 0
y 随 x 增大而减小
最大值在 x 取值下限，最小值在 x 取值上限。
温度
0
10
30
声音传播的速度
324
330
336
348
尾长
6
8
10
体长
45.5
60.5
75.5
x（元/个）
…
52
53
54
55
…
y（个）
…
760
740
720
700
…
x
0
1
2
3
4
5
6
y
4
4.2
4.4
4.6
4.8
5
5.2
码数
26
30
34
42
长度
18
20
22
26
时间（秒）
…
20
40
60
…
油温
…
50
90
130
…