广东省广州市越秀区广州大学附属中学黄埔实验学校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

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考试时长：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列式子一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】根据二次根式有意义的条件进行判断即可解答．
【分析】解：∵，
∴只有有意义．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的非负性，理解二次根式的有意义的条件是正确判断的关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【详解】解：，故选项A正确，符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：A．
3. 已知是整数，正整数n的最小值为( )
A. 0B. 1C. 6D. 36
【答案】C
【解析】
【详解】∵，且是整数，
∴是整数，即6n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为6．
故选C．
4. 在中，的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D. ， ，
【答案】B
【解析】
【分析】由勾股定理的逆定理及直角三角形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A.，，可判断△ABC是直角三角形，故A不符合题意；
B. ，，不是直角三角形，故B符合题意；
C. ，解得，可判断△ABC是直角三角形，故C不符合题意；
D. ，可判断△ABC是直角三角形，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、直角三角形的定等知识点，理解勾股定理逆定理的内容是解题关键．
5. 如图，，分别为边上的点．要使，需添加一个条件，下列添加条件不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和全等三角形的判定解答．根据平行四边形的性质和全等三角形的判定推出即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
添加，
∴，利用使，故A不符合题意；
添加，
∴，
∴，利用使，故B不符合题意；
添加，利用使，故C不符合题意；
添加，不能使，故D符合题意；
故选：D．
6. 在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是不是矩形．下面是某合作学习小组的位同学拟订的方案，其中正确的是（ ）
A. 测量对角线是否互相平分B. 测量两组对边是否分别相等
C. 测量其中三个角否都为直角D. 测量一组对角是否都为直角
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定，根据矩形的判定方法逐一判断即可求解，掌握矩形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：、根据对角线互相平分只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；
、根据两组对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；
、由三个角为直角得到另外一个角也为直角，故可得到四边形为矩形，故本选项正确；
、根据一组对角是直角不能确定其余两角为直角，故本选项错误；
故选：．
7. 如图，在中，D，E分别是，的中点，交CB的延长线于点F．若，，则的长为（ ）
A. 2B. 3C. 3.5D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形中位线定理，掌握线段垂直平分线性质和三角形中位线定理是解题的关键．根据D是的中点，，可以得到，进而求出，再由三角形中位线定理，即可求出．
【详解】解： D是的中点，，，
是的垂直平分线，
,
，，
，
D，E分别是，的中点，
是的中位线，
．
故选：A．
8. 如图，将一根长为橡皮筋固定在笔直的木棒上，两端点分别记为A，B，然后将中点C向上竖直拉升至点D处，则拉伸后橡皮筋的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则即为拉伸后橡皮筋的长．
【详解】解：∵，，
∴中，cm，cm，
∴cm，
∴cm，
∴cm，
∴拉伸后橡皮筋的长为cm．
故选：A
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9. 在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点E在BC边上，连接DE，将△DEC沿DE翻折，得到△DEC'，C'E交AD于点F，连接AC'．若点F为AD的中点，则AC′的长度为（ ）
A. B. 2C. 2D. +1
【答案】A
【解析】
【分析】过点C'作C'H⊥AD于点H，由折叠的性质可得CD＝C'D＝3，∠C＝∠EC'D＝90°，由勾股定理可求C'F＝1，由三角形面积公式可求C'H的长，再由勾股定理可求AC'的长．
【详解】解：如图，过点C'作C'H⊥AD于点H，
∵点F为AD的中点，AD＝BC＝2
∴AF＝DF＝
∵将△DEC沿DE翻折
∴CD＝C'D＝3，∠C＝∠EC'D＝90°
在Rt△DC'F中，C'F＝
∵S△C'DF＝
∴×C'H＝1×3
∴C'H＝
∴FH＝
∴AH＝AF+FH＝
在Rt△AC'H中，AC'＝
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形中的折叠问题、勾股定理，熟练掌握矩形的性质及勾股定理的运用是解题的关键．
10. 如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE一边作正方形DEFG.设DE=d1，点F、G与点C的距离分别为d2，d3，则d1＋d2＋d3的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接CF、CG、AE，证可得，当A、E、F、C四点共线时，即得最小值；
【详解】解：如图，连接CF、CG、AE，
∵
∴
在和中，
∵
∴
∴
∴
当时，最小，
∴d1＋d2＋d3的最小值为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，正确构造全等三角形是解本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 使有意义的x的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】解：要使二次根式有意义，需要，
解得：．
故答案是：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12. 如图，正方形A的面积为______．
【答案】100
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．根据勾股定理即可解答．
【详解】解：根据题意可得：，
根据勾股定理可得：，
故答案为：100．
13. 已知，，用含，的代数式表示为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据，再结合，，即可作答．
【详解】解：∵，，
∴
故答案为：
14. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，若，则的度数为 _______．
【答案】##27度
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，解题关键是根据菱形和三角形内角和的性质得出角之间的关系．
根据菱形的性质求出，根据互余性质得到，计算即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，正方形和正方形中，点在上，已知，，点是的中点，则的长是_____．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质．连接，，证明是直角三角形，利用勾股定理求出斜边，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可求解．
【详解】解：如图，连接，，
四边形和都是正方形，，，
，，，
，
在中，，
，
是的中点，
，
故答案为：5．
16. 如图，矩形ABCD中，交CD于点E，点F在AD上，连接CF交AE于点G，，若，则CD的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】连接AC交BD于点O，连接OG，令BD与CF交于点M，根据矩形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，对顶角相等和余角的性质可得∠GMO=∠MDF=∠MOG=∠FMD，设OG=GM=x，则CG=GF=AF=2x，用x表示出CD和AD，利用勾股定理列出方程即可解答．
【详解】解：连接AC交BD于点O，连接OG，令BD与CF交于点M，
∵GF=AF，
∴∠FAG=∠FGA，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC=4，OB=OD，
∵CG=GF，
∴OG为△CAF的中位线，
∴AF=2OG，OG∥AD，
∴∠FDM=∠MOG，
∵AE⊥BD，
∴∠FGA+∠GMO=90°，∠MDF+∠FAG=90°，
.∴∠GMO=∠MDF，
∴∠GMO=∠MDF=∠MOG=∠FMD，
∴OG=GM，FM=FD，
设OG=GM=x，则CG=GF=AF=2x，
∴FD=FM=FG-MG=2x-x=x，
∴CF=4x，AD=3x，
在Rt△DCF中，由勾股定理得，
,
在Rt△ADC中，由勾股定理得，
DC2+AD2=AC2，
即15x2+9x2=48，
解得x=，
∴，
故答案为: ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，解题的关键是根据矩形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，对顶角相等和余角的性质得到相关的角相等．
三、解答题（本题有9个小题，共72分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用．
（1）根据二次根式乘法，分母有理化，零指数幂运算法则，先化简，然后计算加减法即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类二次根式即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 已知：如图，在中，点、在上，且．
求证：四边形是平行四边形．
【答案】见详解
【解析】
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定．由平行四边形可知，，又，所以，然后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴．
即．
∴四边形为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
19. 已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的混合运算,分式的求值，完全平方公式的变形应用．
（1）把变形为，利用整体代入求值即可；
（2）把变为，利用整体代入求值即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴
．
20. 如图，已知是矩形的对角线．
（1）用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）连接，若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）61°
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）证明，再利用平行线的性质求解．
【小问1详解】
解：如图，直线即为所求；
【小问2详解】
垂直平分线段，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的作法和性质，属于中考常考题型．
21. 如图，在4×4的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点上，已知
（1）画出；
（2）判断的形状？
（3）求边上高是 ．
【答案】（1）画图见解析
（2）是直角三角形
（3）
【解析】
【分析】（1）根据，确定C位置，可得答案；
（2）利用勾股定理的逆定理进行判断即可；
（3）过作于，再利用等面积法进行计算即可．
【小问1详解】
解：如图，为所求作的三角形；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形；
【小问3详解】
如图，过作于，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，等面积法的应用，二次根式的乘法运算，熟记勾股定理的逆定理并灵活应用是解本题的关键．
22. 2024年9月第11号台风“摩羯”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市移动到市的大致路线，是某个大型农场，且．若之间相距之间相距．
（1）判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由；
（2）若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？
【答案】（1）农场会受到台风的影响，理由见解析；
（2）小时．
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，正确作出辅助线，勾股定理的计算方法是解题的关键．
（1）如图，过作于，由勾股定理得到，由此即可求解；
（2）如图，台风从点开始影响该农场，到点以后结束影响，连接，，由勾股定理得，，由此即可求解．
【小问1详解】
解：农场会受到台风的影响，理由如下：
如图，过作于，
，
，
，
的面积，
，
，
，
农场会受到台风的影响；
【小问2详解】
解：如图，台风从点开始影响该农场，到点以后结束影响，连接，，
，
，
，
由勾股定理得，
，
台风中心的移动速度为，
台风影响该农场持续时间是（小时）．
23. 如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒（）．过点作于点，连接、．

（1）求证：；
（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由．
（3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）四边形能够成为菱形，
（3）当或时，为直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用已知用未知数表示出的长，进而得出；
（2）首先得出四边形为平行四边形，进而利用菱形的判定与性质得出时，求出的值，进而得出答案；
（3）分三种情况讨论：当时；当时；当时，分别分析得出即可．
【小问1详解】
证明：在中，，，，
∴，
又∵，
∴；
【小问2详解】
解：四边形能够成为菱形．理由如下：
∵，，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴，
若使平行四边形为菱形，则需，
即，
解得，
即当时，四边形为菱形；
【小问3详解】
解：分情况讨论：
当时，
则，
∴，
即，
∴；
当时，
则，
∴，
即，
∴；
当时，此种情况不存在；
综上所述，当或时，为直角三角形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、一元一次方程的应用、直角三角形的性质等知识，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
24. 如图1所示，在正方形中，点为边上一点，连接，过点作交于点，过点作交的延长线于点．
（1）请问和有何数量关系，并说明理由；
（2）如图所示，在（1）的条件下，以和为边向右作矩形，连接交于点，求的度数．
【答案】（1），理由见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质可证，再根据平行线的性质可证，可证，利用可证，根据全等三角形对应边相等可得；
（2）首先连接根据可证，根据全等三角形对应边相等可证，从而可证，再根据可证，可证是等腰直角三角形，可得：，再根据平行线的性质可得的度数．
【小问1详解】
解：．
理由：如下图所示，
四边形是正方形，
，，
，，
，
又，
，
，
在与中，，
，
．
【小问2详解】
解：如图所示，连接，
由（1）可知，，
矩形是正方形，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定和性质．解决本题的关键是根据正方形的性质找到相等的角和边，从而证明三角形全等再利用全等三角形的性质求解．
25. 如图，在中，，平分，，延长使得，连接．
（1）判断四边形形状，并说明理由；
（2）如图，过作交于点，点在上，平分，过作交的延长线于点．
①求证：；
②试探究：，，的数量关系，并证明．
【答案】（1）矩形；证明见详解
（2）①证明见详解；②
【解析】
【分析】本题考查了四边形综合题，掌握矩形的性质，构造平行四边形，是解题关键，
（1）由角平分线的定义可得，由等腰三角形的性质可得，可得，由矩形的判定可求解；
（2）①连接，由，，得，由，，，得，得；
②过作，交延长线于，连接，由平分，平分，得，故是等腰直角三角形，得，利用 角度 换 算 得．再 证 明，最 后证 明 四边 形是 平行 四 边形 ，故
；
【小问1详解】
解：四边形是矩形，理由如下：
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
【小问2详解】
解：①证明：连接，
，，
，
，
，
，
，
，
由，，，得，
，
②,
理由：过作，交延长线于，连接，
平分，平分，
，，
，
又，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
，
，
，
，
，
由，，，
得，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；