江苏省无锡市重点高中2024-2025学年高一下学期7月期末考试 数学（含解析）

这是一份江苏省无锡市重点高中2024-2025学年高一下学期7月期末考试 数学（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若复数（为虚数单位），则的虚部是（ ）
A．2B．C．D．
2．已知向量，不共线，，，若，则（ ）
A．B．C．6D．
3．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知点，，若直线上的点满足，则点坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（，，在同一水平面上）测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ）
A．200 mB．400 mC．D．
7．在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
8．若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以下性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．在中，角、、所对的边为、、，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
10．已知复数，，下列选项正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则或
C．若，则的最小值为2
D．
11．如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的点（不含端点），且，，为垂足，记，，下列说法正确的有（ ）
A．的周长大于2B．
C．D．的最小值为
三、填空题
12．若复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数 .
13．已知，则 .
14．若外接圆的圆心，半径为，且，则边长为 .
四、解答题
15．已知复数，其中为虚数单位.
(1)求为何值时，为纯虚数；
(2)若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围.
16．设为实数，已知向量，.
(1)若，求的值；
(2)设，向量与的夹角为，求的大小.
17．已知函数.
(1)求函数的最小正周期及对称中心；
(2)若函数在区间上的值域为，求的取值范围.
18．在中，已知为边上一点，满足，.
(1)若，，求的面积；
(2)若，求的长.
19．在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，为的重心，已知，.
(1)求的大小；
(2)若，求；
(3)求的取值范围.
1．A
根据复数的相关概念判断即可.
【详解】复数的虚部为.
故选：A
2．C
依题意可得，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可.
【详解】因为，且，
所以，即，
又向量，不共线，所以，解得.
故选：C
3．D
利用两角和的余弦公式求出，再由两角差的余弦公式计算可得.
【详解】因为，又，
所以，
所以.
故选：D
4．D
根据给定条件，利用向量线性运算及坐标表示求解.
【详解】令坐标原点为，由，得，则，
而点，，因此，
所以点坐标为.
故选：D
5．B
根据给定条件，利用投影向量的意义求解.
【详解】向量，，则，，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：B
6．C
在、中利用锐角三角函数求出、，再在中利用余弦定理计算可得.
【详解】在中，
在中，
在中
．
故选：C
7．C
根据给定条件，利用共线向量定理的推论列式计算即得.
【详解】由，得，则，
而三点共线，则，
所以.
故选：C
8．B
作，确定的形状，进而确定此三角形费马点位置，再结合图形求解即得.
【详解】作向量，由，，得是腰长为的等腰三角形，
，而的所有内角均小于120°，
因此取得最小值的点是的费马点，
，则，点在斜边的中线上，如图，
，，，
所以的最小值为.
故选：B
9．ABD
对于A、B、D根据三角形全等，易得三角形的形状唯一确定，故解唯一；对于C，可用正弦定理，结合正弦函数的图象，说明符合条件的三角形有两解.
【详解】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确；
对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确；
对于C，由正弦定理，即，所以，
因为，则,
因为，结合正弦函数的图象可知角有两解，故C错误；
对于D，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D正确.
故选：ABD.
10．BD
利用特殊值判断A，根据复数模的性质判断D、B，根据复数模的计算公式及函数的性质计算C.
【详解】对于A：若，则，而，，，故A错误；
对于D：设，，，
则，
所以，
又，，
所以，故D正确；
对于B：因为，所以或，即或，故B正确；
对于C：设，由，
所以，即，则，解得，
所以，
所以的最小值为，故C错误.
故选：BD
11．BC
利用给定图形，结合勾股定理计算判断AC；利用和角的正切求解判断B；利用面积法，结合基本不等式推理判断D.
【详解】对于A，，则的周长为2，A错误；
对于C，由，得，整理得，C正确；
对于B，，则，
而为锐角，则，，B正确；
对于D，由，得，
整理得，即，而，
即，又，解得，当且仅当时取等号，
又，因此的最小值为，D错误.
故选：BC
12．/
根据复数代数形式的除法运算化简，再计算其共轭复数.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：
13．
将两边平方，即可求出，再由二倍角公式及诱导公式计算可得.
【详解】
因为，
所以，即，
所以，
所以.
故答案为：
14．/
利用二倍角正弦化简已知等式为，再利用三角形外心、向量数量积及正弦定理、和角的余弦公式求出即可.
【详解】在中，令内角所对边分别为，其外接圆半径为，
则，由，
得，
，则，
于是，即，
则，即，
因此，所以.
故答案为：
15．(1)
(2)
（1）根据实部为，虚部不为得到方程（不等式）组，解得即可；
（2）根据实部、虚部均小于得到不等式组，解得即可.
【详解】（1）因为为纯虚数，
所以，解得；
（2）复数在复平面内对应的点为，
依题意，解得，即的取值范围为.
16．(1)；
(2).
（1）利用共线向量的坐标表示，列式求解.
（2）利用向量垂直的坐标表示求出，再利用向量夹角公式求解.
【详解】（1）向量，，由，得，
所以.
（2）依题意，，由，得，解得，
因此，，，，，
则，而，
所以.
17．(1)，对称中心为
(2)
（1）利用辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）由的范围求出的范围，再结合正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为
，
所以函数的最小正周期；
令，，解得，．
所以的对称中心为．
（2）当时，，
又，，且在上单调递减，在上单调递增，
因为在的值域为，
所以，解得，
即的取值范围为．
18．(1)
(2)
（1）首先得到，再由将两边平方，即可求出，再由计算可得；
（2）根据边长关系得到，结合三角形面积公式和即可得解；
【详解】（1）因为，，所以，且，
所以，即，
又，所以，
所以，
所以，解得（负值已舍去），
所以;

（2）因为为上一点，满足，
所以，所以，
因为，所以，
所以，又，所以；

19．(1)
(2)2
(3)
(1) 由正弦定理及三角恒等变换得，进行求解；
(2)依题意得，再结合余弦定理求出，进行求解；
(3) 由，令，得，得，再由正弦定理及三角恒等变换求出，再求的范围得到t 的范围即可求解．
【详解】（1）由正弦定理得，，
得，
得，
因为，所以，
得，得，
得，即，
因为，所以.
（2）如图：
连接，并延长交为点M，
因为G为的重心，所以M为的中点，且，
而，
得，
得，
即，
因为，所以，
即，
由余弦定理得，，而，
得，
故，得，
故．
（3）由(2)知，，
得，而，
得，
故，
令，得，
得，
由正弦定理得，
得，
故
，
由(1)知，，则，而是锐角三角形，
有，解得，
则，得，
即，
即，
因为，
所以，
而，
因为，
所以，
故的取值范围为：题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
D
D
B
C
C
B
ABD
BD
题号
11









答案
BC