江苏省苏锡常镇四市2026届高三下学期3月教学情况调研（一） 数学试卷（含解析）

这是一份江苏省苏锡常镇四市2026届高三下学期3月教学情况调研（一） 数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知复数，则（ ）
A．0B．1C．D．
4．的二项展开式的第6项系数是（ ）
A．B．C．D．
5．若椭圆的长轴长是短轴长的倍，右焦点是抛物线的焦点，则（ ）
A．B．C．2D．
6．已知是函数的图象上的任意一点，过分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，则（ ）
A．B．C．0D．
7．已知的内角的对边分别为，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．3
8．已知函数的定义域为为的导函数，，．若，则（ ）
A．2026B．1013C．1D．-1
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．是偶函数
B．的最小正周期为
C．在区间上单调递增
D．的图象关于点对称
10．甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球．现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球．记从甲袋子里取出红球的个数为，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知异面直线，四点不共面，是线段的中点，，则（ ）
A．当时，
B．当时，直线所成角为
C．点到直线的距离为
D．三棱锥的体积的最大值为3
三、填空题
12．已知等比数列，则___________．
13．求值：___________．
14．已知圆是上的两个动点，点．若四边形是矩形，则的取值范围为______．
四、解答题
15．已知数列．
(1)若是等差数列，求的通项公式；
(2)设，证明：数列是等比数列.
16．某兴趣小组研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们到气象局和医院抄录了1~7月份每月5日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这7组数据中选取2组，用剩下的5组数据求经验回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
(1)求选取的2组数据是不相邻的两个月的概率；
(2)若该小组选取的是1月与6月的两组数据，请根据剩下5个月份的数据：
①求出关于的经验回归方程；
②若由经验回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的经验回归方程是理想的，问：该小组所得经验回归方程是否理想？说明理由．
附：
17．把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角．
(1)证明：平面；
(2)若在同一个球面上，求该球的半径；
(3)求平面与平面所成角的余弦值．
18．已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的零点个数；
(3)当时，证明：．
19．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为分别为左、右焦点，为右顶点，为左支上的两个动点（不包括顶点）．
(1)求的离心率；
(2)是否存在常数，使得总成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
(3)若为定值，直线经过，求的最小值．
参考答案
1．B
【详解】由，
则.
2．A
【详解】由可得，解得或，
由于是或的真子集，故“”是“”的充分不必要条件.
3．D
【详解】由，
则.
4．C
【详解】的二项展开式的第6项为，
所以第6项系数是.
5．A
【详解】椭圆的长轴长是短轴长的倍，
所以，即，所以，
抛物线的焦点为，该焦点为椭圆的右焦点，
所以，所以，即.
故选：A
6．B
【详解】设，，由，
即，解得，
所以，
则，
所以．
7．B
【详解】因为，由正弦定理得：，
又，则，所以，
即,
所以，
由，则，
因为为边长，所以，所以，
所以角为钝角，，所以角为锐角即，此时，
所以由，
所以，
即，
因为，所以，
所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最大值为.
8．D
【详解】因为且，所以，
因为，所以关于直线对称，
则原函数关于点对称，所以
所以，
令，则，即，
所以，
所以的周期为，
又，即，所以的周期也为，
由得，
由得，所以，
由得，所以，
又，所以，
所以，
所以，
又，
所以.
9．BCD
【详解】函数可化为，据此分析各选项：
A：取，则：，
，
由于，因此不是偶函数，A选项错误；
B：正弦型函数的最小正周期为，B选项正确；
C：当时，令，，
由于在上单调递增，
且在上单调递增，故C选项正确；
D：令，解得，
当时，，即的一个对称中心为，故D选项正确.
10．BC
【详解】设从乙袋子中取出2个红球为事件A，则，
从乙袋子中取出2个白球为事件B，则，
从乙袋子中取出1个红球和1个白球为事件C，则，
由题意，X的可能取值为0和1，
则
，故A错误，B正确；
所以，故C正确，D错误.
11．ABC
【详解】过B点作，根据题意，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，
设，易知，，
若，则，由，
此时，所以；
对于A，易知，故A正确；
对于B，，
所以直线所成角为，故B正确；
对于C，易知，
则点到直线的距离
，故C正确；
对于D，，
当且仅当时取得等号，故D错误.
12．2
【详解】等比数列的首项，设公比为，
当时，，由，解得，
当时，由不成立，
所以，，
由，
又，
将代入上式得：
解得：或（舍去），
所以.
13．
【详解】
.
14．
【详解】由四边形为矩形，知对角线与互相平分且相等，
设的中点为，则也是的中点，且，
故问题转化为求的取值范围.
设，由可得，
又由垂径定理得：，即，
即，
整理得，即的轨迹是以为圆心、为半径的圆，
，而的取值范围可由的轨迹求得：
，其中，
所以的范围为：
所以，
故的取值范围为.

15．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意.
因为是等差数列，所以公差.
所以.
满足，符合题设条件，
所以的通项公式为.
（2）因为，
所以，
由及可知，则，所以，
所以是等比数列.
16．(1)
(2)①；②是理想的，理由见解析
【详解】（1）记事件为“选取的2组数据是不相邻的两个月”，
则
（2）①由题意，，.
则，
即，
所以关于的经验回归方程为.
②当时，；
当时，.
所以该小组所得经验回归方程是理想的.
17．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）二面角为直二面角，即平面平面，
又因为平面，平面平面，
所以平面．
又因为平面，所以．
由题意平面，
所以平面．
（2）取中点中点，连接，
则，
因为平面，平面，所以，所以，
在中，为中点，所以.
以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系，
则．
设该球的球心坐标为，则
解得.
所以该球的半径为.
（3）法一：取中点，在中，过作，垂足为，连接，
平面平面平面，
平面平面，所以平面．
而平面，故，
又因为，平面，故平面，
而平面，所以，
则为平面与平面的所成角.
直角三角形中，，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
法二：平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则即
取，得平面的一个法向量为.
所以平面与平面所成角的余弦值为.
18．(1)；
(2)当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2；
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，．
所以曲线在处的切线方程为，即．
曲线在处的切线方程为.
（2）因为，令，得，即.
令，所以的零点个数等价于与的图象交点的个数.
又因为，当时，；当时，.
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
且，有极大值也是最大值，如图：
由图可知，当时，函数与的图象无交点；
当时，函数与的图象有1个交点；
当时，函数与的图象有2个交点.
综上，时，的零点个数为0；时，的零点个数为1；
时，的零点个数为2.
（3）①当时，，
令，
因为，所以，而，即，，
所以在区间上单调递增，所以，即，
所以在区间上单调递增．所以.
②当时，令，所以单调递增，
所以，即.
又因为，
令，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，的极小值为．
若，即，则，所以．
若，即，则在区间上单调递减，
所以．
所以，即．
综上可得，.
19．(1)2
(2)存在常数，理由见解析
(3)
【详解】（1）由题意，所以，
所以的离心率.
（2）①当时，，，
此时，有.
②当时，可得的斜率都存在，设，
则，
因为，
即，其中为锐角，
即，，
所以，即.
所以存在常数，使得总成立.
（3）由对称性，设直线的方程为，代入，
得，即，
所以，
令，则，
令，则，
所以单调递增，所以的最小值为，
所以，当且仅当“”时，取等号.
由（2）可知，
所以.
所以
，
当且仅当“且”时，取等号．
所以的最小值为.
日期
1月5日
2月5日
3月5日
4月5日
5月5日
6月5日
7月5日
昼夜温差
10
11
13
12
8
7
6
感冒人数
23
25
29
26
16
13
9
1
3
2
4
8
5