江苏省无锡市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试 数学试题【含答案】

这是一份江苏省无锡市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试 数学试题【含答案】，共11页。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知的内角所对的边分别为，若，，，则

2．用斜二测画法画一个边长为的正三角形的直观图，则直观图的面积是

3．已知是三条不重合的直线，是三个不重合的平面，则下列结论正确的是
若，，则 若，，则
若，，，则 若，，则
4．已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为
锐角三角形 直角三角形等腰三角形等腰或直角三角形
5．已知，，且，则
或
6．龙光塔位于锡山山顶.它是无锡的地标，登塔可以俯瞰锡城，感受城市日新月异；它是无锡文风昌盛的象征，多年来屡次出现在文人墨客的笔下，见证了无锡的人杰地灵.有同学想测量塔顶距离地面的高度.选取与山脚在同一水平面的两个测量基点与.现测得，，，在和处测得的仰角为和，则塔顶距离地面高度必定可以表示为

已知为重心，线段上一点满足，与相交于点，则

8．在等腰梯形中，已知，，将沿直线翻折成，则当三棱锥的体积最大时，以为直径的球被平面所截的截面面积为

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知向量，，则下列说法中正确的是
当时，
当时，向量在向量上的投影向量为
当与的夹角为锐角时，
与向量垂直的单位向量为
10. 在中，角所对的边分别为，则下列说法中正确的是
若，，，则符合条件的有两个
若，则是等腰三角形
若，则是的垂心
若，则是的重心
11．如图，在棱长为2的正方体中，点M 为线段CC1上的动点，动点P在平面A1BD内，则下列说法中正确的是
当为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形
当四面体的顶点在一个体积为的球面上时，
C.当时，取得最小值
D.的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知某圆台轴截面的周长为，母线与底面成角，圆台的高为，该圆台的体积为 ．
若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态.已知，，与的夹角为，则与夹角的大小为 ．
14．已知在锐角三角形ABC中，角所对的边分别为，若，则 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知e1→，e2→是夹角为的两个单位向量，，（λ∈R）．
(1)若a→，b→可以作为一组基底，求实数λ的取值范围；
(2)若a→，b→垂直，求实数λ的值．
16．（15分）
如图，在正三棱柱中，为棱的中点，为棱中点，.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面.
17．（15分）
在①；②；③；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
问题：已知的内角的对边分别为且满足______．
(1)求角的大小；
(2)若边上的中线长为，求的面积.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
18．（17分）
如图，在三棱锥中，，.
(1)求证：；
(2)若，，是的中点，分别在线段上移动.
①求与平面所成角的正切值；
②若，求线段长度取最小值时二面角F-BC-A平面角的正切值．
19．（17分）
对于一个向量组，（且），令，如果存在，使得，，则称是该向量组的“向量”.
(1)设，，若是向量组的“向量”，求实数的取值范围；
(2)若，，向量组，是否存在“向量”?若存在，求出正整数；若不存在，请说明理由；
(3)已知,,均是向量组,,的“向量”，若，，,其中是的内角，设的内角的对边分别为，若，求周长的取值范围.
无锡市第一中学2024-2025学年度第二学期期中试卷参考答案
高 一 数学 2025.4
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. BC 10. BCD 11.AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13. 14.
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.【详解】（1）因为可以作为一组基底，所以不平行，
又不共线，所以，即， 4分
所以，实数的取值范围为. 分
（2）因为垂直，所以， 分
即，
所以，解得. 分
16.【详解】（1）连结交于，连结
在正三棱柱中且
所以四边形是平行四边行，为的中点，
因为为的中点
所以为的中位线， 分
因为，
所以 分
在正三棱锥柱中，且，，
所以四边形是正方形
所以 分
因为分别是的中点，所以是的中位线
所以
又因为，所以
在正三棱柱中，，所以
在正三角形中，为的中点，所以 分
因为，
所以 分
因为，所以
因为
所以
因为，所以 分
17.
【详解】（1）①在中，由，得，
由正弦定理，得， 分
则
结合已知条件得，因为， 分
∴，或者，解得． 分
②由题意有，
即有，
由正弦定理得：，分
又，所以，则，所以； 分
③在中因为，
由正弦定理得，
所以， 分
即，
又因为，，所以，所以 分
（2）设BC的中点为D，根据向量的平行四边形法则可知，
所以，即， 分
因为，，
所以，解得负值舍去
所以 分
【详解】（1）证明：作
因为平面平面，平面平面，平面
所以平面
因为平面
所以 分
因为，，所以
因为，
所以， 分
又，所以 分
（2）由（1）得平面
所以为在平面的射影，为与平面所成角 分
在中，，
在直角中， 分
所以与平面所成角的正切值为 分
过作的垂线，垂足为，过作，交
因为，，所以
又因为，
所以
因为 ，，所以
同理
因为，，所以 分
因为 ，所以
设
所以，，，
在直角中， ()
当时， 分

易证为二面角F-BC-A的平面角，其正切值为 分
19.【详解】（1）由题意可得：，
，，
则，解得：. 分
（2）存在“向量”，且“向量”为，理由如下：
由题意可得
，若存在“向量”，只需使，
因为
所以，故只需使 分
即，即，
当时，符合要求，故存在“向量”，且“-1向量”为. 分
（3）由题意，得，，即，
即，同理，
三式相加并化简，得：，
即，，所以， 分
,得
因为，所以 14分
在中，
，
即,又因为
所以
因为 ，所以，
即 分
所以，即周长范围 分1
2
3
4
5
6
7
8
D
A
D
C
B
A
C
B