广东省广州市黄埔广附教育集团2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷（含答案）

这是一份广东省广州市黄埔广附教育集团2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷（含答案），共37页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A.B.
C.D.
下面各组线段中，能组成三角形的是（）
A. 5，11，6B. 8，8，16C. 10，5，4D. 6，9，14
在平面直角坐标系中，点 A2, m 1 与点 B n  2, 3 关于 x 轴对称，则 m  n 的值是（）
A. 6B. 4C. 5D. 5
从五边形的一个顶点出发，可以作（）条对角线．
A 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条
三条公路将A 、 B 、C 三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（）
三条高线的交点B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点D. 不确定
如图，在三角形 ABC 中， ABC  50，ACB  24，BD 平分ABC，CD 平分ACB ，其角平分线相交于 D，则BDC  （）
A. 141B. 142C. 143D. 145
如图，已知 AB  AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC 的是（）
CB  CDB. BCA  DCA
C. BAC  DAC
D. B  D  90
等腰三角形的一边长为3cm ，另一边长为7cm ，则它的周长为（）
13cmB. 17cmC. 22cmD. 13cm 或17cm
小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置 A 处， OA 与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在 B 处接住她后用力一推，爸爸在 C 处接住她．若点 B 距离地面的高度为1.3m ， 点 B 到OA 的距离 BD 为1.7m, 点 C 距离地面的高度是1.5m, BOC  90 ，则点 C 到OA 的距离CE 为
（）
A. 1.6mB. 1.7m,C. 1.8mD. 1.9m
如图，在V ABC 中，BC  12，AM  BC 于点 M ，交GE 于点 N ，AM  3，四边形 ABFG 和 ACDE
都是正方形（正方形的四边相等，四个内角都是直角），下列四个说法：
BAE  GAC ；
若连接 BE，CG ，则 BE  CG 且 BE  CG ；
△AEG 的面积为 18，且被直线 MN 平分；
若连接 DF ，则四边形 BCDF 的面积为 90．
其中正确的说法个数有（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二．填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
如果一个多边形的每个外角都等于36 ，则这个多边形的边数为．
已知V ABC 的三边长分别是 a、b、c，化简 a  b  c  b  a  c ．
如图，在V ABC 中， AC 的垂直平分线分别交 BC ， AC 于 D ， E ，若 AE  3cm ， △ABD 的周长为13cm ，则V ABC 的周长等于cm ．
如图，在V ABC 中， AC  BC ，B  38 ，点 D 是边 AB 上一点，点 B 关于直线 CD 的对称点为 B ， 当 BD // AC 时，则BCD 的度数为．
如图， AE 垂直于
ABC 的平分线交于点 D，交 BC 于点 E， CE  1 BC ，若
3
V ABC 的面积为 2，
则 CDE 的面积为．
如图， Rt△ABC 中，ACB  90 ， AC  8 ， BC  6 ，D 为 AB 上的一动点，把△BCD 沿CD 翻折得到△PCD ，连 AP ，当 AP 取最小值时，  ACD 的面积是．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分）
如图，D 是 BC 上一点，AB＝AD，BC＝DE，AC＝AE．求证：∠CAE＝∠BAD．
尺规作图：请你作出点 P，使点 P 到点 M 和点 N 的距离相等，且到AOB 两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）．
如图， BP 是V ABC 中ABC 的平分线， CP 是ACB 的外角的平分线， 如果ABP  20 ，
ACP  50 ，求A  P 的度数．
如图， V ABC 在平面直角坐标系中，顶点 A2，0 ．
画出V ABC 关于 x 轴对称的图形 ABC ，其中 A、B、C 分别和 A、B、C 对应；并写出 B 点的坐标；
若 y 轴上有一点 P，且满足 SAPC  SABC ，直接写出点 P 坐标．
如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，DC＝AE，AE 是 BC 边上的中线，过点 C 作 CF⊥AE，垂足为点 F， 过点 B 作 BD⊥BC 交 CF 的延长线于点 D．
求证：AC＝CB；
若 AC＝12 cm，求 BD 的长．
如图，在等腰三角形V ABC 中， AB=AC ，D 为 BC 延长线上一点， EC  AC 且 AC=CE ，垂足为
C，连接 BE ，若 BC=6 ，求BCE 的面积．
如图，在长方形 ABCD 中，AB  CD  6cm ，BC  10cm ，点 P 从点 B 出发，以2cm/ 秒的速度沿 BC
向点 C 运动，当点 P 与点 C 重合时，停止运动．设点 P 的运动时间为 t 秒：
BP  cm ．（用 t 的代数式表示）
如图 1，当 t 为何值时， ABP≌DCP ．
如图 2，当点 P 从点 B 开始运动，同时点 Q 从点 C 向点 D 运动（当点 Q 与点 D 重合时停止运动）．以
vcm/ 秒的速度沿CD 向点 D 运动．当 v 为何值，使得 ABP 与△PQC 全等？若存在，求出 v 的值；若不存在，请说明理由．
在平面直角坐标系中，已知 A(0, a) （其中 a  0 ）， B(b, 0) 且a  b2  0 ．
三角形 AOB 的形状是．
如图 1．若 A(0, 4) ，C 为OB 中点，连接 AC ，过点 A 向右作 AD  AC ，且 AD  AC ，连CD ．过点 M (1, 0) 作直线 MP 垂直于 x 轴，交CD 于点 N，求证： CN  ND ．
如图 2，E 在 AB 的延长线上，连接 EO ，以 EO 为斜边向上构等腰直角三角形 EFO ，连接 AF ，若
AB  8，EB  6 ，求△AEF 的面积．
如图， 在平面直角坐标系中， 点 A(a, 0) 在 x 轴正半轴上， 点 B 在 y 轴正半轴上， OA  OB ，
OAB  OBA  45 ，P(0, t) 是y 轴负半轴上一动点，E 是 x 轴负半轴上一动点，且OE  OP ，CP  AP ，
BC  AB ．
求证： PC  PA ；
若a  4 ，试用含 t 的式子表示点 C 的坐标；
如图 2，作 BD  y 轴交 AC 的延长线于 D，求证： PD  BD  a  t ．
2024-2025 学年广东省广州市黄埔广附教育集团八年级（上）期中数学试卷
一、单选题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）
下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了轴对称图形，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这 个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：选项 A、C、D 均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项 B 不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：B．
下面各组线段中，能组成三角形的是（）
A. 5，11，6B. 8，8，16C. 10，5，4D. 6，9，14
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟记三边关系是解题的关键．根据三角形的任意两边之和大于第 三边对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、∵ 5  6  11，
∴不能组成三角形，故 A 选项错误；
B、∵ 8 + 8 = 16 ，
∴不能组成三角形，故 B 选项错误；
C、∵ 5  4  10 ，
∴不能组成三角形，故 C 选项错误；
D、∵ 6 + 9  14 ，
∴能组成三角形，故 D 选项正确． 故选：D．
在平面直角坐标系中，点 A2, m 1 与点 B n  2, 3 关于 x 轴对称，则 m  n 的值是（）
A. 6B. 4C. 5D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，掌握关于轴对称点的坐标性质是解题关键．根据关于 x 轴对称点的坐标性质“横坐标相等，纵坐标互为相反数”，求解即可．
【详解】解：点 A2, m 1 与点 B n  2, 3 关于 x 轴对称，
2  n  2 ， m 1  3 ，
 n  4 ， m  2 ，
m  n  2  4  6 ， 故选：A．
从五边形的一个顶点出发，可以作（）条对角线．
1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形的对角线的定义，根据多边形的对角线的方法，不相邻的两个定点之间的 连线就是对角线，在 n 边形中与一个定点不相邻的顶点有n  3 个．
【详解】解：五边形（ n  3 ）从一个顶点出发可以作5  3  2 条对角线． 故选：B．
三条公路将A 、 B 、C 三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（）
三条高线的交点B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点D. 不确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理的应用，根据“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上” 解答即可，熟练掌握其判定定理是解决此题的关键．
【详解】在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，
根据“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”可得集贸市场应建在A 、B 、C 的角平分线的交点处，
故选：C．
如图，在三角形 ABC 中， ABC  50，ACB  24，BD 平分ABC，CD 平分ACB ，其角平分线相交于 D，则BDC  （）
A. 141B. 142C. 143D. 145
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，理解三角形内角和定理是解题的关键．根据角 平分线的定义以及三角形内角和定理即可求得．
【详解】解： ABC  50， ACB  24， BD 平分ABC ， CD 平分ACB ，
DBC  1 ABC  25,DCB  1 ACB  12 ，
22
BDC  180  DBC  DCB  180  25 12  143． 故选：C．
如图，已知 AB  AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC 的是（）
CB  CDB. BCA  DCA
C. BAC  DAC
D. B  D  90
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法： SAS 、 ASA 、 AAS 、SSS 、
HL ．由全等三角形的判定方法，即可判断．
【详解】解：∵ AB  AD ， AC  AC ，
由SSS 证明△ABC≌△ADC ，故 A 不符合题意；
BCA 和DCA 分别是 AB 和 AD 的对角，不能证明△ABC≌△ADC ，故 B 符合题意．
由SAS 证明△ABC≌△ADC ，故 C 不符合题意；
由HL 证明△ABC≌△ADC ，故 D 不符合题意； 故选：B．
等腰三角形的一边长为3cm ，另一边长为7cm ，则它的周长为（）
13cmB. 17cmC. 22cmD. 13cm 或17cm
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，熟知以上知识是解题的关键．
题目给出等腰三角形有两条边长为3cm 和7cm ，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：分两种情况：
当腰为3cm 时， 3  3  6  7 ，所以不能构成三角形；
当腰为7cm 时， 3  7  7 ，所以能构成三角形，周长是： 3  7  7  17cm ． 故选：B．
小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置 A 处， OA 与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在 B 处接住她后用力一推，爸爸在 C 处接住她．若点 B 距离地面的高度为1.3m ，
点 B 到OA 的距离 BD 为1.7m, 点 C 距离地面的高度是1.5m, BOC  90 ，则点 C 到OA 的距离CE 为
（）
A. 1.6mB. 1.7m,C. 1.8mD. 1.9m
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用， 由 AAS 证明OBD≌COE 得出 OE  BD ，
CE  OD 即可推出结果．
【详解】解：点 B 距离地面的高度为1.3m ，点C 距离地面的高度是1.5m, ，
点 D 距离地面的高度为1.3m ，点 E 距离地面的高度是1.5m, ，
 DE  1.5 1.3  0.2 m ，
BDO  BOC  90，
OBD  BOE  BOE  COD  90，
OBD  COD ，
又由题意可知， OB  OC ，
OBD ≌COE AAS ，
OE  BD  1.7m ， CE  OD ，
CE  OD  OE  DE  1.7  0.2  1.9m ，
点C 到OA 的距离CE 为1.9m ， 故选：D．
如图，在V ABC 中，BC  12，AM  BC 于点 M ，交GE 于点 N ，AM  3，四边形 ABFG 和 ACDE
都是正方形（正方形的四边相等，四个内角都是直角），下列四个说法：
BAE  GAC ；
若连接 BE，CG ，则 BE  CG 且 BE  CG ；
△AEG 的面积为 18，且被直线 MN 平分；
若连接 DF ，则四边形 BCDF 的面积为 90．
其中正确的说法个数有（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由正方形的性质可得BAG  CAE  90 ，再由BAE  BAG  GAE ，
CAG  CAE  GAE ，即可判断（1）；证明BAE≌GAC SAS 即可得到 BE  CG ，再根据角之间的关系可得 BE  CG ，即可判断（2）；作GH  MN 交 MN 于 H ， EI  MN 交 MN 于 I ，证明
BAM ≌ AGH AAS ，CAM ≌ AEI AAS ，GHN≌EIN AAS ，得到三角形之间的面积关系，即可判断（3）；作 FJ  BC 交 BC 于 J ， DK BC 交 BC 于 K ，则 FJ ∥ DK ，证明
 ABM ≌BFJ AAS ， CDK≌ ACM AAS ，得到三角形之间的面积关系，再由
S四边形BCDF  S梯形DKJF  SCDK  S BFJ ，进行计算即可得到答案．
【详解】解：四边形 ABFG 和 ACDE 都是正方形，
 AB  AG ， AC  AE ， BAG  CAE  90 ，
BAE  BAG  GAE ， CAG  CAE  GAE ，
BAE  CAG ，故（1）正确，符合题意；
在BAE 和△GAC 中，
 AG  AB

BAE  CAG ，

 AE  AC
BAE≌GAC SAS ，
 BE  CG ， ABE  AGC ，
如图，令 BE 和 AG 交于点O ， BE 和CG 交于点 P ，
，
OBA  BOA  90 ， BOA  GOE ，
AGC  GOE  90 ，
GOP  OGP  GPO  180 ，
GPO  90 ，
 BE  CG ，故（2）正确，符合题意；
作GH  MN 交 MN 于 H ， EI  MN 交 MN 于 I ，
四边形 ABFG 是正方形，
 AB  AG ， BAG  90 ，
BAM  BAG  GAH  180 ，
BAM  GAH  90 ，
 AM  BC ， GH  MN ，
AMB  AMC  GHA  90 ，
BAM  ABM  90 ，
GAH  ABM ， 在BAM 和AGH 中，
ABM  GAH

AMB  GHA  90 ，

 AB  AG
BAM ≌ AGH AAS ，
 S ABM  SGAH ， GH  AM ，
同理可得： CAM ≌ AEI AAS ，
 EI  AM ， S ACM
 S EAI ，
GH  EI ，
GHN  EIN  90，GNH  ENI ，
GHN≌EIN AAS ，
 SGHN  S EIN ，
 S AGN
 1 AN GH ， S
2
 AEN
 1 AN  EI ，
2
 S AGN  S AEN ，
 S AGE  S AGH  SGHI  S AEI  S ENI
 S ABM  S ACM
 S△ABC
 1 BC  AM
2
 1 12  3
2
 18 ，故（3）正确，符合题意；
作 FJ  BC 交 BC 于 J ， DK BC 交 BC 于 K ，则 FJ ∥ DK ，
四边形 DKJF 为梯形，
同理证得：  ABM ≌BFJ AAS ， CDK≌ ACM AAS ，
 BJ  AM  3 ， CK  AM  3 ， FJ  BM ， DK  CM ， SBFJ
 S四边形BCDF  S梯形DKJF  SCDK  S BFJ
 S梯形DKJF  S ACM  S ABM
 S梯形DKJF  S ABC
 1  DK  FJ  BJ  BM  CM  CK  1 BC  AM
22
 1 CM  BM  3 12  3 1 12 3 22
 1 1218  1 12 3
22
 108 18
 90 ，故（4）正确，符合题意；
 S ABM ， SCDK  S ACM ，
综上所述，正确的有（1）（2）（3）（4），共 4 个，故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积公式，熟练掌握正方形的性质 以及三角形全等的判定与性质，找准个图形之间的面积关系，添加适当的辅助线，是解此题的关键．
二．填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
如果一个多边形的每个外角都等于36 ，则这个多边形的边数为．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角与外角，根据正多边形的边数等于360 除以每一个外角的度数列式计算即可得解，熟练掌握多边形的外角和、多边形的每一个外角的度数、多边形的边数三者之间的关系是解题的关键．
【详解】解： 360  36  10 ， 故这个多边形的边数为10 ，
故答案为：10 ．
已知V ABC 的三边长分别是 a、b、c，化简 a  b  c  b  a  c ．
【答案】 2b  2c
【解析】
【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 结合绝对值的意义，化简计算即可．
【详解】解：∵V ABC 的三边长分别是 a、b、c，
∴ a  b  c, a  c  b ，
∴ a  b  c  0, b  a  c  0 ，
∴ a  b  c  b  a  c  a  b  c  a  c  b  2b  2c ； 故答案为： 2b  2c ．
如图，在V ABC 中， AC 的垂直平分线分别交 BC ， AC 于 D ， E ，若 AE  3cm ， △ABD 的周长为13cm ，则V ABC 的周长等于cm ．
【答案】19
【解析】
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质得到 DA  DC ，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵ DE 是 AC 的垂直平分线， AE  3cm ，
∴ DA  DC，AC  2AE  6cm ，
∵△ABD 的周长为13cm ，
∴ AB  BD  AD  AB  BD  DC  AB  BC  13cm ，
∴V ABC 的周长 AB  BC  AC  13  6  19cm ， 故答案为：19．
如图，在V ABC 中， AC  BC ，B  38 ，点 D 是边 AB 上一点，点 B 关于直线 CD 的对称点为 B ， 当 BD // AC 时，则BCD 的度数为．
【答案】33
【解析】
【分析】如图，连接CB ，根据轴对称的性质及全等三角形的判定与性质可得B  B  38 ，
DCB  DCB ，并由平行线的性质可推出ACB  B  38 ，最后由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求得结果．
【详解】解：如图，连接CB
∵点 B 关于直线 CD 的对称点为 B ，
∴ CB  CB ， DB  DB ．
∵ CD  CD ，
∴△DCB  △DCB ．
∴ B  B  38 ， DCB  DCB ．
∵ BD // AC ，
∴ ACB  B  38 ．
∵ AC  BC ，
∴ A  B  38 ．
∴ ACB  180  2B  104 ．
∵ ACB  ACB  DCB  DCB  ACB  2DCB  104 ．
∴ 2DCB  104  ACB  66 ．
∴ DCB  33 ． 故答案为： 33 ．
【点睛】本题考查了轴对称、等腰三角形及平行线的性质等知识，熟练掌握轴对称、等腰三角形的性质及
全等三角形的判定与性质是解题的关键．
如图， AE 垂直于
ABC 的平分线交于点 D，交 BC 于点 E， CE  1 BC ，若
3
V ABC 的面积为 2，
则 CDE 的面积为．
1
【答案】
3
【解析】
【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定，掌握等高的两个三角形的面积比等于底边长度之比是解题
的关键．先证明ADB ≌EDB ，从而可得到 AD  DE ，然后先求得△AEC 的面积，接下来，可得到CDE
的面积．
【详解】解：∵ BD 平分ABC ，
∴ ABD  EBD ，
∵ AE  BD ，
∴ ADB  EDB ，
ABD  EBD

在ADB 和△EDB 中BD  BD，

ADB  EDB
∴ ADB ≌EDB ，
∴ AD  ED ，
∵ CE  1 BC ， V ABC 的面积为 2，
3
∴ S 1 S 1  2  2 ，
 AEC3  ABC33
又∵ AD  ED ，
∴ S 1 S 1  2  1 ．

CDE2  AEC
1
233
故答案为： ．
3
如图， Rt△ABC 中，ACB  90 ， AC  8 ， BC  6 ，D 为 AB 上的一动点，把△BCD 沿CD 翻折得到△PCD ，连 AP ，当 AP 取最小值时，  ACD 的面积是．
【答案】 96 ##13 5
77
【解析】
【分析】本题考查的是轴对称的性质，角平分线的性质．如图，由 AP  AC  CP ，当 A、P、C 三点共线
时取等号，此时 AP 最小，过 D 作 DG  AC 于 G，作 DF  BC 于 F， AC  8 ， BC  6 ，由对折可得：
ACD  BCD ， PC  BC  6 ，可得 DG  DF ，再利用等面积法求解即可．
【详解】解：如图，∵ AP  AC  CP ，当 A，P，C 三点共线时取等号，此时 AP 最小，
过 D 作 DG  AC 于 G，作 DF  BC 于 F， AC  8 ， BC  6 ，
由对折可得： ACD  BCD ， PC  BC  6 ，
∴ DG  DF ，
∵ ACB  90 ，
∴ S 1  6  8  24 ，
 ABC2
∴ 1 8DG  1  6DF  24 ， 22
∴ DG  DF  24 ，
7
∴ S 1 8 24  96 ；
 ACD
277
96
故答案为：．
7
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分）
如图，D 是BC 上一点，AB＝AD，BC＝DE，AC＝AE．求证：∠CAE＝∠BAD．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由“SSS”可证△ABC≌△ADE，可得∠BAC=∠DAE，利用角的和差可求解．
【详解】证明：∵AB=AD，BC=DE，AC=AE，
∴△ABC≌△ADE（SSS），
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠CAE=∠BAD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键．
尺规作图：请你作出点 P，使点 P 到点 M 和点 N 的距离相等，且到AOB 两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由点 P 到点 M 和点 N 的距离相等，可知点 P 在线段 MN 的垂直平分线上，由点 P 到AOB 两边的距离相等，可知点 P 在AOB 的平分线上，即点 P 为线段 MN 的垂直平分线与AOB 的平分线的交点， 如图作垂线与角平分线即可．
【详解】解：如图：点 P 即为所求．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，垂直平分线的应用，作垂线，
作角平分线．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
如图， BP 是V ABC 中ABC 的平分线， CP 是ACB 的外角的平分线， 如果ABP  20 ，
ACP  50 ，求A  P 的度数．
【答案】90
【解析】
【分析】由角平分线的定义外角的性质可分别计算A 与P 的大小．
【详解】 BP 平分ABC
PBC  ABP  20 ， ABC  2ABP  40
CP 平分ACM
PCM  ACP  50 ， ACM  2ACP  100
A  ACM  ABC  100  40  60
P  PCM  PCB  50  20  30
A  P  60  30  90
【点睛】本题主要考查三角形外角的定义与性质，熟练掌握三角形两个内角的和等于另一个角的外角是本 题的解题关键．
如图， V ABC 在平面直角坐标系中，顶点 A2，0 ．
画出V ABC 关于 x 轴对称的图形 ABC ，其中 A、B、C 分别和 A、B、C 对应；并写出 B 点的坐标；
若 y 轴上有一点 P，且满足 SAPC  SABC ，直接写出点 P 坐标．
【答案】（1）见解析， B3, 3
9  0,  5 
（2） P  0, 2  或2 

【解析】
【分析】本题考查了轴对称作图及坐标系中求面积，熟知关于 x 轴对称的点的坐标特点是解题关键．
根据关于 x 轴对称的点的坐标特点画出 ABC ，根据点在坐标系的位置写出 B 点的坐标即可；
先用割补法求出 S
【小问 1 详解】
 ABC
，进而利用 1 鬃PC OA = S
2
 APC
求出 PC 长，即可求出结论．
解：根据关于 x 轴对称的点的坐标特征，分别找出点 A、B、C 关于 x 轴的对称点，顺次连接 A、B、C ， 如图：  ABC 即为所求； B3, 3 ，
；
【小问 2 详解】
解： S= 3� 31 创1 3
1 1 212 3 = 7 ，
 ABC2
 S APC  S ABC ，
- 创- 创
222
 S APC
 7 ，
2
 A2，0 ，即OA  2 ，
\ 1 醋2 PC = 7 ，
22
 PC  7 ，
2
C 0,1 ，
9 5 
P  0, 2  或 0,  2  ．

如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，DC＝AE，AE 是 BC 边上的中线，过点 C 作 CF⊥AE，垂足为点 F， 过点 B 作 BD⊥BC 交 CF 的延长线于点 D．
求证：AC＝CB；
若 AC＝12 cm，求 BD 的长．
【答案】（1）见解析；（2）6cm
【解析】
【分析】（1）根据同角的余角相等，可得∠EAC＝∠FCB，进而证明△DBC≌△ECA，即可证明 AC＝CB；
（2）根据（1）的结论以及已知条件，可得CE  BD  1 BC ，即可求得 BD 的长．
2
【详解】（1）∵AF⊥DC，
∴∠ACF＋∠FAC＝90°，
∵∠ACF＋∠FCB＝90°，
∴∠EAC＝∠FCB，
BD⊥BC，∠ACB＝90°
CBD  ACB  90
在△DBC 和△ECA，
EAC＝FCB

ACE  CBD

DC  AE
∴△DBC≌△ECA(AAS)，
∴AC＝CB；
(2)∵E 是 AC 的中点，
∴EC＝ 1 BC＝ 1 AC＝ 1 ×12 cm＝6 cm，
222
又∵△DBC≌△ECA，
∴BD＝CE，
∴BD＝6 cm
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
如图，在等腰三角形V ABC 中， AB=AC ，D 为 BC 延长线上一点， EC  AC 且 AC=CE ，垂足为
C，连接 BE ，若 BC=6 ，求BCE 的面积．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定和性质．过 A 作 AH  BC 于 H，过 E 作
EF BC 于 F，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
【详解】解：过 A 作 AH  BC 于 H，过 E 作 EF BC 于 F，
AHC  EFC  90 ，
CAH  ACH  90 ，
∵ AB  AC，BC  6 ，
∴ BH  HC  3，
∵ ACE  90，
∴ ACH  ECF  90，
∴ ECF  CAH ， 在 ACH 与△CEF 中，
AHC =CFE

CAH =ECF ，

 AC =CE
∴ ACH≌CEF ，
∴ EF  CH  3 ，
∴ BCE 的面积 1 BC  EF  1  6 3  9 ．
22
如图，在长方形 ABCD 中，AB  CD  6cm ，BC  10cm ，点 P 从点 B 出发，以2cm/ 秒的速度沿 BC
向点 C 运动，当点 P 与点 C 重合时，停止运动．设点 P 的运动时间为 t 秒：
BP  cm ．（用 t 的代数式表示）
如图 1，当 t 为何值时， ABP≌DCP ．
如图 2，当点 P 从点 B 开始运动，同时点 Q 从点 C 向点 D 运动（当点 Q 与点 D 重合时停止运动）．以
vcm/ 秒的速度沿CD 向点 D 运动．当 v 为何值，使得 ABP 与△PQC 全等？若存在，求出 v 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） 2t
（2） t  2.5
（3）存在，当v  2 或 2.4 时，  ABP 与△PQC 全等
【解析】
【分析】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键.
根据路程速度时间，点 P 的速度，表示出 BP 即可；
根据全等三角形对应边相等的性质得 BP  PC ，即 2t  10  2t ，求解即可；
分两种情况讨论，当 BP  CQ ， ABP  PCQ  90 ， AB  PC 时或当 BA  CQ ，
ABP  QCP  90 ， PB  PC 时，  ABP 与△PQC 全等，再根据全等三角形对应边相等的性质， 分别计算求出t 的值，再计算v 的值即可．
【小问 1 详解】
解：点 P 从点 B 出发，以 2cm / 秒的速度沿 BC 向点C 运动，点 P 的运动时间为t 秒，
\ BP = 2tcm ，
故答案为： 2t ；
【小问 2 详解】
解：∵ ABP≌DCP ，
∴ BP  PC ，
\ 2t = 10 - 2t ，
∴ 4t = 10 ， 解得t  2.5 ，
当t  2.5 时， ABP≌DCP ；
【小问 3 详解】
解：情况一：当 BP  CQ ， ABP  PCQ  90 ， AB  PC 时， ABP≌PCQ SAS
 AB=6 ，
 PC  6 ，
 BP  10  6  4 ，
\ 2t = 4 ，
t  2 ，
Q CQ = BP = 4 ，
∴ 2v  4 ，
\ v = 2 ；
情况二：当 BA  CQ ， ABP  QCP  90 ， PB  PC 时， ABP≌QCP SAS
 PB  PC ，
 BP  PC  1 BC  5 ，
2
\ 2t = 5 ，
t  2.5 ，
Q CQ = BP = 6 ，
\ 2.5v = 6 ，
\ v = 2.4 ，
综上所述，当v  2 或 2.4 时，  ABP 与△PQC 全等．
在平面直角坐标系中，已知 A(0, a) （其中 a  0 ）， B(b, 0) 且a  b2  0 ．
三角形 AOB 的形状是．
如图 1．若 A(0, 4) ，C 为OB 中点，连接 AC ，过点 A 向右作 AD  AC ，且 AD  AC ，连CD ．过点 M (1, 0) 作直线 MP 垂直于 x 轴，交CD 于点 N，求证： CN  ND ．
如图 2，E 在 AB 的延长线上，连接 EO ，以 EO 为斜边向上构等腰直角三角形 EFO ，连接 AF ，若
AB  8，EB  6 ，求△AEF 的面积．
【答案】（1）等腰直角三角形
（2）证明见解析（3） S△AFE  21
【解析】
【分析】（1）证明OA  OB ，可得结论；
过点 D 作 DH  y 轴，垂足为 H，HD 交 MP 于点 S．则AHD  90 ．证明△CAO≌△ADH (AAS) ，推出 HD  AO  4 ，再证明△NSD≌△NMC (AAS) ，可得结论；
如图 2 中，过点 O 作OT  EO 交 EF 的延长线于点 T，连接 AT ．证明△BOE≌△AOT (SAS) ， 推出EBO  TAO，EB  AT  6 ，可得结论．
【小问 1 详解】
解：∵ (a  b)2  0 ，
∴ a  b ，
∵ A0, a，B b, 0，
∴ OA  OB ，
∴V AOB 是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形；
【小问 2 详解】
证明：过点 D 作 DH  y 轴，垂足为 H， HD 交 MP 于点 S．则AHD  90 ．
∵ A(0, 4) ，
∴ AO  BO  4 ．
∵C 为OB 中点，
∴ CO  2 ．
∵ AD  AC ，
∴ CAD  90 ，
∴ CAO  DAH  90， 又∵ CAO  ACO  90，
∴ ACO  DAH ，
在△CAO 和 ADH 中，
AOC  DHA

ACO  DAH ，

AC  DA
∴△CAO≌△ADH (AAS) ，
∴ HD  AO  4 ，
∵ M (1, 0) ， MP 垂直于 x 轴， DH  y 轴，
∴ MO  HS  1，NMC  NSD  90 ，
∴ DS  HD  HS  4 1  3 ， CM  CO  OM  2 1  3 ．
∴ DS  CM ，
在△NSD 和NMC 中，
SND  MNC

NMC  NSD ，

DS  CM
∴△NSD≌△NMC (AAS) ，
∴ CN  ND ；
【小问 3 详解】
解：如图 2 中，过点 O 作OT  EO 交 EF 的延长线于点 T，连接 AT ．
∵△EFO 为等腰直角三角形，
∴ FEO  45，EFO  90 ，
∵ OT  EO ，
∴ EOT  90，
∴ FTO  45，
∴△ETO 为等腰直角三角形，
∴ EO  OT ，
∵ BOE  BOT  90 ， AOT  BOT  90 ，
∴ BOE  AOT ． 在△BOE 和AOT 中，
BO  AO

BOE  AOT ，

EO  TO
∴△BOE≌△AOT (SAS) ，
∴ EBO  TAO，EB  AT  6 ，
∵ ABO  45 ，
∴ EBO  180  ABO  135，
∴ TAO  135，
∴ TAE  TAO  BAO  135  45  90 ，
∵ AB  8，EB  6 ，
∴ AE  8  6  14 ，
∴ S△ ATE
 1 AT  AE  1  614  42 ，
22
∵△ETO 为等腰直角三角形， OF  EF ，
∴ EF  FT  1 ET ，
2
∴ S△ AFE
 1 S
2
△ATE
 21 ．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题 的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
如图， 在平面直角坐标系中， 点 A(a, 0) 在 x 轴正半轴上， 点 B 在 y 轴正半轴上， OA  OB ，
OAB  OBA  45 ，P(0, t) 是 y 轴负半轴上一动点，E 是 x 轴负半轴上一动点，且OE  OP ，CP  AP ，
BC  AB ．
求证： PC  PA ；
若a  4 ，试用含 t 的式子表示点 C 的坐标；
如图 2，作 BD  y 轴交 AC 的延长线于 D，求证： PD  BD  a  t ．
【答案】（1）证明见解析
（2） (t, 4  t)
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）过点C 作CH OB 于 H ，通过证明 AEP≌PBC ，可得 PC  PA ；
由AAS 可证 APO≌PCH ，可得OP  CH  t ， AO  PH  4 ，即可求解；
过点A 作 AE  AP 交 DB 的延长线于点 E，作 AF  AO 交 DB 的延长线于点 F ，由ASA 可证
 AOB≌ AFB ，可得 AO  AF  BO  BF ，由 ASA 可证 AEF≌ APO ，可得 AP  AE ，EF  OP ，由SAS 可证APD≌AED ，可得 PD  DE ，由线段的和差关系即可求证．
【小问 1 详解】
证明：过点C 作CH OB 于 H ，
CP  AP ， BC  AB ，
APC  ABC  90 ，
OAB  OBA  45 ，
OE  OP ， EOP  90 ，
EPO  OEP  45，
CBH  OEP ，
CPB  BPA  90 ， BPA  PAO  90 ，
CPB  PAO ，
OA  OB ，
OA  OE  OB  OP ，
 AE  BP ，
 AEP≌PBC ASA ，
 PC  PA ；
【小问 2 详解】解： a  4 ，
点 A(4, 0) ，
 AO  4 ，
PAO  CPH ， CHP  POA  90， PC  PA ，
 APO≌PCH AAS ，
OP  CH  t ， AO  PH  4 ，
OH  4  t ，
点C 的坐标为(t, 4  t) ；
【小问 3 详解】
证明：如图 2，过点A 作 AE  AP 交 DB 的延长线于点 E，作 AF  AO 交 DB 的延长线于点 F ，
AI
 BD  y 轴， AOB  90 ， AF  AO ，
F  AOB  90  OAF ，
 OAB  OBA  45 ，
FBA  45  FAB ，
 AF  BF ，
OAB  OBA  45  FBA  FAB ， AB  AB ，
 AOB≌AFB ASA ，
 AO  AF  BO  BF ，
EAP  FAO  90 ，
PAO  EAF ，
又AOP  F  90 ， AO  AF ，
 AEF≌APO ASA ，
 AP  AE ， EF  OP ，
 PC  PA ， APC  90 ，
PAC  45 ，
PAC  CAE  45 ， 又 AD  AD ， AE  AP ，
 APD≌AED SAS ，
 PD  DE ，
 PD  BD  DE  BD  BE  BF  EF  BO  OP ，
 PD  BD  a  (t)  a  t ．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，坐标与图形 等等，恰当添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．