2025-2026学年辽宁省部分重点高中高二（上）期末数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年辽宁省部分重点高中高二（上）期末数学试卷（含答案+解析），共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若SnTn=3n−12n+4，则a5b5=( )
A. 1B. 43C. 1110D. 1311
2.已知向量a=(0,2,−1),b=(2,1,1)，若(a+mb)⊥b，则m=( )
A. 16B. −16C. 12D. −12
3.P是双曲线x216−y29=1的右支上一点，M、N分别是圆(x+5)2+y2=1和(x−5)2+y2=1上的点，则|PM|−|PN|的最大值为( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
4.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，PF1⊥PF2，|PF1|+|PF2|=10a，则C的离心率为( )
A. 14B. 13C. 2 3D. 3
5.当x≠0时，设函数f(x)存在导数f′(x)，且满足f(x)+xf′(x)=ex，若f(1)=0，则f(−1)=( )
A. 1e−eB. −1eC. 0D. e−1e
6.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，A(−2,0)，B(4,0)，点P满足|PA||PB|=12.设点P的轨迹为C，则下列说法错误的是( )
A. 轨迹C的方程为(x+4)2+y2=16
B. 在x轴上存在异于A，B的两点D，E，使得|PD||PE|=12
C. 在C上存在点M，使得|MO|=2|MA|
D. 当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的角平分线
7.若函数f(x)的导函数f′(x)存在，且limΔx→0f(1−Δx)−f(1)2Δx=4，则f′(1)=( )
A. −2B. 2C. −8D. 8
8.已知数列{an}满足a1=1，其前n项和为Sn，且an+1⋅an=2n(n∈N+)，则S2025=( )
A. 22025−1B. 21014−3C. 21014−2D. 21014−1
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知过定点A的直线l1：mx+y=0与过定点B的直线l2：x−my−2m−2=0相交于点P(x0,y0)，则下列选项正确的是( )
A. A(0,0)B. B(2,2)C. l1⊥l2D. l1//l2
10.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，a1>0，a6+a7e时，函数f(x)恰有2个极值点
C. 当a=e2时，函数f(x)恰有2个零点
D. 当函数f(x)恰有2个零点时，必有一个零点为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知△ABC的顶点A(5,1)，边AB上的中线CM所在直线方程为y=2x−5，边AC上的高BH所在直线方程为y=12x−52.求直线BC的方程为 .(用斜截式表示)
13.已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=an−4an+1，a1=−1.设bn=8an+4n(n+1)，数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn= .
14.已知A为椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上顶点，点M、N的坐标分别为(0,t)和(0,−t)(00)的右焦点为F，离心率为2，经过F和M(0,2 3)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线.
(1)求双曲线的方程；
(2)设过点F且斜率为k的直线与双曲线右支交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点B，求|PQ||BF|的值.
16.(本小题15分)
动点M(x,y)与定点(1,0)的距离和点M到定直线l：x=3的距离的比是常数 33，记点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)记C的左焦点为F，过点Q(−3,0)且不与x轴重合的直线l与C交于M，N两点，证明：直线FM，FN关于直线x=−1对称.
17.(本小题15分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=4.已知E，F分别为PA，PC的中点，平面DEF与棱PB交于点G.
(1)求证：DE⊥平面PAB；
(2)求平面CDG与平面ABCD的夹角的正弦值；
(3)判断线段EF上是否存在一点H，使得点H到平面CDG的距离为2 515？若存在，请求出点H的位置；若不存在，请说明理由.
18.(本小题17分)
已知首项为1的等差数列{an}满足：a1，a2，a3+1成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：a1bn+a2bn−1+…+anb1=3n−1，求数列{bn}的通项公式及前n项和Tn；
(3)记cn= n−1n(n+1)，n∈N*，证明：c1+c2+…+cn0，
∴a=4，b=3，c=5，
∴F1(−5,0)，F2(5,0)，|PF1|−|PF2|=2a=8，
又∵M、N分别是圆(x+5)2+y2=1和(x−5)2+y2=1上的点，
即M在以F1(−5,0)为圆心，半径为r1=1的圆上，
N在以F2(5,0)为圆心，半径为r2=1的圆上，如图所示，
∴|PN|min=|PF2|−r2=|PF2|−1，|PM|max=|PF1|+r1=|PF1|+1，
∴|PM|−|PN|≤|PM|max−|PN|min=|PF1|+1−(|PF2|−1)
=|PF1|−|PF2|+2=8+2=10.
故选：D.
结合已知条件，利用双曲线的定义推出|PF1|−|PF2|=8，结合曲线与圆的位置关系推出|PM|−|PN|≤|PM|max−|PN|min，进而求出最大值．
本题考查双曲线的焦点三角形，考查圆外的点到圆的距离最值求法，属中档题．
4.【答案】B
【解析】解：双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，不妨设点P在第一象限，设双曲线C的焦距为2c，
则|PF1|+|PF2|=10a|PF1|−|PF2|=2a，解得|PF1|=6a|PF2|=4a，
又PF1⊥PF2，所以16a2+36a2=4c2，即13a2=c2，所以C的离心率e=ca= 13.
故选：B.
利用双曲线的定义与已知|PF1|+|PF2|=10a联立，求出|PF1|、|PF2|，再由PF1⊥PF2，结合勾股定理得到a与c的关系，进而求出双曲线的离心率．
本题考查双曲线的焦点三角形的应用，离心率的求法，是中档题．
5.【答案】D
【解析】解：由f(x)+xf′(x)=ex，
得[xf(x)]′=ex，
所以xf(x)=ex+c，c是常数，
当x=1时，f(1)=e+c=0，所以c=−e，
当x=−1时，−f(−1)=e−1−e，
得f(−1)=e−1e.
故选：D.
根据f(x)+xf′(x)=ex得xf(x)=ex+c，c是常数，再由f(1)=0得c=−e，即可得函数解析式，进而求函数值．
本题考查导数得运算和应用，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：设P(x,y)，
∵A(−2,0)，B(4,0)，点P满足|PA||PB|=12，
∴ (x+2)2+y2 (x−4)2+y2=12，化简可得，(x+4)2+y2=16，故A正确，
假设在x轴上存在异于A，B的两点D，E，使得|PD||PE|=12，
可设D(m,0)，E(n,0)，
故 (x−n)2+y2=2 (x−m)2+y2，化简可得，3x2+3y2−(8m−2n)x+4m2−n2=0，
∵点P的轨迹方程为x2+y2+8x=0，可得8m−2n=−244m2−n2=0，解得m=−6n=−12 或m=−2n=4(舍去)，
故存在异于A，B的两定点D(−6,0)，E(−12,0)，使得|PD||PE|=12，故B正确，
若在C上存在点M，使得|MO|=2|MA|，
可设M(x,y)，
则 x2+y2=2 (x+2)2+y2，化简可得x2+y2+163x+163=0，联立x2+y2+8x=0，可得方程组无解，
故不存在点M，使得|MO|=2|MA|，故C错误，
当A，B，P三点不共线时，由|OA||OB|=12=|PA||PB|，由三角形内角平分线的性质，可得射线PO是∠APB的角平分线，故D正确．
故选：C.
设P(x,y)，由A(−2,0)，B(4,0)，点P满足|PA||PB|=12，结合两点之间的距离公式，可推得(x+4)2+y2=16，即可依次求解．
本题主要考查轨迹方程的求解，考查计算能力，需要学生很强的综合能力，属于难题．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查导数的定义，是基础题．
根据导数的定义即可得到结论．
【解答】
解：函数f(x)的导函数f′(x)存在，且limΔx→0f(1−Δx)−f(1)2Δx=4，
即−12limΔx→0f(1−Δx)−f(1)−Δx=4，可得limΔx→0f(1−Δx)−f(1)−Δx=−8，
即f′(1)=−8.
故选：C.
8.【答案】B
【解析】解：令n=1，因此a1⋅a2=2⇒a2=2，
由an+1⋅an=2n，因此an+2⋅an+1=2n+1，
两式相除可得：an+2an=2，
因此数列{an}的奇数项和偶数项都是以2为公比的等比数列，
因此S2025=(a1+a3+⋯+a2025)+(a2+a4+⋯+a2024)
=(1+2+⋯+21012)+(2+22+⋯+21012)
=1+2×2×(1−21012)1−2=21014−3.
故选：B.
分析数列{an}的性质，利用等比数列的求和公式进行计算即可．
本题考查了数列递推式，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：已知过定点A的直线l1：mx+y=0与过定点B的直线l2：x−my−2m−2=0相交于点P(x0,y0)，
由直线l1：mx+y=0，令x=0，可得y=0，
所以直线l1过定点A(0,0)，所以A正确；
由直线l2：x−my−2m−2=0，可得(x−2)−m(y+2)=0，
联立方程组x−2=0y+2=0，解得x=2，y=−2，
所以l2恒过定点B(2,−2)，所以B不正确；
由l1：mx+y=0和l2：x−my−2m−2=0，
可得m×1+1×(−m)=0，所以l1⊥l2，所以C正确，D不正确．
故选：AC.
根据直线l1和l2的方程，求得定点A，B的坐标，可判定A正确，B不正确；根据两直线位置关系的判定方法，可判定C正确，D不正确．
本题考查了直线过定点的计算和两直线位置关系的判定方法，属于中档题．
10.【答案】ABD
【解析】解：根据a6⋅a70，可知等差数列{an}的公差d