广东省广州市番禺区富丽中学2024--2025学年八年级数学期中考试卷（原卷版+解析版）

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一、认真选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 式子在实数范围内有意义，则取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：由题意得，x-5≥0，
解得，x≥5，
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2. 下列各组线段中，能组成直角三角形的一组是（ ）
A. 1，2，3B. 2，3，4C. 3，5，6D. 1，，2
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条线段是否能构成直角三角形，本题得以解决．
【详解】解：1+2=3，故选项A中三条线段不能组成三角形；
22+32≠42，故选项B中三条线段不能组成直角三角形；
32+52≠62，故选项C中三条线段不能组成直角三角形；
12+（）2=22，故选项D中三条线段能组成直角三角形；
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
3. 如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A. 12B. 13C. 144D. 194
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理．结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差．
【详解】解：字母B所代表的正方形的面积，
故选：C．
4. 如图，数轴上点A对应的数为2，于A，且，以O为圆心，以为半径画圆，交数轴于点C，则长为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】先在直角中，根据勾股定理求出，再根据同圆的半径相等即可求解．本题考查了实数与数轴，勾股定理，关键是求出长．
【详解】解：在直角中，．
．
．
故选：A．
5. 下列二次根式化简后与能合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的性质化简，然后根据能合并的二次根式为同类二次根式作出判断．
【详解】解：A、，不能与合并，故本选项错误；
B、，不能与合并，故本选项错误；
C、，不能与合并，故本选项错误；
D、，能与合并，故本选项正确；
故选：．
【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
6. 下列运算中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：根据二次根式的运算法则分别判断即可：
A、和不是同类根式，不可合并，故此选项运算错误，符合题意；
B、，故此选项运算正确，不合题意；
C、，故此选项运算故此选项运算正确，不合题意；
D、，故此选项运算正确，不合题意．
故选A．
考点：二次根式的运算.
7. 下列各命题都成立，而它们的逆命题不能成立的是（ ）．
A. 两直线平行，同位角相等B. 全等三角形的对应角相等
C. 四边相等的四边形是菱形D. 直角三角形中， 斜边的平方等于两直角边的平方和
【答案】B
【解析】
【详解】A、逆命题是同位角相等，两直线平行，成立；
B、逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，不成立；
C、逆命题是菱形是四边相等的四边形，成立；
D、逆命题是一条边的平方等于另外两条边的平方和的三角形是直角三角形，成立．
故选B．
8. 如图，在□ABCD中，对角线相交于点， ，若要使□ABCD为矩形，则的长应该为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形的性质得到OA=OC，OB=OD，AC=BD，求出OA=OB即可．
【详解】解：∵平行四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB=2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质等知识点的理解和掌握，能根据矩形的性质推出OA=OB是解此题的关键．
9. 如图，在△中，、是△的中线，与相交于点，点、分别是、的中点，连接.若＝6cm，＝8cm，则四边形DEFG的周长是（ ）
A. 14cmB. 18 cm
C. 24cmD. 28cm
【答案】A
【解析】
【详解】∵点F、G分别是BO、CO的中点，BC = 8cm
∴FG=BC=4 cm
∵BD、CE是△ABC的中线
∴DE=BC=4 cm
∵点F、G、E、D分别是BO、CO、AB、AC的中点，AO = 6cm
∴EF=AO=3 cm，DG=AO=3 cm
∴四边形DEFG的周长=EF+FG+DG+DE=14cm
故选：A
【点睛】考点：1、三角形的中位线；2、四边形的周长
10. 如图，将等边沿射线向右平移到的位置，连接、，则下列结论：①；②、互相平分；③四边形是菱形；④.其中正确的是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了图形平移的性质、等边三角形的性质、平行四边形和菱形的判定及性质，熟练掌握这些知识并灵活运用是解题的关键．根据平移性质得到相关线段和角的关系，再结合等边三角形性质，逐一分析每个结论．
【详解】解：∵ 是等边三角形， 由 平移得到，
∴，， ．
∵，，
∴四边形 是平行四边形，
∴，故①正确．
∵四边形 是平行四边形，
∴、 互相平分，故②正确．
∵，
∴四边形 是菱形，故③正确．
∵ 是等边三角形，
∴，
又∵四边形 是平行四边形，，
∴四边形 是菱形，，
∴，
∴ ，故④正确．
综上，①②③④都正确，
故选：D ．
二、耐心填一填（每小题3分，满分18分）
11. 在平行四边形中，若，则_______．
【答案】50
【解析】
【分析】由平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，即可得出∠C的度数．
【详解】解：在平行四边形ABCD中，∠A=50°，
则∠C=∠A=50°．
故答案为：50．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
12. 如图，在中，，点D是的中点，，，则______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，先根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半即可得到答案．
【详解】解：∵在中，∠，，，
∴由勾股定理得，
∵点D是的中点，
∴，
故答案为：5．
13. 如图，已知四边形，对角线和相交于，已知，则添加一个条件_____可得出四边形是平行四边形．
【答案】或或或（添加一个即可）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质即可求解，掌握平行四边形的判定的方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴添加，则有四边形是平行四边形；
∵，
∴添加，则有四边形是平行四边形；
∵，
∴，
∵，
∴添加，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
∵，
∴，
∵，
∴添加，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
故答案为：或或或（添加一个即可）．
14. 如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积等于______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，先由勾股定理得出，再由勾股定理逆定理得出，再根据计算即可得出答案．
【详解】解：，，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15. 如图，直线经过正方形的顶点，分别过正方形的顶点、作于点，于点，若，，则的长为______________．
【答案】14
【解析】
【分析】利用等角余角相等得到∠ABF=∠DAE，再根据“AAS”可判断△ABF≌△DAE，所以AF=DE=8，BF=AE，接着利用勾股定理计算出在BF=6，然后计算AE+AF即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAF+∠DAE=90°，
∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，
∴∠AFB=∠AFD=90°，
∵∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠DAE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE，
∴AF=DE=8，BF=AE，
在Rt△ABF中，BF==6，
∴AE=6，
∴EF=AE+AF=6+8=14．
故答案为14．
【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了全等三角形的判定与性质．
16. 学校要在广场上布置一个矩形花坛，计划用红花摆成两条对角线.如果一条对角线用了24盆花，还需要从花房运来______盆花；如果一条对角线用了35盆花，还需要从花房运来______盆花；如果一条对角线用了盆花，还需要从花房运来______盆花．
【答案】 ①. ②. ③.
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的对角线性质在实际生活中的应用，分类讨论的数学思想．根据矩形的对角线相等且互相平分可知当一条对角线有偶数盆花时，另一条对角线要有相同盆数；当一条对角线有奇数盆花时，另一条对角线的盆数要少一盆．
【详解】解：因为矩形的对角线相等且互相平分，所以当一条对角线有24盆花时，另一条对角线要有相同盆数即24盆；
如果一条对角线用了35盆花，因为两对角线的交点处有一盆，所以还需要从花房运来34盆花．
如果一条对角线用了盆花，还需要从花房运来盆花．
故答案为：，，．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数混合运算，二次根式的加减混合运算，二次根式的性质化简，运用平方差公式进行计算，准确计算是解答本题的关键．
（1）先利用二次根式性质进行化简，再合并同类项即可；
（2）利用平方差公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
．
18. 已知，求下列各式的值：
（1）； （2）．
【答案】（1）12；（2）．
【解析】
【分析】先求出 ， ，
（1）然后利用完全平方公式进行因式分解，即可求解；
（2）然后利用平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：∵，
∴ ， ，
∴（1）；
（2）．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，二次根式的加减运算和乘法运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
19. 如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知，求线段EF的长．
【答案】EF=5
【解析】
【分析】根据长方形的性质和折叠的性质，得到AF＝AD＝BC＝10cm，再根据勾股定理，求出BF的长度，进而求出CF的长度，设EF＝DE＝x，则CE＝8－x，根据勾股定理建立方程即可得出答案．
【详解】解：根据题意，AF＝AD＝BC＝10cm，
∵，
∴在Rt△ABF中，由勾股定理得，
∴FC＝4，
设EF＝DE＝x，则CE＝8－x，
在Rt△ECF中，∠C＝90°，
∴，
∴，解得
∴EF＝5．
【点睛】本题考查了长方形的折叠问题，勾股定理等知识点，运用勾股定理建立方程是本题的关键．
20. 如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）求四边形的面积与周长；
（2）是直角吗？请说明理由．
【答案】（1）四边形的面积为，四边形的周长为
（2）是直角，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键：
（1）勾股定理求出各边长，求出周长即可，分割法求出面积即可；
（2）连接，勾股定理逆定理进行判断即可．
【小问1详解】
解：由图可知：四边形的面积；
由勾股定理，得：，
，
∴四边形的周长为：；
【小问2详解】
是直角，理由如下：
连接，由勾股定理，得：，
由（1）知：，，
∴；
∴是直角．
21. 如图，的对角线，交于点，是等边三角形，，求的面积．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理的应用；先根据平行四边形的性质得到，，再根据等边三角形的性质得到，然后判断是矩形，再根据勾股定理求出长，利用举行的面积计算解答即可．
【详解】解：∵是平行四边形，
∴，，
又∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形，
∴，
∴，
∴的面积为．
22. 如图，四边形中，，，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求的长和四边形的面积；
（3）点到线段的距离是______．（此空不要求解题过程）
【答案】（1）证明见解析；
（2），．
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，利用条件求得的长，求得其对角线互相平分是解题的关键．
（1）在中，可求得，结合条件“对角线相互平分的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形；
（2）由平行四边形的性质可求得，利用平行四边形的面积公式可求得答案．
（3）根据勾股定理求得的长，设点到线段的距离是，根据等面积法，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，且，
∴四边形为平行四边形；
【小问2详解】
解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，且，
∴．
【小问3详解】
设点到线段的距离是，
在中，
∵
∴
故答案为：．
23. 平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF＝AE，连接BF，AF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE＝2，DE＝4，求矩形BFDE的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）8 ．
【解析】
【分析】（1）根据有一个角是90度的平行四边形是矩形即可判定．
（2）首先证明AD＝DF，求出AD即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴DF∥BE，
∵CF＝AE，
∴DF＝BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE矩形．
（2）∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AFD，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF，
在Rt△ADE中，∵AE＝2，DE＝4，
∴AD＝＝＝2，
∴DF＝2，
∴矩形BFDE的面积＝DF×DE＝2×4＝8．
【点睛】此题主要考查矩形的判定以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.
24. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，点F在上，且，连接交于点G，连接．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求菱形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质和判定，勾股定理，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形对角线互相垂直且平分．
（1）由平行四边形的性质和角平分线得出，证出，由得出，即可得出结论．
（2）根据菱形的性质得到，利用勾股定理求出，根据菱形的面积公式求解即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形为菱形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积．
25. 已知：正方形，点是对角线所在直线上的动点，点在边所在的直线上，且随着点的运动而运动，总成立．
（1）如图1，当点在对角线上时，请你猜想与有怎样的数量关系，并证明；
（2）如图2，当点运动到的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图2，当点运动到的反向延长线上时，请你利用图3画出满足条件的图形，并判断此时与有怎样的关系，并说明理由．
【答案】（1），证明见解析
（2）（1）中猜想的结论成立，证明见解析
（3）图形见解析；结论：①，②．理由见解析
【解析】
【分析】（1）证明，可得，即可解答；
（2）证明，可得，即可解答；
（3）根据题意补全图形，设交于J．证明，可得，再结合，可得，从而得到，即可解答．
【小问1详解】
解：，证明如下：
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：（1）中猜想的结论成立，证明如下：
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：如图所示：结论：①，②．理由：
设交于J．
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．