山东省济宁市实验中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份山东省济宁市实验中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 某直线运动的物体从时刻到的位移为，那么为（ ）
A. 从时刻到物体的平均速度B. 从时刻到位移的平均变化率
C. 当时刻为时该物体的速度D. 该物体在时刻的瞬时速度
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由变化率与导数的关系，分析可得答案.
【详解】根据题意，直线运动的物体，从时刻到时，时间的变化量为，而物体的位移为，那么为该物体在时刻的瞬时速度.
故选：D.
2. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数的运算法则即可判断各选项.
【详解】对于A，，A错；
对于B，，B错；
对于C，，C错；
对于D，，D对.
故选：D
3. 函数f (x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知函数的图象，先判断它的单调性，然后根据函数图象斜率的变化，从而求解．
【详解】观察函数的图象知：当时，单调递增，且当时，，
随着逐渐增大，函数图象由陡逐渐变缓，，，，
而（即点B）处切线的倾斜角比（即点A）处的倾斜角小，且均为锐角，
，又是割线AB的斜率，显然，
所以.
故选：B
4. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
判断奇偶性，函数值正负，特殊的函数值的大小，用排除法得出正确结论．
【详解】，奇函数，排除A，又时，，，排除D，，排除B．
故选：C．
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
5. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性比较函数值的大小.
【详解】因为，，，所以构造函数，
因为，由有：，
由有：，所以在上单调递减，
因为，，,
因为，所以，故A，B，D错误.
故选：C.
6. 随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学､航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量P（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中P0为时该放射性同位素的含量.已知时，该放射性同位素的瞬时变化率为，则该放射性同位素含量为4.5贝克时，衰变所需时间为（ ）
A. 20天B. 30天C. 45天D. 60天
【答案】D
【解析】
【分析】根据题中条件，先求出，再令，代入解析式求解，即可得出结果.
【详解】由得，
因为时，该放射性同位素的瞬时变化率为，
即，解得，
则，
当该放射性同位素含量为贝克时，即，
所以，即，所以，解得.
故选：D.
7. 已知方程有两个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求定义域，令得有两个根，构造，求导得到其单调性，得到最值，结合函数图象特征得到实数a的取值范围.
【详解】的定义域为，
令得，即有两个根，
令，则，
令，显然在单调递减，
又，故当时，，当时，，
故时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故的最大值为，当时，恒陈立，
当趋向于0时，趋向于，
故要想有两个根，需满足
故选：A
8. 定义在R上的可导函数的导数为，满足且是偶函数，（为自然对数的底数），则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知不等式和所求不等式的形式构造新函数，结合导数，利用新函数的单调性，以及偶函数的性质进行求解即可.
【详解】构造函数，所以，
因为，所以，因此函数是实数集上的增函数，
因为函数是偶函数，所以有，
令，有，因此，
于是由，
因为函数是实数集上的增函数，所以有，
故选：C
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列复合函数的导数计算正确的有（ ）
A. 若函数，则
B. 若函数，则
C. 若函数，则
D. 若函数，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，结合复合函数的求导法则，准确计算，即可求解.
【详解】对于A中，由函数，可得，所以A正确；
对于B中，由函数，可得，所以B正确；
对于C中，由函数，可得，所以C错误；
对于D中，由函数，
可得，所以D正确．
故选：ABD
10. 函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则下列命题正确的是（ ）
A. 函数在内一定不存在最小值B. 函数在内只有一个极小值点
C. 函数在内有两个极大值点D. 函数在内可能没有零点
【答案】BCD
【解析】
【分析】对AB，设的根为，且，进而分析函数的单调性与极值和最值即可；对C，根据导数确定原函数的极值点即可；对D，举反例判断即可.
【详解】对AB，设的根为，且，则由图可知，
函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，
在内单调递减，所以函数在区间内有极小值，
当时，是函数在区间内的最小值，
所以A错误，B正确；
对C，函数在区间内有极大值，所以C正确；
对D，当时，函数在内没有零点，所以D正确．
故选：BCD．
11. 已知函数，函数，下列对函数描述正确的是（ ）
A. 当时，有三个零点B. 当时，有三个零点
C. 当时，有三个零点D. 当时，有两个零点
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用导数分析函数的单调性和函数值的变化规律，根据零点定义可得函数的零点为方程和方程的解，结合函数的性质确定取不同值时函数的零点个数，可得结论.
【详解】当时，，
所以，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
且，，，
当时，，当时，，
当时，与一次函数相比，函数呈爆炸性增长，
从而，，当时，，
所以，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
且，，
当时，，当时，，
当时，与对数函数相比，一次函数呈爆炸性增长，
从而，，
当，且时，，
根据以上信息，可作出函数的大致图象如下：
函数的零点个数与方程的解的个数一致，
方程，可化为，
所以或，
由图象可得没有解，
所以方程的解的个数与方程解的个数相等，
而方程的解的个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等，
当时，函数的图象与函数的图象有两个交点，
所以当时，有两个零点，B错误；
当时，函数的图象与函数的图象有两个交点，
所以当时，有两个零点，D正确；
当时，函数的图象与函数的图象有三个交点，
所以当时，有三个零点，A正确；
当时，函数的图象与函数的图象有三个交点，
所以当时，有三个零点，C正确；
故选：ACD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若，则________
【答案】
【解析】
【分析】由导数的运算法则与赋值法求解，
【详解】，令，得，
故答案为：
13. 已知为函数图象上的任意一点，则的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解极值点与端点值，比较即可求解.
【详解】由题意可得，所以，
记，则，
令，则，解得或，
令，则，解得，
故在单调递增，在单调递减，
故，
由于，所以最大值为，
故答案为：
14. 已知定义在R上的函数 ，若 有解，则实数a的取值范围是______________．
【答案】
【解析】
【分析】分析 的奇偶性和单调性，根据奇偶性和单调性求解.
【详解】 ，所以 是奇函数，
又 ， 在R的范围内是增函数，
有解等价于 ， 有解，
令 ，
当 时， 是增函数，当x趋于 时， 趋于 ，满足题意；
当 时，当 时， ， 是增函数，当 时， 是减函数，
；
令 ，则 ，当 时， ，
是增函数，当 时， 是减函数，
并且当 时， ， ，
当 时 ，即当 时， 满足题意，
所以a的取值范围是 ；
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知函数，其导函数为，不等式的解集为.
（1）求a，b的值；
（2）求函数在上的最大值和最小值.
【答案】（1）；（2）最大值：，最小值：.
【解析】
【分析】（1）根据题意可得的解集为，利用韦达定理即可求解.
（2）利用导数判断函数的单调性，然后求出极值与端点值即可求解.
【详解】解：（1）由的解集为，
则.
（2）由（1）问可知，，
，则
则，
由，，则.
【点睛】本题考查了由一元二次不等式的解集求参数、利用导数求函数的最值，考查了计算求解能力，属于基础题.
16. 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m），其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为m3.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3万元，半球体部分每平方米建造费用为4万元．设该容器的总建造费用为y万元．

（1）将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；
（2）确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．
【答案】（1），定义域
（2）当r＝2米时，该容器的建造费用最小，为96π万元，此时l＝m
【解析】
【分析】（1）根据圆柱和球的体积公式即可得与关系，根据题意建立与的函数关系；
（2）求函数的导数，判断函数的单调性，即可求出函数的最小值．
【小问1详解】
由题意可知，，∴，
又圆柱的侧面积为，两端两个半球的表面积之和为，
所以，
又，，
所以定义域为.
【小问2详解】
因为，
所以令，得，令，得，
又定义域为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当米时，该容器的建造费用最小，为万元，此时m.
17. 设.
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）当x>0时，f(x)>0恒成立，求k的取值范围.
【答案】（1）答案见解析（2）
【解析】
【分析】（1）求函数导数，根据的取值范围分类讨论即可求出函数的单调性；
（2）由（1）求函数在时的最小值，问题转化为函数的最小值大于0恒成立，根据函数单调性，分类讨论求函数的最小值，并判定最小值与0的大小关系即可求解.
【详解】（1），
，
①当时，即时，，
在上是减函数；
②当时，即时，
由，
解得，
当时，，当时，，
在单调递减，在上单调递增，
综上，时，函数在上是减函数，无单调增区间；
时，函数在单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，
若时，在无最小值，所以f(x)>0不恒成立；
若时，
①当时，，
所以函数在上单调递增，
所以，
即当x>0时，f(x)>0恒成立；
②当时，，
函数在递减，在上递增，
所以当时，
，
只需即可，
令，，
则，
所以在上是增函数，
故，
即无解，
所以时，f(x)>0不恒成立。
综上，k的取值范围为.
【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，求函数的最小值，分类讨论，转化思想，属于难题.
18. 已知函数，记的图象为曲线C．
（1）若以曲线C上的任意一点为切点作C的切线，求切线的斜率的最小值；
（2）求证：以曲线C上两个动点A，B为切点分别作C的切线，，若恒成立，则动直线AB恒过某定点M．
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，再借助二次函数求出最小值.
（2）设出点的坐标，再结合两条切线平行，列式计算推理即得.
【小问1详解】
由函数，求导得，
因此曲线C在处切线的斜率为，当且仅当时取等号，
所以切线的斜率的最小值为.
【小问2详解】
设点，，由，得，
即，整理得，因此，
于是
，
显然点是线段的中点，
所以当时，直线恒过定点.
19. 已知函数，其中．
（1）当时，求的单调区间；
（2）求当时，函数在区间上的最小值；
（3）若函数有两个不同的零点.
①求实数a的取值范围；
②证明：.
【答案】（1）增区间为，减区间为
（2）
（3）①；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数求函数的单调区间；
（2）利用导数分类讨论函数在区间的单调性，由单调性求最小值；
（3）由函数有两个不同的零点，构造函数利用导数研究函数单调性的最值，结合函数图像求实数a的取值范围；把零点代入函数解析式，证明转化为证明，通过构造函数利用导数求最值的方法证明.
【小问1详解】
当时，，定义域为，
若，则；若，则；
所以的增区间为，减区间为
【小问2详解】
函数的定义域是，
．
当时，令则或(舍)．
当，即时，，在上单调递减，
在上的最小值是，
当，即时，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
在上的最小值是，
当，即时，，，在上单调递增，
在上的最小值是．
综上，．
【小问3详解】
①有两个不同的零点即有两个不同实根，
得，令，，令，得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
时，取得最大值，且，当时，
得的大致图像如图所示：
，所以实数a的取值范围为．
②当时，有两个不同的零点．
两根满足，，
两式相加得：，两式相减得：，
上述两式相除得，不妨设，要证：，
只需证：，即证，
设，令，则，
函数在上单调递增，且．
，即，．
点睛】方法点睛：
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．不等式问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.x
2
大于零
等于零
小于零
单调递增
极大值
单调递减