江苏省部分重点高中2024-2025学年高一下学期6月期末考试 数学（含解析）

这是一份江苏省部分重点高中2024-2025学年高一下学期6月期末考试 数学（含解析），共15页。
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将班级、姓名、学号填写在密封线内．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 设复数，则的共轭复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】因为，
所以，
所以的共轭复数的虚部为.
故选：D
2. 在中，，则最大角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由题意可知，所以，所以最大，
设，
由余弦定理得：，
故选：A
3. 某生活超市2025年第一季度各区域营业收入占比和净利润占比统计如下表所示：
已知该生活超市本季度的总营业利润率为32.5%（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），下列结论不正确的是（ ）
A. 本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区
B. 本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区
C. 本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过40%
D. 本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区
【答案】D
【详解】生鲜区的净利润占比，故A正确．
生鲜区的营业利润率为，故C正确．
熟食区的营业利润率为；
乳制品区的营业利润率为；
其他区的营业利润率为；
日用品区的营业利润率为，最高，故B正确．
由题中数据知，其他区的营业收入占比4.7%为最低的，故D错误．
故选：D
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由得，故，
因此，
故选：D
5. 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】C
【详解】A中，若，，，则直线m，n平行或异面，所以A错误．
B中，若，，则或，所以B错误．
C中，根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行知C正确．
D中，β，γ两平面可能相交或平行，所以D错误．
故选：C
6. 若O为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（ ）
A. 等边三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
【答案】C
【详解】
如图，取中点，则，
所以，
所以，又，故，即为等腰三角形，
故选：C．
7. 如图，在直三棱柱中，，，分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】如图，把直三棱柱 补成一个底面为菱形的直四棱柱.
因为 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，所以异面直线 与所成的角为 或其补角.
不妨设 ，因为 ，
所以 ，所以为等边三角形，
所以 ，所以 .
因为 为边长为 的等边三角形，所以 .
又因为 ，
所以在 中，由余弦定理可得 ，
故异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故选：A
8. 已知△ABC是边长为2的等边三角形，M是△ABC内一点，且，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】取 的中点 ，以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系
则 . 设 ，
则 .
因为 ，且 ，所以 )，且 ，
即 可得
因为点 在 内部，
所以 可得 ，所以 .
因为 ，
所以 ，
所以当 时， 取最小值 .
故选：C

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．
9. 射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子概率分别为 . 记事件为 “两人都击中”，事件 为 “至少 1 人击中”，事件 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（ ）
A. 事件与 是互斥事件B. 事件 与 是对立事件
C. 事件 与 相互独立D.
【答案】ABD
【详解】依题意，，，.
对于A，因“两人都击中”的对立事件为“至多1人击中”，即包括“无人击中”，“1人击中”，故事件与 是互斥事件，即A正确；
对于B，因“至少 1 人击中”包括“1人击中”，“2人击中”两种情况，故其对立事件即“无人击中”，即B正确；
对于C，依题意，因，则，而，故事件 与 不相互独立，即C错误；
对于D，因，故，故D正确.
故选：ABD.
10. 设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（ ）
A. 若，则
B. 对任意复数，，有
C. 对任意复数，，有
D. 在复平面内，若，则集合M所构成区域的面积为
【答案】BC
【详解】对A：由，故，
故，故A错误；
对B：设、，
则
，
，
故，故B正确；
对C：设、，
有，则，
，故，故C正确；
对D：设，则有，
集合M所构成区域为以为圆心，半径为的圆，
故，故D错误.
故选：BC.
11. 在中，已知，，，且为边上一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 的外接圆半径
B. 若是边上的高，则
C. 若是的平分线，则
D. 若，则
【答案】ACD
【详解】对于A，由余弦定理得，
所以，故由正弦定理的外接圆半径，故A正确；
对于B，若是边上的高，则，
所以，故B错误；
对于C，若是的平分线，则，
则由得，
所以，故C正确；
对于D，因为，所以，
所以，
所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则__________．
【答案】
【详解】因为，所以，
又，所以，
所以
.
故答案为：.
13. 某高一班级有40名学生，在一次物理考试中统计出平均分数为70，方差为95，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得70分却记为50分，乙实得60分却记为80分，则更正后的方差是________.
【答案】85
【详解】设更正前甲,乙,丙...的成绩依次为，
则，
即，
所以，
，
即，
所以.
更正后的平均分，
更正后的方差
.
故答案为：.
14. 已知圆锥的轴截面面积为，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥外接球的表面积为________．
【答案】
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，
所以圆锥的侧面积为，所以，
又因为圆锥的轴截面面积为：，
解得：，所以圆锥的高为，
设圆锥外接球的半径为，圆锥外接球的球心在高上，
所以，
解得：，
所以圆锥外接球的表面积为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量．
（1）求向量在向量上的投影向量；
（2）求向量与夹角为钝角，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
由，
则，，
所以向量在向量上的投影向量为.
【小问2详解】
由，
则，，
因为向量与夹角为钝角，
所以，且与不共线，
则，解得且，
所以m的取值范围为．
16. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分的分位数（保留一位小数）；
（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率．
【答案】（1）
（2）
（3）
【小问1详解】
由题意：.
【小问2详解】
因为评分在的频率为：，
评分在的频率为：.
所以评分的第分位数在，
由.
所以估计该企业的职工对该部门评分的分位数为：.
【小问3详解】
受访职工中评分在的人数为：人，设为，
受访职工中评分在的人数为：人，设为，
从中任取两人的结果有：，，，，，，，，，，共10个，且每个结果出现的可能性相同.
2人评分都在的结果有：，，，共3个.
所以此2人评分都在的概率为：.
17. 在中，内角对应的边分别是，且．
（1）求角A的大小；
（2）若的面积是，求的周长；
（3）若为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【小问1详解】
由正弦定理可得，
即，因为，所以，
则，即.
【小问2详解】
因为，所以，
由余弦定理可得，
即，所以，
则，所以，
则的周长为.
【小问3详解】
由可得，
则
，
且为锐角三角形，则，解得，
所以，则，
所以，
即的取值范围是.
18. 如图，在四棱锥中，平面⊥平面，底面为正方形，分别为的中点，设平面平面．

（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，二面角的大小为，求与底面所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【小问1详解】
因为底面为正方形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，
所以.
【小问2详解】
取的中点，连接，，

因为点分别为的中点，
所以，且，
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
又因为平面，平面平面
所以.
【小问3详解】
因为平面，平面，所以，又，
是二面角的平面角，所以，
设则，连接，，
因为，平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，所以即为与底面所成角，
因为平面，平面，所以，
所以，
所以在直角三角形中，.
所以与底面所成角的正弦值为.

19. 如图，在矩形ABCD中，P，Q分别是边DC，BC上的两点，．
（1）如果P，Q分别是边DC，BC的中点，求的值．
（2）若，求△PAQ的面积S△PAQ的最小值．
（3）若，连接AP交BC的延长线于点T，Q为BC的中点，试探究线段AB上是否存在一点H，使得∠THQ最大．若存在，求BH的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）即存在，且
【小问1详解】
因为P，Q分别是边DC，BC的中点，所以，
，
因为，
所以
.
【小问2详解】
设，以点为坐标原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，
因为，所以，则，
于是，，
因为，
则△PAQ的面积，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立.
即的最小值为.
所以△PAQ的面积的最小值为．
【小问3详解】
同（1）问建立相同直角坐标系，

则可得即，
假设存在点，使得最大，由，即有最大，
设，当时，角度为，此时不可能最大，故，即，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
即线段AB上存在一点H，使得∠THQ最大，此时.生鲜区
熟食区
乳制品区
日用品区
其他区
营业收入占比
48.6%
15.8%
201%
10.8%
4.7%
净利润占比
658%
-4.3%
16.5%
202%
1.8%