吉林市第二中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份吉林市第二中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．函数的定义域为( )
A.B.C.D.
3．已知扇形的周长是，半径为，则该扇形所对圆心角的弧度是( )
A.B.C.D.
4．某企业为了鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每个月用水量不超过15吨，按每吨3元收费；每个月用水量超过15吨，超过部分按每吨5元收费.职工小王10月份的水费为70元，则小王10月份的实际用水量为( )
A.18吨B.20吨C.22吨D.24吨
5．已知正数a，b满足，则的最小值为( )
A.7B.9C.8D.10
6．函数的最小值为( )
A.B.C.D.1
7．已知，且，则( )
A.B.C.D.
8．已知函数在定义域上是单调函数，则实数k的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知“”是“”的充分不必要条件，则a的值可能为( )
A.B.C.0D.1
10．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A.若，则函数的值域为
B.点是函数的图象的对称中心
C.函数在区间上是增函数
D.将函数的图象向右平移个单位长度后所得的函数为偶函数
11．已知函数（），则( )
A.函数在R上单调递增
B.当时，函数的值域为
C.当时，为奇函数
D.当时，函数的图象关于点中心对称
三、填空题
12．命题：“，”的否定是________.
13．若函数为R上的奇函数，则实数________.
14．已知函数，，若在区间上的最大值是3，则a的取值范围是________.
四、解答题
15．利用和（差）角公式计算下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3).
16．已知函数（且）.
(1)若在区间上的最大值与最小值之差为1，求a的值；
(2)解关于x的不等式.
17．已知函数，其中.
(1)若函数的最大值是最小值的5倍，求m的值；
(2)当时，函数的正零点由小到大的顺序依次为，，，…，若，求的值.
18．已知函数.
(1)若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式.
19．已知函数，.
（1）若函数有两个零点，求实数a的取值范围；
（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当时，求函数在区间上的最值.
参考答案
1．答案：B
解析：因为，所以，
因为，所以.
故选：B.
2．答案：A
解析：对于函数，令，解得，
所以函数的定义域为.
故选：A
3．答案：D
解析：设扇形所对圆心角为，依题意可得，解得，
即该扇形所对圆心角的弧度是.
故选：D
4．答案：B
解析：小王10月份的实际用水量为（吨）.
故选：B.
5．答案：B
解析：因为正数a，b满足，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为9.
故选：B
6．答案：A
解析：，
令，则有，
当时，，所以的最小值为.
故选：A.
7．答案：C
解析：因为，所以，
即，解得或（舍去）.
因为，所以，，
所以.
故选：C.
8．答案：D
解析：当时，因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递增且，
所以当时，也单调递增，
则，解得，所以.
故选：D.
9．答案：ABC
解析：由得，
因为“”是“”的充分不必要条件，
即“”是“”的充分不必要条件，
所以是的真子集，
所以，选项A、B、C中数值符合.
故选：ABC.
10．答案：ABD
解析：由函数的图象，可得，且，
所以，又，所以，所以，
又由，
则，可得，
因为，可得，所以.
对于A：由，则，所以，
即函数的值域为，故A正确；
对于B：因为，
所以点是函数的图象的对称中心，故B正确；
对于C：当，则，因为在上不单调，所以在区间上不单调，故C错误；
对于D：将函数的图象向右平移个单位长度，
得到为偶函数，故D正确.
故选：ABD.
11．答案：AD
解析：函数的定义域为R，
因为在定义域R上单调递增且，在上单调递增，所以在R上单调递增，故A正确；
因为，所以，，
所以，即，
当时，函数的值域为，故B错误；
当时，，
则，
所以为不是奇函数，故C错误；
当时，，
则，
所以函数的图象关于点中心对称，故D正确.
故选：AD
12．答案：，
解析：命题：“，”为全称量词命题，
其否定为：，.
故答案为：，.
13．答案：0
解析：因为为R上的奇函数，
所以，此时，
所以，即函数是奇函数，所以满足题意.
故答案为：0.
14．答案：
解析：由题易知，即，
所以，
又，
所以.
下证时，在上最大值为3.
当时，，；
当，若，即，
则，满足；
若，即，
此时，
而，满足;
因此，符合题意.
15．答案：(1)；
(2)0；
(3)
解析：（1）由公式，
得.
（2）由公式，
得.
（3）由公式及，
得.
16．答案：(1)或；
(2)答案见解析
解析：（1）因为在上为单调函数，
且函数在区间上的最大值与最小值之差为1，
所以，即或，
解得或.
（2）因为函数是上的减函数，
所以，即，
当时，，原不等式解集为；
当时，，原不等式解集为.
综上可得：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.
17．答案：(1)；
(2)
解析：（1）因为，
所以，
当时，，
当时，，
由，解得.
（2）当时，，
又函数的正零点由小到大的顺序依次为，，，…，
令，有，
则或，
可得或，
取，可得，，
又由，即，解得.
18．答案：(1)；
(2)答案见解析
解析：（1）因为关于x的不等式的解集为R，
即关于x的不等式的解集为R，
当时，恒成立；
当时，则，解得；
综上可得实数a的取值范围为；
（2）不等式，即，
当时，则；
当时，不等式可化为，解得或，即不等式的解集为；
当时，不等式即，则；
当时，不等式可化为，解得，即不等式的解集为；
当时，不等式可化为，解得，即不等式的解集为；
综上可得：当或时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
19．答案：（1）；
（2）；
（3）最大值为，最小值为0
解析：（1）由，
由，可知是函数的一个零点，
若函数有两个零点，只需要（）有解，
因为，所以，可得且.
故若函数有两个零点，则实数a的取值范围为.
（2）若不等式恒成立，有，
可化为.
①当时，显然原不等式恒成立；
②当时，，原不等式可化为，
因为，所以；
③当时，，原不等式可化为，
因为，所以.
由上知，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为.
（3），
①当时，令，
则可化为，
令，二次函数的对称轴为，
故在区间上单调递增，可得的最小值为，的最大值为；
②当时，令，
则可化为，
令，二次函数的对称轴为，
故函数在区间单调递减，
由，，得.
因为，
所以函数在上的最大值为，最小值为0.