江西省部分重点高中2024-2025学年高一下学期7月期末考试 数学（含解析）

这是一份江西省部分重点高中2024-2025学年高一下学期7月期末考试 数学（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数z满足，则（ ）
A．B．C．2D．4
3．反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布.若某物理量做次测量，最后结果的误差，则为使的概率控制在0.0455以下，至少要测量的次数为（ ）（附：若随机变量服从正态分布，则）
A．200B．400C．800D．1000
4．已知正四棱锥底面边长为2，且其侧面积的和是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，则（ ）
A．3B．C．D．
6．某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
7．已知公差不为0的等差数列，其前n项和为．若满足，且成等比数列，则使得成立的n的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若直线与双曲线交于A，B两点，且，则t的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点中心对称
C．将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象
D．函数在区间上单调递增
10．如图所示，在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，为的中点，、分别是线段、上的动点（含端点），则下列说法正确的是（ ）
A．存在、使平面B．存在、使平面
C．的最小值为D．的最小值为
11．如图，曲线C过坐标原点O，且C上的动点满足到两个定点，的距离之积为9，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为
C．周长的最小值为12
D．面积的最大值为
三、填空题
12．的展开式中的系数为 （用数字作答）．
13．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，．则内切圆半径r的取值范围为 ．
14．某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，则在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为 .
四、解答题
15．设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
16．为了让广大游客全方位领略宜春的冬趣之乐，在海拔1600米的明月山冰雪体验中心，游客们在这里滑雪、戏雪，享受刺激的冰雪运动，感受冬日别样的欢乐与激情。为提升服务品质，明月山冰雪体验中心随机调查男、女性游客各100名，统计结果如下表所示：
(1)是否有99.5%的把握认为游客是否喜欢冰雪运动与性别有关？
(2)冰雪体验中心招募初学者进行滑雪培训，对4个基本滑雪动作（站姿、滑行、转弯、刹车）进行指导.根据统计，每位初学者对站姿、滑行、转弯、刹车这4个动作达到熟练的概率分别为，，，，且4个基本滑雪动作是否达到熟练相互独立.若这4个基本滑雪动作至少3个达到熟练，则可称为滑雪入门.
（i）求初学者滑雪入门的概率；
（ii）现有一旅行团到宜春明月山冰雪体验中心游玩，其中有30人参加滑雪培训，且均为初学者，每个人滑雪条件相当，令为滑雪入门的人数，求，并求这30人中多少人滑雪入门的概率最大.
附：，其中.
17．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，点，分别为和的中点．
(1)证明：；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
18．已知椭圆过点，．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点的直线l与椭圆E交于B，C两点，的外心为Q，证明：直线l与直线的斜率之积为定值，并求出该定值．
19．若数列满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成集合.
(1)若是12项0数列，当且仅当时，，求数列的所有项的和；
(2)从集合中任意取出两个数列，记.
①求随机变量的分布列，并证明：；
②若用某软件产生项数列，记事件“第一次产生数字1”，“第二次产生数字1”，且.若，比较与的大小.
2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题参考答案
1．C
【详解】令，解得，即，而，
所以，故，即C正确.
故选：C
2．C
【详解】因为，则，
所以.
故选：C.
3．C
【详解】由，
而，则，所以.
故选：C
4．C
【详解】如图，正四棱锥，，为底面正方形中心，为中点，
由已知可得，
所以，
又，所以，
所以正四棱锥的体积为.
故选：.
5．D
【详解】因为，则，，
又因为，
则①，
等式①的两边同时除以
可得，解得.
故选：D.
6．C
【详解】满足条件的报名方法可分为两类：
第一类：甲单独参加某项比赛，
先安排甲，由于甲不能参加跳远，故甲的安排方法有种，
再将余下人，安排到与下的三个项目，
由于每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，
故满足条件的报名方法有,
所以甲单独参加某项比赛的报名方法有种，
第二类：甲与其他一人一起参加某项比赛，
先选一人与甲一起，再将两人安排至某一项目，有种方法，
再安排余下三人，有种方法，
所以甲不单独参加某项比赛的报名方法有种，
所以满足条件的不同的报名方法共有种方法.
故选：C.
7．B
【详解】设等差数列的公差为d，由成等比数列知，
即，解得或（舍去），
故．
由得，
故选:B．
8．D
【详解】如图所示，设直线与双曲线的另一个交点为C，
设，，由图形的对称性知．
由A，B两点在双曲线上知，，
作差得到，
其中，故直线的斜率，
此时直线的方程为，
与双曲线的方程联立得，
化简得，即或，
那么或．
又直线AB的斜率为，
所以或，
解得，
故选:D．
9．AB
【详解】对于A，的周期，所以 A 正确；
对于B，因为 ，
所以函数的图象关于点中心对称 ，故B正确；
对于C，将的图象向左平移个单位长度，
得到的图象，故C错误；
对于D中，因为，所以，
所以在上不单调，故D错误.
故选：AB.
10．ABD
【详解】对于选项A，当点与点重合时，平面，
又平面平面，显然有面，故A正确；
对于选项B，如下图所示：
因为四边形为正方形，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，、平面，故平面，
当点与点重合且为的中点时，、平面，
又因为，此时平面，故B正确．
对于选项C，当为的中点时，最小，
如图所示，过点作关于的对称点，过点作于点，
不妨设，则当、、三点共线时，最小，
因为，，，
此时，
因为，则，
所以，
故，
则，故，
所以，
故，故C错误；
对于选项D，连接，取的中点，如图所示：
因为，，，故，
所以，
因为、分别为、的中点，所以，
又因为，所以，故，
连接交于点，因为、分别为、的中点，则，
因为四边形为正方形，所以，故，
因为，故为的中点，
因为四边形为正方形，故，
因为平面，平面，所以，
因为，、平面，故平面，
因为平面，故，同理可证，
在矩形中，过点在平面内作，垂足为点，
易知四边形为矩形，且，，
故，所以，
因为、平面，当点为、的交点时，取最小值，故D正确.
故选：ABD.
11．AD
【详解】由定义，即，
即，该曲线过原点，所以，
又，所以，故选项A正确；
故方程为，
所以曲线C的方程为，
直线与曲线：必有公共点，
因此若直线与曲线只有一个交点，则只有一个解，
即只有一个解为，
即时，无解，
故，即实数的取值范围为，故B错误；
由，仅当时等号成立，
此时点P在的垂直平分线上，故点P与原点O重合，不能形成三角形，
所以，所以周长，
等号取不到，故C错误；
，
当且仅当，等号成立，此时点P的纵坐标为，
方程可化为，
令，则方程，
由判别式，可得，
故面积能取到最大值，故D正确.
故选：AD
12．-28
【详解】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28
故答案为：-28
13．
【详解】因为，由正弦边角关系得，即，
由余弦定理，得，又，所以，
由正弦定理得，所以，，
由余弦定理，得，所以，
利用等面积法可得，
则
，
∵，∴，故，则，
所以，故
故答案为：
14．
【详解】用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，
由题知，，，
又，
所以，
又.
故答案为：.
15．（1），；（2）证明见解析.
【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设， ⑧
则． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通过等式左右两边系数比对易得，所以．
则，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设，
由于，
则．
又，
所以
，下同方法二．
16．(1)有99.5%的把握认为游客是否喜欢冰雪运动与性别有关.
(2)（i）；（ii）人
【详解】（1）解：由题设中的列联表中的数据，
可得，
所以有99.5%的把握认为游客是否喜欢冰雪运动与性别有关.
（2）解：（i）设事件分别表示初学者对站姿、滑行、转弯、刹车达到熟练，
滑雪初学者荣获“滑雪入门”为事件，
所以
.
（ii）因为初学者是相互独立的，随机变量为滑雪入门的人数，则，
可得，，
设有人荣获“滑雪入门”称号的概率最大，
则，解得，
因为，所以，所以人荣获“滑雪入门”的概率最大.
17．(1)证明见详解；
(2)
【详解】（1）取的中点，连接,
由，易知为等腰直角三角形，
此时，又，所以.
因为,所以，
由，即，所以，
此时，,有四点共面，,
所以平面，又平面，所以.
（2）由且,所以平面.
由，得为等边三角形，
以为原点，所在直线分别为轴，轴，过且与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
,
设平面的法向量
由,即，取，，
又，设直线与平面所成角为，
则,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18．(1)
(2)证明见详解，定值为
【详解】（1）因为椭圆过点，，
则，解得，
所以椭圆E的方程为.
（2）由题意可知：直线l的斜率存在，设直线，
联立方程，消去y可得①，
则，解得或，
设的外接圆方程为，
因为外接圆过点，则，即，
可得外接圆方程为，
则其圆心为，直线的斜率，
联立方程，消去y可得②，
因为是方程①②的两根，
则，两式相比可得，
整理可得，即，
所以直线l与直线的斜率之积为定值，定值为.
19．(1)0.
(2)①分布列见解析，证明见解析；②
【详解】（1）因为是12项数列，当且仅当时，，
所以当和时，.设数列的所有项的和为S，
则
，所以数列的所有项的和为0.
（2）①因为数列是从集合中任意取出两个数列，所以，数列为项数列所以，的可能取值为：当时，数列中有项取值不同，有项取值相同，
又因为集合中元素的个数共有个，
所以，，
所以，的分布列为：
因为，
所以，
②由题知，所以，，
所以，，
所以，即，
所以，，即男性游客
女性游客
合计
喜欢冰雪运动
55
35
90
不喜欢冰雪运动
45
65
110
合计
100
100
200
0.050
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
C
C
D
C
B
D
AB
ABD
题号
11









答案
AD









1
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