2025~2026学年辽宁省五校高二上册期末考试数学学科试卷（原卷）

这是一份2025~2026学年辽宁省五校高二上册期末考试数学学科试卷（原卷），共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知直线与的斜率存在，则“”是“”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
2. （ ）
A. 126B. 84C. 70D. 56
3. 双曲线离心率和渐近线方程分别为（ ）
A. B.
C. D.
4. 在正三棱台中，分别是和的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知点，动点满足，则的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
6. 用数字1，2，3组成一个四位数，数字最多用次（其中），则满足条件四位数的个数是（ ）
A. 14B. 26C. 38D. 48
7. 在长方体中，，动点在表面及其边界上运动，，则动点的轨迹为（ ）
A. 线段B. 圆的一部分
C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分
8. “埙”（图1）是中国传统吹奏乐器之一，音色朴拙抱素独为地籁，在世界原始艺术史上占有重要的地位.一款“埙”的外轮廓上部是半椭圆，下部是半圆.上部分半椭圆的方程为，下部分半圆的方程为（图2），外轮廓线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，点是半圆上的动点，当点的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（ ）
A.
B.
C
D.
二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（ ）
A. 课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有36种
B. 课程“御”和“书”、“数”都不相邻的不同排法共有288种
C. 课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种
D. 课程“数”不排在第一天，“礼”不排在最后一天的不同排法共有480种
10. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上不同的两点，点是准线上的点，则（ ）
A. 以为直径的圆与轴相切
B. 若直线经过点，则以为直径的圆与准线相切
C. 若，则直线经过定点
D. 若和都和抛物线相切，则直线经过定点
11. 空间直角坐标系中，平面和方程之间具有如下关系：（1）平面上的点的坐标都是方程的解；（2）以方程的解为坐标的点都在平面上，则称平面为方程的平面，方程为平面的方程，并且称为平面的一个法向量.已知平面方程分别为和，平面和的交线为，则（ ）
A. 若点在直线上，则
B. 平面和所成角的余弦值等于
C. 点到平面的距离为
D. 若平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值等于
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 将5个完全相同的小球全部放入编号为1，2，3，4的4个小盒，恰好有1个空盒的不同放法有___________种.
13. 在平面直角坐标系中，点到直线的距离等于2，点到直线的距离等于3，若满足条件的直线恰有2条，则实数的取值范围是___________.
14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上的点满足，直线和直线分别和椭圆交于点和点（点，和点不同），若，则椭圆的离心率等于___________.
四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 在的展开式中，第4项的二项式系数和第2023项的二项式系数相等.
（1）求展开式中所有二项式系数的和；
（2）求展开式中所有奇数项的系数和；
（3）求展开式中系数最大的项是第几项？
16. 如图，斜棱柱的所有棱长都等于2，，平面平面，.

（1）在棱（包括端点和）上是否存在点，使得平面？若存在，求的长，若不存在，说明理由；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17. 已知抛物线的焦点为是抛物线上的动点，且的最小值为1，过点的直线交抛物线于两个不同的点，点，直线平分.
（1）求抛物线的方程；
（2）求直线的斜率；
（3）求外接圆的面积.
18. 棱锥中，，且平面，过点的平面与侧棱分别交于点，且四边形为菱形.
（1）求证：平面；
（2）求线段的长；
（3）求平面与平面所成角的余弦值.
19. 已知动圆与圆内切，同时与圆外切，圆心轨迹为，斜率为的动直线与轨迹相交于不同的两点，坐标原点为.
（1）求轨迹的方程；
（2）若中点的横坐标等于1，求面积的最大值，并求出取最大值时的值；
（3）若以为直径的圆经过点，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标.