江苏省赣榆高级中学2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学试题含答案

这是一份江苏省赣榆高级中学2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知平面向量 a=1,x,b=3,−1 ，若 a//b ，则 x= ( )
A. -3 B. 3
C. −13 D. 13
2. 已知平面向量 a,b 是单位向量，则 “ a,b 是相等向量” 是 “ a,b 的方向相同” 的()
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知 3sinθ−csθcsθ+sinθ=2 ,则 tanθ+π4= ( )
A. -2 B. 1 C. 2 D. 12
4. 如图，已知 AB=a,AC=b,BC=4BD,CA=3CE ，则 DE= ( )

A. 34b−13a B. 34a−13b
C. 512b−34a D. 512a−34b
5. 已知 α,β∈0,π2 ,若 sinα+π2=45,cs2π−β=513 ,则 csα+β= ( )
A. −1665 B. 6365 C. 5665 D. −3365
6. 已知 a=22sin10∘+22cs10∘,b=cs2π7,c=1 ,则( )
A. a>b>c B. c>a>b C. b>a>c D. c>b>a
7. 已知角 α,β 满足 csα=512,csα+βcsβ=13 ，则 csα+2β 的值为__( )
A. 112 B. 16 C. 14 D. 12
8. 已知梯形 ABCD 中， AB//CD ， AB=2BC=2CD=2AD=4 ，点 M 为边 CD 上的动点， 若 ∠AMB=α ，则 csα 的范围是( )
A. 0,17 B. −17,1 C. 12,17 D. −17,0
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项 中, 有多项是符合题目要求的. 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错 的得 0 分.
9. 已知向量 a,b 满足 a−2b=7 ， a=b=1 ，则()
A. a 与 b 的夹角为 2π3 B. a 与 b 的夹角为 5π6
C. 2a−3b=19 D. a⊥a+2b
10. 已知向量 a=3,2,b=−1,2,c=4,1 ，则下列结论正确的是( )
A. b=5
B. b 的单位向量为 −55,255
C. 若 a+kc//2b−a ,则实数 k 的值为 −1613
D. 若 a 与 a+λb 的夹角为锐角,则实数 λ 的取值范围是 −13,+∞
11. 已知 fx=4csxcsx+π3 ,则下列说法中正确的是 ( ).
A. 函数 fx 的最小正周期为 π
B. 函数 fx 在 −π6,π12 上单调递减
C. 7π12,0 是函数 fx 图象的一个对称中心
D. 函数 fx 的图象可以由函数 y=cs2x+π3+1 图象上各点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 2 倍得到
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 sinx+csx=75 ,则 sin2x 的值为_____.
13. 已知向量 a=−2,1 ，向量 b 在 a 上的投影向量的坐标为 45,−25 ，则 a⋅b= _____.
14. 如图,函数 fx=15sinωx+φω>0 的图象与它在原点 O 右侧的第二条对称轴 CD 交于点 C,A 是 fx 图象在原点左侧与 x 轴的第一个交点,点 B 在图象上, AB=59AD , AB⊥BC ，则 ω= _____.

四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或验算 步骤.
15. 已知点 A1,0 ， B0,1 ， C2sinθ,csθ .
(1)若 AC=BC ，求 tanθ 的值；
(2)若 OA+2OB⋅OC=1 ，其中 O 为坐标原点，求 sinθ+csθ 的值.
16. 已知函数 fx=sinx+π6+sinx−π6+csx+a 的最大值为 1 .
(1)求函数 fx 的最小正周期和常数 a 的值；
(2)求函数 fx 的单调递减区间；
(3)求使 fx≥0 成立的 x 的取值集合.
17. 在 △ABC 中, AD=2AB,CE=13CD,AB=a,AC=b .
(1)用 a,b 表示 AE ；
(2)若 AE⊥CB,AE⋅CD=12 ，求 AE .
18. 设常数 a∈R ,函数 fx=asin2x+2cs2x .
(1)若 fx 为偶函数，求 a 的值；
(2)若 fπ4=3+1 ，求方程 fx=1−2 在区间 −π,π 上的解；
(3)若函数 fx 在区间 −π4,π6 上存在最大值，求出正实数 a 的取值范围.
19. 以下是人教 A 版高中数学必修第一册教材中的一道习题:
证明: sin2x−cs2x=sin4x−cs4x . (*)
为了将该问题进行拓展探究,定义函数 fnx=sinnx−csnxn∈N∗ . 例如,方程 (*) 可表示为 f2x=f4x .
(1)求函数 gx=f3xf1x 的单调递减区间；
(2)求不等式 f1xb .
7. C
利用积化和差公式得到 csα+βcsβ=12csα+2β+csα ,代入求值即可.
csα=512,csα+βcsβ=13 ,
由积化和差得 csα+βcsβ=12csα+β+β+csα+β−β ,
即 csα+βcsβ=12csα+2β+csα ,
故 12csα+2β+512=13 ，解得 csα+2β=23−512=14 .
故选: C
8. D
建立平面直角坐标系, 应用向量的夹角公式计算最后结合值域求解.
以 AB 的中点 O 为原点,如图所示建立平面直角坐标系,则

A−2,0,B2,0,C1,3,D−1,3,
设 Mx,3−1≤x≤1 ,则 AM=x+2,3,BM=x−2,3 ,
csα=x2−4+3x+22+3⋅x−22+3=x2−1x4−2x2+49=x2−1x2−12+48,
令 x2−1=t ,则 −1≤t≤0 ,
csα=tt2+48=−t2t2+48=−1−48t2+48 ,可得 csα∈−17,0 .
故选: D.
9. ACD
根据向量数量积的运算律,求出向量 a 与 b 的夹角即可判断 A、 B ,再根据向量模的计算公式及向量垂直的性质判断 C、D 即可.
设 a 与 b 的夹角为 θ0≤θ≤π ,
由 a−2b=a−2b2=a2−4a⋅b+4b2=7 得, a2−4a⋅bcsθ+4b2=7
将 a=b=1 代入得 1−4csθ+4=7,∴csθ=−12 ,
又 θ∈0,π,∴θ=2π3 ,故 A 正确, B 错误;
∴2a−3b=2a−3b2=4a2−12a⋅b+9b2=4−12×−12+9=19 ,故 C 正确;
a⋅a+2b=a2+2a⋅b=1+2×−12=0 ,故 a⊥a+2b ,故 D 正确.
故选: ACD.
10. AC
对于 A ,利用向量的模的坐标公式计算即得; 对于 B ,利用单位向量的定义计算可判断; 对于 C ,利用向量共线的坐标表示列方程求解判断; 对于 D ,利用两向量夹角为锐角的充要条件列方程组求解可判断.
对于 A,b=−12+22=5 ,故 A 正确;
对于 B ,与 b 共线的单位向量 e=±bb=±−55,255 ,故 B 错误;
对于 C ,因 a=3,2,b=−1,2,c=4,1 ,则 a+kc=3,2+k4,1=4k+3,k+2 ,
2b−a=2−1,2−3,2=−5,2 ,由 a+kc//2b−a 可得 24k+3=−5k+2 ,
解得 k=−1613 ,故 C 正确;
对于 D ,因 a+λb=3,2+λ−1,2=3−λ,2λ+2 ,则 a⋅a+λb=33−λ+22λ+2=λ+13 , 由 a 与 a+λb 的夹角为锐角,可得: λ+13>032λ+2≠23−λ ,解得 λ>−13 且 λ≠0 ,故 D 错误. 故选: AC.
11. AB
化简函数 fx ,根据三角函数的性质判断选项.
fx=4csxcsx+π3=4csxcsx×12−sinx×32=2cs2x−23sinxcsx =1+cs2x−3sin2x=2cs2x+π3+1 ,
T=2π2=π ,选项 A 正确;
x∈−π6,π12 ,令 t=2x+π3∈0,π2,y=2cst+1 在 0,π2 单调递减,
所以 y=2cs2x+π3+1 在 −π6,π12 上单调递减,选项 B 正确;
2x+π3=kπ+π2k∈Z ,所以函数 fx 图象的对称中心为 π12+k2π,1k∈Z ,
选项 C 错误;
函数 y=cs2x+π3+1 图象上各点的横坐标不变,
纵坐标伸长为原来的 2 倍得到 y=2cs2x+π3+2 ,选项 D 错误.
12. 2425##0.96
对题设条件平方并结合倍角公式即可计算求解.
因为 sinx+csx=75 ,所以 sinx+csx2=sin2x+cs2x+2sinxcsx=1+sin2x=4925 , 所以 sin2x=4925−1=2425 .
故答案为: 2425 .
13. -2
利用 b 在 a 上的投影向量的表达式 a⋅ba2a 化简求解可得.
由 a=−2,1 ,得 a=−22+12=5 ,
则向量 b 在 a 上的投影向量为 a⋅ba2−2,1=45,−25 ,
则 a⋅ba2=−25 ，所以 a⋅b=−2 .
故答案为: -2 .
14. 2π9##29π
设函数 fx 的最小正周期 T=2πω,Am,0,m