广东省广州市花都区秀全外国语学校2024-2025学年八年级下学期数学期中试题（原卷版+解析版）

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（考试时间120分钟，满分120分）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，用2B铅笔将答案涂在答题卡上，并写在答卷的方框内）
1. 要使有意义，则的值可以是（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数，是解题的关键．根据二次根式的被开方数为非负数，列出不等式，进行求解即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，
解得：，
∴只有D选项中2符合题意．
故选：D．
2. 以长度分别为下列各组数的线段为边，其中能构成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4B. 3，4，5C. 4，5，6D. 6，8，12
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
【详解】解：A.因为，所以不能构成直角三角形；
B.因为，所以能构成直角三角形；
C.因为，所以不能构成直角三角形；
D.因为，所以不能构成直角三角形；
故选B．
3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
根据最简二次根式的定义判断作答即可．
【详解】解：A中，不是最简二次根式，故不符合要求；
B中，是最简二次根式，故符合要求；
C中，不是最简二次根式，故不符合要求；
D中，不是最简二次根式，故不符合要求；
故选：B．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加减，以及二次根式的乘除法，根据二次根式的加减法则可判断A，B；根据二次根式的乘除法法则可判断C和D．
【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，故不正确；
B．，故不正确；
C．，故不正确；
D．，正确；
故选D．
5. 如图，在中，对角线、交于点，且，，则的周长为（ ）
A. 28B. 24C. 18D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得对角线互相平分且对边相等，即，，再结合周长公式列式计算，即可作答．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴的周长，
故选：C．
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 四条边相等的四边形是矩形B. 有一个角是的平行四边形是正方形
C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形、矩形、正方形、平行四边形的判定方法进行判断即可．
【详解】解：A．四条边相等的四边形是菱形，故选项错误，不符合题意；
B．有一个角是的平行四边形是矩形，故选项错误，不符合题意；
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项正确，符合题意；
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了菱形、矩形、正方形、平行四边形的判定，熟练掌握相关判定方法是解题的关键．
7. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是，则正方形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
分别设正方形的边长为，得到，，，继而得到，即可得到答案．
【详解】解：如图，分别设正方形的边长为，
由勾股定理得，，
正方形的面积，
故选：A．
8. 如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（ ）

A. 0.4B. 0.6C. 0.7D. 0.8
【答案】D
【解析】
【分析】首先在直角三角形中计算出长，再由题意可得长，再次在直角三角形中计算出长，从而可得的长度．
【详解】解：∵米，米，
∴（米），
∵梯子的顶部下滑0.4米，
∴米，
∴米，
∴米．
∴梯子的底部向外滑出（米）．
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理应用．抓住“梯子长度不变”是解题关键．
9. 如图，菱形的顶点坐标为，顶点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、坐标与图形，勾股定理，注意数形结合思想的应用是解此题的关键．
根据菱形的性质，可得，进而得到顶点的横坐标为，即可求得点顶点的坐标．
【详解】解：菱形的顶点坐标为，
，
顶点的横坐标为，
顶点的坐标为，
故选：A．
10. 如图，正方形的边长为，作正方形，使，，，是正方形各边的中点；做正方形，使，，，是正方形各边的中点……以此类推，则正方形的边长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了图形规律，掌握正方形的性质，等腰直角三角形性质，找出边长的规律是关键．
根据题意，正方形的边长为，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，边长为，
∴，，
∵点是正方形边的中点，
∴，，
同理，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，则
∴正方形的边长为，
同理，是等腰直角三角形，
∴，则，
∴正方形的边长为，
，
∴正方形的边长为，
∴正方形的边长为，
故选：B ．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11. “两条直线平行，同位角相等”的逆命题可以写成______．
【答案】同位角相等，两直线平行
【解析】
【分析】本题主要考查了逆命题，掌握命题的基本知识是解题的关键．把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题．
【详解】解：命题“两直线平行，同位角相等．”的题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．
所以它的逆命题是“同位角相等，两直线平行．”
故答案为：同位角相等，两直线平行．
12. 如图，在数轴上点表示3，过点作，且，连接，以为圆心，为半径画弧交数轴正半轴于点，则点所表示的数为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数，勾股定理，正确记忆勾股定理公式解题关键．
先根据题意确定，再根据勾股定理求出，可得答案．
【详解】解：由题意可知，
根据勾股定理，得，
，
因为点在正半轴，
所以点对应的实数为．
故答案为：．
13. 已知菱形的对角长，，则菱形的面积为________．
【答案】36
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，解题的关键是记住菱形的面积等于对角线乘积的一半，属于中考常考题型．
根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半即可解决问题．
【详解】解：∵四边形是菱形，，，
∴菱形的面积．
故答案为：36．
14. 已知，化简：______．
【答案】1
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：1．
15. 如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握翻折变换的性质和以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
根据矩形的性质和翻折变换的性质可得，，，设，则，运用勾股定理得到，，再证明，过点作于，得到四边形是矩形，，，，在中运用勾股定理即可得出答案．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
折叠，
，
设，
则，
在中，，
，
解得，，
，，
，
，
，
，
，
作于，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
故答案为：．
16. 如图，在菱形中，，，，分别为，上的两个动点，，，分别交于点，．以下结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确的结论是______．（请填写正确的序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、垂线段最短，灵活运用知识点推理证明是解题的关键．
连接，过点作于点，根据菱形的性质，利用证明，得出，判断①，得出，根据 ，判断②，根据随着点离点越近，点离点越近，则点离点越近，点离菱形的对角线交点越近，则越接近等于，判断③，根据含角的直角三角形的性质、角平分线的性质定理、垂线段最短，推出的最小值，等于当时，的值，结合勾股定理计算，得出的最小值，判断④．
【详解】解：如图，连接，过点作于点，
四边形是菱形，，，
，，，
和是等边三角形，，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，故①正确；
，，②正确；
随着点离点越近，点离点越近，则点离点越近，点离菱形的对角线交点越近，则越接近等于，
错误，即③错误；
，，
点到的距离，
的最小值，等于当时，的值，
当时，，
此时，，
的最小值，故④正确，
综上所述，正确的结论是①②④．
三、解答题（本大题共9题，共72分，解答题应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，先化简二次根式，再合并即可．
【详解】解：；
18. 如图，在平行四边形中，分别是边上的点，且，求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质与平行四边形的判定是解此题的关键．由平行四边形的性质可得，，由可得，再由平行四边形的判定即可得到结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形．
19. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为和．求这个直角三角形的斜边长和面积．
【答案】直角三角形的斜边长，面积为
【解析】
【分析】本题考查了二次根式混合运算，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
利用勾股定理求出直角三角形的斜边长，利用三角形面积公式求出直角三角形的面积，即可求解．
【详解】解：直角三角形的斜边长，
直角三角形的面积．
20. 如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是小正方形的顶点．
（1）求线段的长度；
（2）试判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）
（2）是等腰直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
【小问1详解】
解：每个小正方形的边长均为1，
根据勾股定理得，；
【小问2详解】
解：是等腰直角三角形，理由如下：
连接，
根据勾股定理得，，，，
，
为等腰直角三角形．
21. 如图，四边形是平行四边形．
（1）尺规作图：作的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接，，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】本题考查作图基本作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图及菱形的判定定理，属于中考常考题型．
(1)根据垂直平分线的作法作图即可；
(2)证明，得到，利用平行四边形的性质得到，结合，从而证明菱形．
【小问1详解】
解：如图，
直线即为所求；
【小问2详解】
证明：设与交于点，
∵四边形平行四边形，
，
，
垂直平分，
，即，
在和中，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴四边形是菱形；
22. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M分别作MD⊥AC于点D， 作ME⊥CB于点E．
(1) 求证：四边形DMEC是矩形．
(2) 求线段DE的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）线段DE的最小值为.
【解析】
【详解】试题分析：（1）由MD⊥AC，ME⊥CB及∠C=90°，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得；
（2）连接CM，由四边形CDME是矩形，可得DE=CM， 由垂线段最短可知当CM⊥AB时，CM最短， 根据面积法求出AB边上的高即可.
试题解析：（1）∵MD⊥AC，ME⊥CB，∴∠MDC=∠MEC=90°，
又∵∠C=90°，∴ 四边形CDME是矩形；
（2）连接CM，如图所示：
∵四边形CDME是矩形，∴DE=CM，
∵∠C=90°，BC=3，AC=4，∴ AB== =5，
当CM⊥AB时，CM最短， 此时△ABC的面积=AB•CM=BC•AC，
∴CM的最小值= = ，
∴线段DE的最小值为.
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形面积的计算方法；熟练掌握矩形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
23. 现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板，，．
（1）木板①中截出的正方形木板的边长为______（结果保留根号）；
（2）求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积（结果保留根号）；
（3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）能截出；理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次根式混合运算的实际应用，熟练掌握二次根的运算是解题的关键，
（1）根据正方形的面积，即可求出边长；
（2）先求出木板①的边长，根据长方形面积公式即可求解；
（3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵木板B为正方形，且面积为，
∴木板B的边长为：．
【小问2详解】
解：∵正方形木板A，B，C的面积分别为：和，
∴正方形木板A，B，C的边长分别为：，
∴长方形木板的长为，宽为
由图可得：
∴
．
【小问3详解】
解：能截出；
理由：∵，，
∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为，
由（2）得长方形的边长分别为：、，
，，
能截出．
24. 综合与实践：某校数学课题学习小组在“测量教学楼高度”的活动中，甲，乙两个小组分别设计了以下测量方案：
请你选择其中的一种测量方案，求教学楼的高度（结果保留根号）．
【答案】选甲组或乙组，教学楼的高度为
【解析】
【分析】本题主要考查矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质及一元二次方程的应用，掌握相关方法是解题的关键．
根据等腰直角三角形的判定与性质勾股定理，分别选择甲组、乙组的测量方案进行计算即可求解．
【详解】解：甲组：，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
即教学楼的高度为 ；
选择乙组：于点，，
是等腰直角三角形，
．
，
，
在中，
，
，
，
，
（舍负），
即教学楼的高度为．
25. 定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）如图1，在四边形中，如果，，那么四边形______垂美四边形（填“是”或“不是”）．
（2）如图2，探究垂美四边形两组对边、与、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．
（3）如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形与正方形，连接，，，与交于点，已知，，求的中线的长．
【答案】（1）是， （2），理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；
（2）根据勾股定理得出，，即可证明结论；
（3）连接、，设，交于点M，证明，得出，证明，根据解析式（2）得出，根据勾股定理求出，根据，求出，最后根据直角三角形的性质求出结果即可．
小问1详解】
解：四边形是垂美四边形．理由如下：
，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
直线是线段的垂直平分线，
，即四边形是垂美四边形；
【小问2详解】
解：猜想：．
理由：∵，
∴，
由勾股定理，得，
，
∴．
【小问3详解】
解：连接、，设，交于点M，如图所示：
∵四边形和为正方形，
∴，，，
∴，
即，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴四边形是垂美四边形，
∴，
∵，，，
∴，， ，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正方形的性质，二次根式的乘法运算，直角三角形斜边上的中线的性质，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．课题
测量教学楼的高度
测量小组
甲组
乙组
测量示意图


测量说明
于点，，图中所有的点都在同一平面内
于点，点、、在一条水平直线上，图中所有的点都在同一平面内
测量数据
，，
，，