2025~2026学年吉林省吉林市第一中学高二上册期末考试数学试卷（原卷）

这是一份2025~2026学年吉林省吉林市第一中学高二上册期末考试数学试卷（原卷），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时长：120分钟试卷分值：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知为直线一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 数列的一个通项公式是（ ）
A B.
C. D.
3. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（ ）
A. 1B. -1C. 2D. -2
4. 已知抛物线的焦点为，点在上.若到直线的距离为5，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
5. 已知直线与圆交于，两点，为坐标原点，且，则实数的值为（ ）
A B. C. ±2D.
6. 已知实数，满足，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以，为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，3为公比的等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线，圆，则（ ）
A. 直线过定点
B. 直线与圆恒相交
C. 直线被圆截得弦长的取值范围为
D. 直线被圆截得弦长的取值范围为
10. 已知正项数列中，，且，数列的前项和，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，则（ ）
A. 若，则的最小值为3
B. 点到直线的距离的最小值为
C. 若存在点，使得过点可作两条相互垂直的直线与圆都相切，则的取值范围为
D. 过直线上一点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则到直线距离的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分.
12. 若双曲线（）的离心率为，则其渐近线方程为_____________
13. 若，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为_____.
14. 一个有穷数列每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”．如：数列1，3，9经过第一次“积扩充”后得到数列1，3，3，27，9；第二次“积扩充”后得到数列1，3，3，9，3，81，27，243，9；该数列经过第次“积扩充”后所得数列的项数记为，所有项的积记为，则_____；数列的前项积_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列为递增的等差数列，数列为等比数列，满足，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
16. 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（，分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础.已知椭圆的离心率为，且右顶点与上顶点的距离.
（1）求椭圆的方程和面积；
（2）若直线交椭圆于，两点（、均不与点重合），且以，为直径的圆过点，证明直线过定点，并求出该定点的坐标.
17. 如图，在四棱柱中，底面是边长为2的正方形，底面，，为的中点.
（1）求点到平面的距离；
（2）若点是线段上的一个动点，当直线与平面所成的角为时，求线段的长.
18. 已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求函数在处的导数；
（3）若，恒成立，求实数的取值范围.
19. 在平面直角坐标系中，若在曲线方程中，以（，为非零的正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线、关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，，分别称为轴和轴的伸缩比.
（1）若曲线的方程为，伸缩比，，求曲线经过“伸缩变换”后所得到曲线的标准方程；
（2）射线的方程为，对双曲线作伸缩变换，得到双曲线，若射线与双曲线，分别交于两点，，且，求双曲线的方程：
（3）对抛物线作变换，得抛物线；对抛物线：作变换，得抛物线；…；如此进行下去，对抛物线作变换，得抛物线，若，，，记数列的前项和为，求证.