广西壮族自治区河池高级中学2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学试题含答案

这是一份广西壮族自治区河池高级中学2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知 i 为虚数单位,设 z=1−4i1+i ,则复数 z 在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知 z−i−1=zi ,则 z= ( )
A. 2 B. 1
C. 53 D. 54
3. 复数 z 满足 z+1⋅i=1−2i ( i 为虚数单位),则 z 的共轭复数的虚部是( )
A. -3 B. -3i C. 1 D. i
4. 若复数 z 满足 z2=iz ,则 z= ( )
A. −i B. i C. 0 或 −i D. 0 或 i
5. 若 i 为虚数单位,则 1+i31+i6= ( )
A. 2 B. 0 C. 2+2i D. 2−2i
6. 若 z=5m−10i1+2i+3im∈R 为纯虚数，则 m= ( )
A. -2 B. 2 C. -4 D. 4
7. 已知复数 z 满足 z+az−2i=0a∈R ,则实数 a 的可能取值为 ( )
A. 2
B. 32
C. 1
D. 12
8. 设复数 z=a−i ，且 z2+2z+b=0 ，其中 a,b 为实数，则())
A. a=−1,b=−2 B. a=−1,b=2 C. a=1,b=−2 D. a=1,b=2
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的 选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有 选错的得 0 分
9. 已知复数 z=3−4i ，以下说法正确的是( )
A. z 的实部是 3 B. z=5
C. z=3+4i D. z 在复平面内对应的点在第一象限
10. 已知复数 z 在复平面内对应的点为 −12,32 ,则( )
A. z=1 B. z+z=1 C. z2+z+1=0 D. z2026=z
11. 已知 z1=2+i,z2=1−2i ，则( )
A. z1=z2 B. z1+z2=10
C. z1z2=z1z2 D. z1z2=z1z2
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分
12. 计算 2+i15−1+i222= _____.
13. 已知 m∈R ,复平面内表示复数 m2−5m−6+m2+mi 的点在虚轴上,则 m= _____.
14. 已知复数 z 满足 z⋅z+z+z=3 ,则 z+1= _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算 步骤
15. 已知 2−i 是关于 x 的方程 x2−mx+n=0m,n∈R 的一个根.
(1)求 m,n 的值；
(2)若 z=a2−na+m+a−mi 是纯虚数,求实数 a 的值.
16. (1)计算: 3−4i4+3i+1−i1+i2024 ；
(2)已知 zz−3iz=4+6i ，求复数 z .
17. 已知复数 z1=1−ai,z2=2a+3i,a∈R .
(1)若复数 z2−z1 为纯虚数，求 z1+z2 的值；
(2)若复数 z1z2 在复平面内对应的点在直线 y=x 上，求 a 的值.
18. 已知复数 z1=2sinθ−3i,z2=1+2csθi,θ∈0,π
(1)若 z1=z2 ，求角 θ ；
(2)复数 z1 ， z2 对应的向量分别是 OZ1 ， OZ2 ，其中 O 为坐标原点，求 OZ1 . OZ2 的取值范围；
(3)复数 z1 ， z2 对应的向量分别是 a 、 b ，存在 θ 使等式 λa−b⋅a−λb=0 成立，求实数 λ 的取值范围.
19.(1)已知关于 x 的实系数方程 x2+mx+n=0 ，若 1+2i 是方程 x2+mx+n=0 的一个复数根,求出 m,n 的值;
(2)已知 z∈C ， z+3i ， z3−i 均为实数，且复数 z+ai2 在复平面内对应的点在第一象限， 求实数 a 的取值范围.
1. C
首先化简复数, 再根据复数的几何意义判断选项.
z=1−4i1+i=1−4i1−i1+i1−i=1−4i+42=−1−2i ,
所以复数 z 在复平面内对应的点的坐标是 −1,−2 ,位于第三象限.
故选: C
2. B
先根据复数的除法运算求出复数 z ,再根据复数的模的计算公式即可得解.
由 z−i−1=zi ,得 1−iz=1+i ,
所以 z=1+i1−i=1+i1+i1−i1+i=i ,
所以 z=1 .
故选: B.
3. C
由题意可得: z=1−2ii−1=1−2ii−1−1=−3−i ,所以 z=−3+i ,所以复数 z 的共轭复数的虚部为 1 .
4. C
设复数 z=a+bia,b∈R ,则 z2=a2+b2 ,
所以 a2+b2=ia+bi=−b+ai ,
所以 a=0a2+b2=−b ,解得 a=0,b=0 或 b=−1 ,
所以 z=0 或 z=−i .
5. B
利用 i2=−1 化简原式,计算求解.
∵i2=−1 ,
∴i3=−i,i6=i4⋅i2=−12⋅−1=−1 ,
∴1+i31+i6=1−i1−1=0 .
6. D
z=5m−10i1+2i+3i=5m−10i1−2i1+2i1−2i+3i=5m−10i−10mi−205+3i=m−4+1−2mi , 因为 z 为纯虚数,
所以 m−4=0 ,且 1−2m≠0 ,
所以 m=4 .
7. D
设复数 z=x+yi (其中 x,y∈R ),则 z=x2+y2 ,将 z=x+yi 代入 z+az−2i=0 , 整理得: x+yi+ax2+y2−2i=0 ,
即 x+ax2+y2+y−2i=0 ,所以 x+ax2+y2=0y−2=0 ,得 y=2 ,
将 y=2 代入第一个方程得: x+ax2+4=0 ，即 x=−ax2+4 ，
两边平方得: x2=a2x2+4 ，所以 x2=4a21−a2 ，
因为 x2≥0 ,且分母不能为 0,所以 1−a2>04a2≥0 ,即 −10, 解得 3