广东省广州市广州大学附属中学2024~2025学年八年级下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

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第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）
1. 下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式，解题关键是熟练掌握最简二次根式的定义：被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
根据最简二次根式的概念逐项判断即可．
【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意；
B、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：A．
2. 下列各式计算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
根据二次根式的加法法则计算并判定A；根据二次根式的乘法法则计算并判定B；根据二次根式的性质化简并判断C；根据二次根式的除法法则计算并判定D．
【详解】解：A、2与不是同类二次根，不能合并，原计算错误，故此选项符合题意；
B、，计算正确，故此选项不符合题意；
C、，计算正确，故此选项不符合题意；
D、，计算正确，故此选项不符合题意；
故选：A．
3. 如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
利用勾股定理即可直接得出答案．
【详解】解：根据题意可得：
该阴影正方形的边长为：，
故选：．
4. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 平行四边形的对边相等B. 四条边都相等的四边形是菱形
C. 矩形的两条对角线互相垂直D. 正方形的对角线垂直平分且相等
【答案】C
【解析】
【分析】．
【详解】解：A、平行四边形的对边相等，是真命题，选项说法正确，不符合题意；
B、四条边都相等的四边形是菱形，是真命题，选项说法正确，不符合题意；
C、矩形的对角线不垂直，是假命题，选项说法错误，符合题意；
D、正方形的对角线垂直平分且相等，是真命题，选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
5. 一服装店新进某种品牌五种尺码的衬衣，试卖一周，各尺码衬衣的销售量列表如下：
据上表，仅就经营该品牌衬衣而言，你认为最能影响服装店经理决策的统计量是（ ）
A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 不确定
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差．最能影响服装店经理决策的是五种尺码的衬衣的销售量，结合平均数、中位数、众数、方差的特点即可解答．
【详解】由于众数是数据中出现次数最多的数，故最能影响服装店经理决策的是五种尺码的衬衣的销售量最多的，即这组数据的众数．
故选：B
6. 五一小长假的某一天，亮亮全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到某旅游景点游玩，该小汽车离家的距离（千米）与时间（时）之间的关系如图所示，根据图象提供的有关信息，判断下列说法中错误的是（ ）
A. 景点离亮亮的家180千米B. 亮亮到家的时间为17时
C. 小汽车返程的速度为60千米/时D. 10时至14时小汽车匀速行驶
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数图象的纵坐标，可判断A；根据待定系数法，可得返回的函数解析式，根据函数值与自变量的对应关系，可判断B；根据函数图象的纵坐标，可得返回的路程，根据函数图象的横坐标，可得返回的时间，根据路程与时间的关系，可判断C；根据函数图象的纵坐标，可判断D．
【详解】解：A、由纵坐标看出景点离小明家180千米，故A正确；
B、由纵坐标看出返回时1小时行驶了180-120=60千米，180÷60=3，由横坐标看出14+3=17，故B正确；
C、由纵坐标看出返回时1小时行驶了180-120=60千米，即速度为60千米/小时，故C正确；
D、由纵坐标看出10点至14点，路程不变，汽车没行驶，故D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，观察函数图象的横坐标得出时间是解题关键．
7. 已知点（x1，y1）、（x2，y2）都在直线y＝﹣x+2上，若x1＜x2，则y1，y2的大小关系是（ ）
A. y1＞y2B. y1＝y2C. y1＜y2D. 不能比较
【答案】A
【解析】
【分析】根据k＝﹣＜0可知y将随x的增大而减小，根据函数的增减性和x的大小即可判断y1＞y2．
【详解】解：∵k＝﹣＜0，
∴y将随x的增大而减小，
∵x1＜x2，
∴y1＞y2．
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数的增减性,关键在于熟记k值与增减性的关系.
8. 若一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一次函数的性质，先根据一次函数的图象不经过第三象限可得一次函数的图象经过第二、四象限或一次函数的图象经过第一、二、四象限，分两种情况进行计算即可得到答案．解题的关键是掌握：一次函数（、为常数，，当，时，图象经过一、二、三象限；当，时，图象经过一、三、四象限；当，时，图象经过一、二、四象限；当，时，图象经过二、三、四象限．
【详解】解：∵一次函数图象不经过第三象限，
∴一次函数的图象经过第二、四象限或一次函数的图象经过第一、二、四象限，
当一次函数的图象经过第二、四象限时，
得：，解得：；
当一次函数的图象经过第一、二、四象限时，
得：，解得：；
综上所述，的取值范围是：．
故选：B．
9. 如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC、AD于点E、F，若BE=3，AF=5，则矩形ABCD的周长为（ ）
A. 24B. 16C. 12D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意和矩形的性质、线段垂直平分线的性质，可以证明△AOF≌△COE，从而可以得到BC和AB的长，即可得到矩形ABCD的周长．
【详解】解：连接AE，
∵EF垂直平分AC，
∴∠AOF=∠COE=90°，AO=CO，AE=CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B=90°，AD=BC，
∴∠FAO=∠ECO，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=CE，
∴DE=BF，
∵BE=3，AF=5，
∴CE=5，
∴AE=5，BC=BE+CE=8，
∴AB==4，
∴矩形ABCD的周长为2（4+8）=24．
故选：A．
【点睛】本题考查矩形的性质、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点均在轴上，点在轴上，点在第一象限，已知直线的函数解析式为：，点是直线上一动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由求出，，然后通过勾股定理求得，连接，交于点，连接交于点，连接，过作轴于点，当点与重合，即三点共线时由最小值，最后由勾股定理即可求解．
【详解】解：由，
当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴，，
∴，
连接，交于点，连接交于点，连接，过作轴于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，垂直平分，
∴，
∴当点与重合，即三点共线时由最小值，
在中，，
∴的最小值为，
故选：．
【点睛】本题考查了一次函数求点的坐标和性质，轴对称——最短路径问题，勾股定理，菱形的性质，矩形的判定与性质，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
【答案】x≥-1
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，列不等式求解即可．
【详解】由题意可知x+1≥0，
∴x≥-1．
故答案：x≥-1．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，明确被开方数为非负数是解题关键．
12. 学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占，投球技能占计算选手的综合成绩（百分制），选手小林控球技能得90分，投球技能得70分．小林的综合成绩是______．
【答案】78分
【解析】
【分析】本题考查的是加权平均数的求法，正确进行计算是解题关键．
根据加权平均数的定义列式计算可得．
【详解】解：（分）
故答案为：78分．
13. 一次函数和的图象相交于点．则不等式的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】首先利用待定系数法求出点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式解集即可．
【详解】解：函数过点，
，
解得：，
，，
不等式的解集为．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出A点坐标．
14. 若直线（k，b是常数，），过点，则关于x的方程的解为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，根据直线过点，得出，把代入方程，整理得出，根据，得出，求出x的值即可．
【详解】解：∵直线过点，
∴，
把代入得：，
整理得：，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：．
15. 如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到中点时，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得点从时，逐渐增大，当时，，当时，值最小，当点继续运动到点时，值逐渐增大，即当点运动到点时，，由勾股定理得到，再根据直线三角形斜边中线等于斜边的一半，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴是的直角边，是斜边，
∴点从时，逐渐增大，
根据图2可得，当时，，
当时，在中，是直角边，是斜边，
∴，即，逐渐减小，当时，值最小，当点继续运动到点时，值逐渐增大，即当点运动到点时，，
同理，点从时，逐渐减小，到时有最小值，之后逐渐增大，当点运动到点时，，此时停止运用，
∴，
∴点运动到中点时，的长为，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，动点与函数图形的综合，掌握菱形的性质，函数图象的增减性是解题的关键．
16. 已知：如图，正方形ABCD中，AB=2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE=CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：
①△OEF是等腰直角三角形；
②△OEF面积的最小值是；
③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是；
④四边形OECF的面积是1．
所有正确结论的序号是_________________________
【答案】①③④
【解析】
【分析】①易证得△OBE≌△OCF（SAS），则可证得结论①正确；
②由OE最小值是O到BC的距离，即可求得OE的最小值1，根据三角形面积公式即可判断选项②错误；
③利用勾股定理求得≤EF＜2，即可求得选项③正确；
④证明△OBE≌△OCF，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项④正确．
【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形，AC，BD相交于点O，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，
在△OBE和△OCF中，
，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴OE＝OF，
∵∠BOE＝∠COF，
∴∠EOF＝∠BOC＝90°，
∴△OEF是等腰直角三角形；
故①正确；
②∵当OE⊥BC时，OE最小，此时OE＝OF＝BC＝1，
∴△OEF面积的最小值是×1×1＝，
故②错误；
③∵BE＝CF，
∴CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝2，
假设存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2＋，
则EF＝，
由①得△OEF是等腰直角三角形，
∴OE＝．
∵OB＝，OE的最小值是1，
∴存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2＋．
故③正确；
④由①知：△OBE≌△OCF，
∴S四边形OECF＝S△COE＋S△OCF＝S△COE＋S△OBE＝S△OBC＝S正方形ABCD＝×2×2＝1，
故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
先计算乘法，再计算加法即可．
【详解】解：原式
．
18. 如图，已知是平行四边形的一条对角线，于M，于N，求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质定理和判定定理是解题的关键．
在平行四边形中，利用平行四边形的性质得， ，，再证明．得到，从而可得出．即可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出结论．
【详解】证明：连接交于O．
∵于M，于N，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴， ，，
∴．
∴．
∴，
∴，
即．
∴四边形是平行四边形．
19. 广大附中为开展“悦读”活动，对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的数量最少的是5本，最多的是8本，并根据调查结果绘制了如图不完整的图表．
（1）补全条形统计图，扇形统计图中的______；
（2）本次抽样调查中，中位数是______，扇形统计图中课外阅读5本的扇形的圆心角大小为______度；
（3）若该校八年级共有600名学生，请估计该校八年级学生课外阅读至少7本的人数．
【答案】（1）图见解析，20
（2）6；72 （3）264人
【解析】
【分析】（1）根据阅读6本的人数和所占的百分比求出调查人数，进而求出阅读5本的人数，即可补全条形统计图和求出a的值；
（2）根据中位数的定义，用乘阅读7本的学生所占的百分比，即可求出答案；
（3）求出样本中“课外阅读至少7本”所占的百分比即可求出总体中相应的人数．
【小问1详解】
解：调查的总人数为（人），
阅读5本的人数为（人），
∴，
∴，
补全条形统计图如下：
故答案为：20；
【小问2详解】
解：将50名学生课外阅读本数从低到高排列，第25和26个数字均为6，
故中位数为，
扇形统计图中课外阅读5本的扇形的圆心角大小为；
故答案为：6；72．
【小问3详解】
解：（人），
答：估计该校八年级学生课外阅读至少7本的人数有264人．
【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图、中位数和用样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20. 如图，直线y=x+4与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
（1）求△AOB的面积；
（2）过B点作直线BC与x轴相交于点C，若△ABC的面积是16，求点C的坐标．
【答案】（1）12；（2）（-14，0）或（2，0）．
【解析】
【分析】（1）分别把x=0和y=0代入y=x+4，解之，得到点B和点A的坐标，根据三角形的面积公式，计算求值即可，
（2）根据“过B点作直线BC与x轴相交于点C，若△ABC的面积是16”，结合点B的坐标，求出线段AC的距离，即可得到答案．
【详解】解：（1）把x=0代入y=x+4得：
y=4，
即点B的坐标为：（0，4），
把y=0代入y=x+4得：
x+4=0，
解得：x=-6，
即点A坐标为：（-6，0），
S△AOB==12，
即△AOB的面积为12；
（2）根据题意得：
点B到AC的距离为4，
S△ABC==16，
解得：AC=8，
即点C到点A的距离为8，
-6-8=-14，-6+8=2，
即点C的坐标为：（-14，0）或（2，0）．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键：（1）正确掌握代入法和三角形的面积公式，（2）正确掌握三角形的面积公式．
21. 如图，在中，，，．
（1）尺规作图：作的平分线交于D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】（1）利用尺规基本作图，作出的角平分线即可．
（2）作，垂足为E．设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【小问1详解】
解：如图所示：就是所求．
【小问2详解】
解：在中，由勾股定理得：，
过点D作，垂足为E．
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中由勾股定理得：，
解方程得，
∴．
【点睛】本题考查尺规基本作图—作角平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22. 学校开展大课间活动，需要购买A、B两种型号的跳绳，已知购买2根A型号和1根B型号需35元；购买3根A型号与购买2根B型号需60元．
（1）求A型号跳绳和B型号跳绳单价各多少元；
（2）若某班级计划购买A、B两种型号的跳绳共45根，其中B型号的数量不少于A型号数量的2倍，请问如何购买总费用最少，最少是多少元？
【答案】（1）A型号跳绳单价为10元，B型号跳绳单价为15元
（2）购买A型号跳绳15根，B型号跳绳30根总费用最少，最少费用是600元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
（1）设A型号跳绳单价为x元，B型号跳绳单价为y元，根据购买2根A型号和1根B型号需35元；购买3根A型号与购买2根B型号需60元；列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买A型号跳绳m根，则购买B型号跳绳根，根据B型号的数量不少于A型号数量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设购买跳绳所需费用为w元，根据题意列出w关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．
【小问1详解】
解：设A型号跳绳单价为x元，B型号跳绳单价为y元，
根据题意得：，
解得：，
答：A型号跳绳单价为10元，B型号跳绳单价为15元．
【小问2详解】
解：设购买A型号跳绳m根，则购买B型号跳绳根，
根据题意得：，
解得：，
设购买跳绳所需费用为w元，
根据题意得：，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w取得最小值，最小值，
此时，，
答：购买A型号跳绳15根，B型号跳绳30根总费用最少，最少费用是600元．
23. 已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点．
（1）若，求一次函数的表达式．
（2）当时，该一次函数的最大值为6，求k的值．
（3）若该一次函数的图象经过第一象限，且，求S的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求解析式，正确求出函数解析式是解题的关键．
（1）一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，得到，再结合，解二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意可得一次函数y随x的增大而减小，可得当时，，结合一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，得到，解二元一次方程组求解即可；
（3）根据，即，进而得到，再根据一次函数的图象经过第一象限，可得到，由不等式的性质即可解答．
【小问1详解】
解：∵一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为：；
【小问2详解】
解：∵，
∴一次函数y随x的增大而减小，
∵当时，该一次函数的最大值为6，
∴当时，，
∵一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，
∴，
∴，
解得：；
【小问3详解】
解：根据题意：，即，
∴，
∵一次函数的图象经过第一象限，且，
∴，
∴，
∴．
24. 新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．
（1）如图1，四边形是“等腰四边形”，为“界线”，若，，则______；
（2）如图2，四边形中，，，，．
①试说明四边形是“等腰四边形”；
②如图3，点在线段上，，过点作于点，过点作于点，则的最大值为______；
（3）若在“等腰四边形”中，，，且为“界线”，请直接写出的度数为______．
【答案】（1）
（2）①见解析；②
（3）或或．
【解析】
【分析】（1）根据“等腰四边形”的定义可得，，根据等边对等角，三角形的内角和定理可得，，，由此即可求解；
（2）①如图所示，连接，可得是等边三角形，由，可得，根据等腰直角三角形的判定和性质即可求解；②根据题意可证，得到，如图所示，过点作，，当点三点共线时，时，值最大，由此即可求解；
（3）根据“等腰四边形”定义及性质，分类讨论：第一种情况：如图所示，，可得，；第二种情况：如图所示，，可得，是等边三角形；第三种情况：如图所示，，设，如图所示，作于点，作点关于的对称点，连接交于点，连接，则垂直平分，，可证四边形是矩形，是等边三角形，；由此即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，连接，
∵四边形是“等腰四边形”，为“界线”，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：①如图所示，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，且，
∴四边形是“等腰四边形”；
②如图所示，连接，
由上述证明可得，四边形是“等腰四边形”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点作，，
当点三点共线时，时，值最大，
故答案为；
【小问3详解】
解：第一种情况：如图所示，，
∵四边形是“等腰四边形”，为“界线”，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是菱形，且，
∴菱形是正方形，
∴，
∴；
第二种情况：如图所示，，
∵四边形是“等腰四边形”，为“界线”，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
中，，
∴；
第三种情况：如图所示，，
∵四边形是“等腰四边形”，为“界线”，
∴，
设，如图所示，作于点，作点关于的对称点，连接交于点，连接，则垂直平分，，
∴，
∵，即，，，即，
∴四边形是矩形，则，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形、正方形、菱形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识的综合运用，理解“等腰四边形”，掌握等边三角形的判定和性质，特殊四边形的判定和性质，数形结合分析，分类讨论思想是解题的关键．
25. 在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线 与x轴相交于点C，与直线相交于点D，连接BC．
（1）分别求点A，B，C的坐标；
（2）设的面积为，的面积为，若，求直线的函数表达式；
（3）以，为边，连接，交于点F，分别取的中点M，的中点N，连接，，当取得最小值时，求此时的面积．
【答案】（1），，
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）分别求当时，当时，即可求解；
（2）①当时，由三角形面积分别求出 ，，由可求出，代入，求出，从而可求出的坐标，即可求解； ②当时，同理可求解；
（3）作轴交于，由三角形中位线定理得，，可得，取最小值时，取得最小值，当时，取最小值，由勾股定理及等腰三角形的性质得，
，由即可求解．
【小问1详解】
解：对于直线，
当时，，
当时，，
解得：，
，，
对于直线 ，
当时，，
解得：，
，
故，，；
【小问2详解】
解：，
，
①当时，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
经检验：是方程的解，
，
解得：，
，
，
解得：，
直线的函数表达式为；
②当时，
，
，
，
，
解得：，
经检验：是方程的解，
，
解得：，
，
，
解得：，
直线的函数表达式为；
综上所述：直线的函数表达式为或；
【小问3详解】
解：如图，作轴交于，
由（1）得
，
四边形是平行四边形，
，
是的中点，
是的中点，
，
，
，
取最小值时，取得最小值，
当时，取最小值，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故的面积为．
【点睛】本题考查了一次函数在几何问题中的应用，求一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，平行四边形的性质，三角形中位线定理等；掌握相关的判定方法及性质，能根据点的不同位置进行分类讨论，利用垂线段最短找出取得最小值的条件是解题的关键．尺码（厘米）
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