江苏省无锡市普通高中2021-2022学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

无锡市普通高中2022年春学期高一期终调研考试试题

数学

2022.06

一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.

1. 复数满足，则（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】先求出复数，再求出其模

【详解】因为，

所以，

所以，

故选：B

2. 若直线不平行于平面，且，则下列结论成立的是（    ）

A. 内的所有直线与是异面直线 B. 内的所有直线与都相交

C. 内存唯一一条直线与相交 D. 内存在无数条直线与相交

【答案】D

【解析】

【分析】根据直线与平面、直线与直线的位置关系判断．

【详解】由已知直线与平面相交，设交点为，则平面内过所有直线与相交，不过的直线与异面．只有D正确．

故选：D

3. 已知向量，，若与共线，则实数的值为（    ）

A.  B. 1 C.  D. 0

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量共线的坐标表示计算．

【详解】由已知，，

又与共线，所以，解得．

故选：C．

4. 掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现点数不超过3”，则事件与事件的关系为（    ）

A. 相互独立 B. 互斥 C. 互为对立 D. 相等

【答案】A

【解析】

【分析】根据是否相等判断独立性，由互斥、对立及相等事件的定义判断B、C、D.

【详解】由题意，，且，即，

而事件可以同时发生，故它们不互斥，更不相等；

由于“第一枚出现偶数点”， “第二枚出现点数超过3”，则不是对立事件；

综上，A正确，B、C、D错误.

故选：A

5. 某高校12名毕业生的起始月薪如下表所示：

则第85百分位数是（    ）

A. 3325 B. 3130 C. 3050 D. 2950

【答案】B

【解析】

【分析】将这12个数从小到大的顺序排列，再找到第，即第 11个数即可.

【详解】解：将这12个数从小到大的顺序排列：2710，2755，2850，2880，2880，2890， 2920，2940，2950，3050，3130，3325.

又因为第，

所以第第85百分位数是第11个数据，为3130.

故选：B.

6. 一个斜边长为2的等腰直角三角形绕斜边旋转一周，所形成的几何体的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可知，所形成的几何体是由底面半径为1，高为1的两个圆锥拼接而成，则其表面积是两个圆锥的侧面积之和

【详解】由题意可知，所形成的几何体是由底面半径为1，高为1的两个圆锥拼接而成，

所以所形成的几何体的表面积为

，

故选：D

7. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由，得是中点，从而得出，，作于，即为向量在向量上的投影向量，设，求出，后可得结论．

【详解】因为，所以是中点，则是圆直径，，

又，所以是等边三角形，，

设，

则，作于，则，所以，

即为向量在向量上的投影向量，．

故选：A．

8. 设内角，，所对的边分别为，，.若，，则面积的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】由结合正弦定理可得，再利用余弦定理可求得，则可得，从而可求出面积的最大值

【详解】因为，

所以由正弦定理可得，得，

由余弦定理得，，

所以，当且仅当时取等号，

所以，

所以，

所以，当且仅当时取等号，

所以面积的最大值为，

故选：B

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，，其中，则（    ）

A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同

C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样本数据的样本极差相同

【答案】AD

【解析】

【分析】根据平均数、方差公式判断数据添加后新的平均数、方差变化情况，由中位数、极差定义判断中位数、极差的变化情况.

【详解】新数据的平均数，故两组数据平均数相同，A正确；

若为偶数且两组数据1到n或(n+1)依次从小到大排序后，则原数据中位数，而新数据中位数为，不一定相等，B错误；

原数据方差，而新数据方差，故标准差不一定相同，C错误；

由必大于原数据中的最小值，而小于最大值，所以两组数据的极差相等，D正确.

故选：AD

10. 的内角，，所对边分别为，，，下列说法中正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则是锐角三角形

C. 若，则是等腰三角形

D. 若，则是等边三角形

【答案】AC

【解析】

【分析】A由正弦定理及大边对大角判断；B由余弦定理知为锐角；C正弦边角关系及三角形内角和性质得；D由正弦定理及三角形内角性质得.

【详解】A：由及正弦定理知：，根据大边对大角有，正确；

B：由余弦定理，只能说明为锐角，但不能确定是锐角三角形，错误；

C：，则，故是等腰三角形，正确；

D：由，则，且，故，即是等腰直角三角形，错误.

故选：AC

11. 四棱台的底面是正方形，平面，，则下列说法正确的有（    ）

A. 直线与直线异面 B. 平面平面

C. 直线与直线所成角的大小为 D. 该四棱台的体积为

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据棱台的性质判断A，根据面面垂直判定定理判断B，根据异面直线的夹角的定义判断C，根据台体体积公式判断D.

【详解】如图：由棱台的性质可得，直线与直线相交与点，所以直线与直线不异面，A错，

因为四边形是正方形，所以，

因为平面，平面，

所以，又，平面，

所以平面，又平面，

所以平面平面，B对，

因为，所以为直线与直线所成角，

因为四边形为正方形，所以，

所以直线与直线所成角的大小为，C对，

设正方形的面积为，正方形的面积为，棱台的高为，棱台的体积为，

因为平面，所以棱台的高，

又，，

所以，D对，

故选：BCD.

12. 一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，现分别用三种方案进行摸球游戏.方案一：任意摸出一个球并选择该球；方案二：先后不放回的摸出两个球，若第二次摸出的球号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球；方案三：同时摸出两个球，选择其中号码较大的球.记三种方案选到3号球的概率分别为，，，则（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题意分别求，，，方案一：直接求解即可；方案二：选到3号球有两种可能：第二次摸出的为3号球，或第一次2号球，第二次1号球；方案三：根据古典概型利用列举法理解运算．

【详解】方案一：“选到3号球”的概率

方案二：“选到3号球”的概率

方案三：同时摸出两个球共有：共3个基本事件，“选到3号球”包含共2个基本事件，“选到3号球”的概率

∴，，，，ABD正确，C错误

故选：ABD．

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

13. 已知，，且，互斥，则___________.

【答案】0

【解析】

【分析】根据互斥事件的概念即可得结果.

【详解】由于，互斥，即不可能同时发生，

所以，

故答案为：0.

14. 的内角，，所对边分别为，，，已知，，，则___________.

【答案】3

【解析】

【分析】利用余弦定理求解即可

【详解】因为在中，，，，

所以由余弦定理得，

所以，，

，

得（舍去），或，

故答案为：3

15. 点是边长为2的正三角形的三条边上任意一点，则的最小值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】构建直角坐标系，设且，应用向量的坐标运算求坐标，应用坐标公式求模即可.

【详解】不妨假设在上且，如下图示，

所以，在且，设，

则，，，

所以，

故，

当时，的最小值为.

故答案为：

16. 四面体的四个顶点都在球的球面上，和是边长为2的等边三角形，，则球的体积为___________；若，分别为线段，的中点，则___________.

【答案】    ①. ##    ②.

【解析】

【分析】由条件确定球心的位置及球的半径，由此求出球的体积，再证明，由此可求.

【详解】因为和是边长为2的等边三角形，

所以，，

又，

所以，，

所以，为以为斜边的直角三角形，

设的中点为，则，

故四面体的外接球的球心为，

又为四面体的外接球的球心，

所以为的中点，且球的半径为，

所以球的体积，

因为，，

所以，

所以，同理，

又，平面，

所以平面，又平面，

所以，

所以，

因为，，所以为直角三角形，

又为线段的中点， 所以，

又，

所以，

故答案为：，.

四､解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 已知复数，.

（1）若复数在复平面内对应点在第二象限，求实数的取值范围；

（2）若复数为纯虚数，求的虚部.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据复数的运算公式和复数的几何意义确定数在复平面内对应的点的坐标，由条件列不等式求的取值范围；(2)根据纯虚数的定义列方程求，由此可求的虚部.

【小问1详解】

，

在复平面内对应的点在第二象限，则

.

所以实数的取值范围为；

【小问2详解】

.

为纯虚数，则且，

所以，

此时，所以的虚部为.

18. 猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等.

（1）任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；

（2）任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由题设求出甲、乙、丙猜对或错的概率值，应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；

（2）利用对立事件的概率求法及独立事件乘法公式列方程求.

【小问1详解】

设“任选一道灯谜甲猜对”，“任选一道灯谜乙猜对”，“任选一道灯谜丙猜对”.

则，，，故，，.

“甲，乙两位同学恰有一个人猜对”，且与互斥.

每位同学独立竞猜，故，互相独立，则与，与，与均相互独立.

所以.

答：任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为.

【小问2详解】

设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，则.

所以.

解得.

19. 平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，为两个夹角成的单位向量，，.

（1）求；

（2）设，问是否存在实数，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）   

（2）存在，

【解析】

【分析】(1)根据复数的模的性质结合数量积公式求解即可；(2)根据向量垂直的性质列方程求的值.

【小问1详解】

，

.

【小问2详解】

，，

若是以为斜边的直角三角形，则，

，

化简得：，解得.

存在满足条件.

20. 我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了了解全市居民生活用水量分布情况，通过抽样，获得100户居民月均用水量（单位：），将数据按照，，…，分成9组，制成如图所示的频率分布直方图.为了鼓励居民节约用水，该市政府在本市实行居民生活用水“阶梯水价”：第一阶梯为每户每月用水量不超过的部分按3元/收费，第二阶梯为超过但不超过的部分按5元/收费，第三阶梯为超过的部分按8元/收费.

（1）求直方图中的值；

（2）已知该市有20万户居民，估计全市居民中月均用水费用不超过60元的用户数，并说明理由；

（3）该市政府希望使至少有95%的用户每月用水量不超过第二阶梯收费标准，请根据样本数据判断，现行收费标准是否符合要求？若不符合，则应该将第二阶梯用水量的上限至少上调到多少？

【答案】（1）

（2），理由见解析

（3）现行收费标准不符合要求，需将第二阶梯用水量的上限至少上调到

【解析】

【分析】（1）频率分布直方图中的所有矩形的面积之和为1建立关于的方程，求出的值；

（2）由“阶梯水价”知“用户月均用水费用不超过60元即“用户月均用水不超过”，算出频率，得出全市7320万户居民中月均用水费用不超过60元的用户数；
（3）抽取的100户居民月均用水量不超过的频率为，所以现行收费标准不符合要求. 抽取的100户居民月均用水量不超过的频率为1，现行收费标准不符合要求，需将第二阶梯用水量的上限至少上调到.

【详解】（1）由频率分布直方图可得

，解得.

（2）由“阶梯水价”知“用户月均用水费用不超过60元即“用户月均用水不超过”，则100户居民中有，由此可以估计全市7320万户居民中月均用水费用不超过60元的用户数为.

（3）抽取的100户居民月均用水量不超过的频率为：

，

，所以现行收费标准不符合要求.

抽取的100户居民月均用水量不超过的频率为：

，

，

现行收费标准不符合要求，需将第二阶梯用水量的上限至少上调到.

21. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为中点，为中点，为线段上一点.

（1）若为中点，求证：平面；

（2）设直线与底面所成角的大小为，二面角的大小为，若，求的长度.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）或1.

【解析】

【分析】（1）连接交于点，连接，易得为平行四边形，即为中点，可得，再由线面平行的判定证结论.

（2）取中点，连接，由中点及线面垂直的性质得底面，则为直线与底面所成角，过作于，连接，，利用线面垂直的判定及性质得，则为二面角的平面角，用线段表示出，结合求的长度.

小问1详解】

连接交于点，连接，

底面为正方形，为中点，

且，

四边形为平行四边形.

为中点，又为中点，

，又平面，平面，

平面.

【小问2详解】

取中点，连接.

为线段中点，

且，又底面，

底面，

为斜线在平面内的射影，

则为直线与底面所成角，即，.

过作于，连接，.

底面，底面，

，又，，面，

平面，平面，

，

综上，为二面角的平面角，即，.

由，知，即.

设，，则，，，

由得：，

化简得，解得或，则或1.

22. 中，已知，，为上一点，，.

（1）求的长度；

（2）若点为外接圆上任意一点，求的最大值.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）设，，在与中应用余弦定理，结合可得，再由有求出.

（2）由（1）易知为外接圆的直径，讨论的位置，利用正余弦定理、三角恒等变换及三角函数的性质求的最大值.

【小问1详解】

设，，则.

在与中，由余弦定理知：

，即，

，即.

，

，可得.

，

，即.解得，.

.

【小问2详解】

由（1）知：中，，，为外接圆的直径.

为外接圆上任意一点，

当在点时，.

当在点时，.

当在优弧上时，，

设，则.

中，由正弦定理知，.

，

当时，的最大值为.

当在劣弧上时，，

设，则.

中，由正弦定理知，.

.

当时，的最大值为.

综上，的最大值为.

【点睛】关键点点睛：第二问，注意讨论的位置，综合运用正余弦定理、三角恒等变换及正弦型函数的性质求对应最值.