广西柳州高级中学柳南校区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份广西柳州高级中学柳南校区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了 已知集合则， 已知为虚数单位，的虚部为， 已知函数，且，则， 已知函数，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合则（ ）
A. B.
C. 或D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数不等式以及一元二次不等式求集合，进而可求交集.
【详解】由可得，解得，可得；
由，解得或，可得或；
所以.
故选：D.
2. 已知为虚数单位，的虚部为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数代数形式的乘方运算化简，即可判断其虚部.
【详解】因为，
所以的虚部为.
故选：C
3. 已知函数，且，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据分段函数解析式分段讨论得到方程（不等式）组，解得即可.
【详解】因为，且，
则或，解得.
故选：C
4. 已知数列的各项均不为0，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】为公差为3的等差数列，求出，代入求解即可.
【详解】由，可知为公差为3的等差数列，且首项为，
故，
故，.
故选：C
5. 已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据投影向量公式，与题中给出的投影向量比较，可求出,
用公式求出与夹角余弦值，确定夹角大小.
【详解】因为在上的投影向量为，
则，，
，
所以与的夹角为.
故选：B.
6. 设双曲线的离心率是3,则其渐近线的方程为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用双曲线的离心率，求出的关系式，然后求渐近线方程.
【详解】解：双曲线的离心率是3，
可得，则.
则双曲线的渐近线的方程为：.
故选：A.
【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.
7. 在平面直角坐标系中，点为圆上一动点，点到直线的距离记为，当变化时，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线过定点以及圆上点到直线距离的最值计算可得结果.
【详解】易知的圆心为，半径为；
且直线过定点0,2，
当圆心与定点的连线与直线垂直时，圆心到直线距离最大为，
因此可知圆上的点到直线距离的最大值为.
故选：B
8. 已知是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将与椭圆左、右焦点连接起来，由椭圆的对称性得到一个平行四边形，利用椭圆的定义和余弦定理，结合重要不等式可得离心率的范围.
【详解】如图设分别为椭圆的左、右焦点，设直线与椭圆相交于，连接.
根据椭圆的对称性可得：四边形为平行四边形.
由椭圆的定义有：
由余弦定理有：
即
所以
当且仅当时取等号，又的斜率存在，故不可能在轴上.
所以等号不能成立,即即，所以
故选：A
【点睛】本题考查椭圆的对称性和焦点三角形，考查利用椭圆的定义和余弦定理、重要不等式求椭圆的离心率的范围，属于难题.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是周期为π的奇函数B. 的图象关于点对称
C. 在上单调递增D. 的值域是
【答案】CD
【解析】
【分析】先化简,,A选项利用奇函数若x=0，则，验证；B选项令,求出fx对称点坐标；C选项通过令，求出fx的增区间，再判断是否正确；D选项通过,确定fx的值域.
【详解】.
A选项：fx周期为,不是奇函数，A错误；
B选项：令,,解得：,
当时，，
所以关于对称，fx关于对称，B错误；
C选项：令，，解得:，
所以fx增区间为，,
当k=1时，则，C正确；
D选项：,则,,D正确.
故选：CD.
10. 正方体中，E、F、G、H分别为、BC、CD、的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 平面平面
C. 面AEFD. 二面角的大小为
【答案】BC
【解析】
【分析】
通过线面垂直的判定和性质，可判断选项，通过线线和线面平行的判断可确定和选项，利用空间向量法求二面角，可判断选项.
【详解】解：由题可知，在底面上的射影为，而不垂直，
则不垂直于，则选项不正确；
连接和，E、F、G、H分别为、BC、CD、BB、的中点，
可知，所以平面，
则平面平面，所以选项正确；
由题知，可设正方体的棱长为2，
以为原点，为轴，为轴，为轴，
则各点坐标如下：
，
设平面的法向量为，
则，即，令，得，
得平面的法向量为，
所以，所以平面，则选项正确；
由图可知，平面，所以是平面的法向量，
则.
得知二面角的大小不是，所以不正确.
故选：BC.

【点睛】本题主要考查空间几何体线线、线面、面面的位置关系，利用线面垂直的性质和线面平行的判定，以及通过向量法求二面角，同时考查学生想象能力和空间思维.
11. 已知数列满足：，，，则下列说法正确的有（ ）
A. 数列是等差数列B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】A.利用等差中项判断；BC.根据，由数列的奇数项和偶数项构成等差数列判断；D.令判断.
【详解】因为，，，则，而，故A错误；
因为，所以数列的奇数项和偶数项构成等差数列，
当时，，
当时，，故BC正确；
因为，不满足，故D错误；
故选：BC
三､填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.
12. 在等差数列中，，则________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质计算即得.
【详解】在等差数列中，，解得，
所以.
故答案为：6
13. 已知一条直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标为，则直线的方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】设Ax1,y1,Bx2,y2，并得到，利用点差法得到，由点斜式写出直线方程，化为一般式即可.
【详解】设Ax1,y1,Bx2,y2，
若，则的中点在轴上，而的中点坐标为，显然不合要求，
故，
则，两式相减得，
即，
由于弦的中点坐标为，故，
所以，即，故，
故直线的方程为，即.
故答案为：
14. 为了调查柳高高二年级历史类班级对学习数学热爱程度，对一教三楼的5个班级进行问卷调查，得到这5个班级中每班热爱数学程度偏低的学生人数为（具体数据丢失）但已知这5个数据的方差为4，平均数为的最小值（其中），且这5个数互不相同，则其最大值为__________，数据的极差为__________.
【答案】 ①. 10； ②. 6.
【解析】
【分析】先根据题设结合一元二次函数性质求出的最小值，进而推出这5个数的和以及，从而推出这5个数及其最大值和极差.
【详解】因为，所以，解得，
故
，
因为，所以当时，取得最大值，
此时取得最小值7，
故，
，
这5个数互不相同，故，
不妨令，满足，
所以这5个数中，最大值为10，数据极差为.
故答案为：10；6.
四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出相应的文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知数列满足，（），令.
（1）求的值；
（2）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式.
【答案】（1），
（2）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）采用迭代法，可求，;
（2）将转化为，即可证明数列是等差数列，算出数列的通项公式后即可计算数列的通项公式.
【小问1详解】
因为，且，
当时，，
当时，.
【小问2详解】
因为，
所以，
两边同时取倒数有：，
令，有，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以.
16. 世界杯足球赛备受瞩目，一时间掀起了国内外的足球热潮，某机构为了解球迷对足球的喜爱，为此进行了调查.现从球迷中随机选出人作为样本，并将这人按年龄分组:第组，第组，第组40,50，第组50,60，第组，得到频率分布直方图如图所示.
（1）估计样本数据的上四分位数（也称第三四分位数，第百分位数）
（2）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行座谈，求抽取的人中至少有人的年龄在组的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率和为可求得年龄在对应的频率；根据百分位数的估计方法直接求解即可得到结果；
（2）根据分层抽样的原则可确定每组中抽取的人数，采用列举法可求得结果.
【小问1详解】
设年龄在对应频率为，则，解得：，
年龄在对应的频率为，
年龄在对应的频率为，
样本数据的上四分位数位于，设其为，
则，解得：，即样本数据的上四分位数为.
【小问2详解】
年龄在和对应的频率之比为，
抽取的人中，年龄在的有人，记为；
年龄在的有人，记为；
从抽取的人中，随机抽取人，则有，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件；
其中满足至少有人的年龄在组的有：，，，，，，，，，共个基本事件；
抽取的人中至少有人的年龄在组的概率.
17. 如图，和所在平面垂直，且，求：
（1）
（2）求二面角的夹角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证明三角形全等，得到，作出辅助线，由三线合一得到垂直关系，证明出线面垂直，得到线线垂直；
（2）法一：作出辅助线，证明出两两垂直，不妨设，求出其他各边，得到，，设面与面所成角为，得到，由同角三角函数关系得到答案；
法二：作出辅助线，证明出两两垂直，不妨设，求出其他各边，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，利用法向量夹角余弦公式求出余弦值，进而得到二面角的夹角正弦值.
【小问1详解】
，
∴≌，，
取中点，连接，
为等腰三角形，，
又，平面，
平面，又平面，；
【小问2详解】
法一：射影面积法，
过点作⊥，交的延长线于点，连接，
因为和所在平面垂直，且交线为，平面，
所以⊥平面，
由（1）知，≌，
，
故≌，故，
故⊥，同理可得平面，两两垂直，
不妨设，∵，
，，
设平面与平面所成角为，
由勾股定理得，
，
在中，
，
，
故二面角的夹角正弦值为；
法二：过点作⊥，交的延长线于点，连接，
因为和所在平面垂直，且交线为，平面，
所以⊥平面，
由（1）知，≌，
，
故≌，故，
故⊥，同理可得平面，两两垂直，
以为原点，方向分别为轴，如图建系，
不妨设，∵，
，，
平面的法向量，
又，
，
设平面的法向量为，
，
令，则，故，
设平面与平面所成角为，
∴csθ=cs=u⋅vu⋅v=11⋅5=55，
故，
故二面角的夹角正弦值为；
18. 如图，△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角B的大小；
（2）已知，若D为△ABC外接圆劣弧AC上一点，求AD+DC的最大值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】(1) 法一:利用正弦定理和两角和的正弦公式可得，再利用三角形内角的取值范围即可求解；
法二:利用余弦定理得出，根据三角形内角的取值范围即可求解；
(2) 方法一：设，则，利用正弦定理得出，，
然后利用辅助角公式和正弦函数的图象和性质即可求解；方法二：利用余弦定理和基本不等式即可求解.
【小问1详解】
法一:∵，由正弦定理得，
∴，
∴，∵，
∴，又∵，∴，
法二:∵，
由余弦定理得，
∴，∴，
∵，∴.
【小问2详解】
由（1）知，，面四边形ABCD内角互补，则，
法一:设，则，
由正弦定理得，
∴，，
∴，
当且仅当时，的最大值为.
法二:在△ADC中，，，
由余弦定理得，
∴，∴，
当且仅当时，的最大值为.
19. 双曲线E的实轴两端点记为，以右焦点F为圆心，半径为的圆与渐近线相切.
（1）求双曲线E的方程.
（2）过点F任意作直线交曲线E于同支两点记为A，B.点O为坐标原点，求面积的最小值.
（3）过点F作直线交曲线E于异支两点记为C，D.设直线分别与直线，x轴相交于点M，T.问：在实轴上是否存在定点T使恒成立，若存在，则求出对应定直线，若不存在，则说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3），
【解析】
【分析】（1）根据圆与直线相切，圆心到直线的距离等于圆的半径，列出等式得出即可求解;
（2）对直线 斜率进行讨论，通过弦长公式法算出AB和点到直线的距离公式算出坐标原点到直线的距离即可求解；
（3）设直线的方程，与双曲线的方程联立，由等式成立，可得为的角平分线，可得直线的斜率之和为0，求出直线的斜率之和的代数式，利用韦达定理整理可得参数的值.
【小问1详解】
设双曲线的标准方程为 ，焦点，
则以右焦点F为圆心，半径为 的圆的方程为，
双曲线的渐近线方程为，
根据圆与渐近线相切得，
焦点到渐近线的距离，得，
所以双曲线的标准方程为.
【小问2详解】
由（1）知

当直线 斜率不存在时，令，代入中得，即，
所以,
当直线 斜率存在时，设直线的方程为，，
，消去并整理得，，
根据根与系数的关系得，
因为直线交曲线E于同支两点记为A，B，
所以
，解得或，
因为到直线的距离，
所以
,
其中.
综上所述，当直线 斜率不存在时，面积最小，面积为.
【小问3详解】
由过点F作直线交曲线E于异支两点，得直线的斜率存在，且斜率不为0，

设直线的方程为，其中或，
因为恒成立，即,得为的角平分线，
设,假设存,
联立，整理可得：，
，
因为，所以，
整理可得，
，
即，
因，整理可得，即，
综上所述，在实轴上存在定点使恒成立，对应定直线是.
【点睛】方法点睛：存在性问题求解的思路及策略
（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．
（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；
②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．