山东省济宁市实验中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷（含答案）

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12. 13. 14.
6. 由 得 ，因为 时，该放射性同位素的瞬时变化率
为 ，即 ，解得 ，则 ，当
该放射性同位素含量为 贝克时，即 ，所以 ，即 ，所以
，解得 . 故选：D.
7. 的定义域为 ，令 得 ，即
有两个根，令 ，则
，令 ，显然
在 单调递减，又 ，故当 时，
，当 时， ，故 时， ，当 时，
，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 的最大值为 ，当 时， 恒陈立，
当 趋向于 0 时， 趋向于 ，故要想 有两个根，需满足
故选：A
8. 构造函数 ，所以 ，因为 ，所以
，因此函数 是实数集上的增函数，因为函数 是偶函数，所以有
，令 ，有 ，因此 ，
于是由 ，因为函数 是实数集上的增函数，
所以有 ， 故选：C
11. 当 时， ，所以 ，当 时，
，函数 在 上单调递减，当 时， ，函数 在
上单调递增，且 ， ， ，当 时， ，当
时， ，当 时，与一次函数 相比，函数 呈爆炸性增长，
从而 ， ，当 时， ，所以 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，当 时， ，函
数 在 上单调递减，且 ， ，当 时， ，当
时， ，当 时，与对数函数 相比，一次函数 呈爆炸性增长，从而
， ，当 ，且 时，
，根据以上信息，可作出函数 的大致
图象如下：
函数 的零点个数与方程
的解的个数一致，方程 ，可化为
，所以 或 ，由图象可得 没有解，所以方
程 的解的个数与方程 解的个数相等，而方程 的
解的个数与函数 的图象与函数 的图象的交点个数相等，当 时，函数 的
图象与函数 的图象有两个交点，所以当 时， 有两个零点，B 错误；当 时，
函数 的图象与函数 的图象有两个交点，所以当 时， 有两个零点，D 正
确；当 时，函数 的图象与函数 的图象有三个交点，所以当 时， 有
三个零点，A 正确；当 时，函数 的图象与函数 的图象有三个交点，
所以当 时， 有三个零点，C 正确；故选：ACD.
14. ，所以 是奇函数，又
， 在 R 的范围内是增函数， 有解等价于
， 有解，令
，当 时， 是增函数，当 x 趋于 时，
趋于 ，满足题意；当 时，当 时， ， 是增函数，
当 时， 是减函数， ；
令 ，则 ，当 时， ，
是增函数，当 时， 是减函数，并且当 时，
，
， 当 时
，即当 时， 满足题意，所以 a 的取值范围是
15.解：（1）由 的解集为 ，则
. …….……6 分
（2）由（1）问可知， ， ，则
x 2
大于零 等于零 小于零
单调递增 极大值 单调递减
则 ，
由 ， ，则 . ….……13 分
16. 【小问 1 详解】由题意可知， ，∴ ，
又圆柱的侧面积为 ，两端两个半球的表面积之和为 ，
所以 ， …….……6 分
又 ，
，所以定义域为 . …….……7 分
小问 2 详解】因为 ， …….……10 分
所以令 ，得 ，令 ，得 ，又定义域为 ，所以函数在 上
单调递减，在 上单调递增，
所以当 米时，该容器的建造费用最小，为 万元，此时 m. …….……15 分
17.【详解】（1） ， ， …….……2 分
①当 时，即 时， ， 在 上是减函数；
②当 时，即 时，由 ，解得 ，当
时， ，当 时， ， 在 单调递
减，在 上单调递增， …….……6
分
综上， 时，函数在 上是减函数，无单调增区间； 时，函数在 单
调递减，在 上单调递增. …….……7 分
（2）若 时， 在 无最小值，所以 f(x)>0 不恒成立 ……9 分
若 时，①当 时， ，所以函数 在 上单调递增，
所以 ，即当 x>0 时，f(x)>0 恒成立； ……11 分
②当 时， ，函数在 递减，在 上递增，所以当
时， ，只需
即可，令 ， ，则
，所以 在 上是增函数，故 ，即
无解，所以 时，f(x)>0 不恒成立。 ……14 分
综上，k 的取值范围为 . …….……15 分
18. 【小问 1 详解】
由函数 ，求导得 ， …….……2 分
因此曲线 C 在 处切线的斜率为 ，当且仅当
时取等号，
所以切线的斜率的最小值为 . …….……7 分
【小问 2 详解】
设点 ， ，由 ，得 ，即 ，
整理得 ，因此 ， …….……11 分
于是
，…….……16 分
显然点 是线段 的中点，所以当 时，直线 恒过定点
. …….……17 分
19. (1)当 时， ，
的定义域为 ，若 ，则 ；若 ，则 ；
所以 的增区间为 ，减区间为 ….….…….……4 分
(2)函数 的定义域是 ，
．
当 时，令 则 或 ．
当 ，即 时， ， 在 上单调递减，
在 上的最小值是 ，
当 ，即 时，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
在 上的最小值是 ，
当 ，即 时， ， ， 在 上单调递增，
在 上的最小值是 ．
综上， ． ….….…….……10 分
（3）① 有两个不同的零点 即 有两个不同实根 ，
得 ，令 ， ，令 ，得 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
时， 取得最大值 ，且 ，当 时 ，
得 的大致图象如右：
，所以实数 a 的取值范围 ． ….……13 分
②当 时， 有两个不同的零点 ．
两根满足 ， ，
两式相加得： ，两式相减得： ，
上述两式相除得 ，不妨设 ，要证： ，
只需证： ，即证 ，
设 ，令 ，则 ，
函数 在 上单调递增，且 ．
，即 ， ． …….……17 分