江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研(一)数学试题（解析版）

这是一份江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研(一)数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，得，∴，
又，
∴
故选：A．
2. 两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，，则在上的投影向量的长度为（ ）
A. 10B. C. D. 2
【答案】D
【解析】设与的夹角为，
则，
所以在上的投影向量为，
所以在上的投影向量的长度为，
故选:D.
3. “绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B为“两位游客选择的景点不同”，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题可得，,
所以.
故选：D.
4. 已知正四面体的棱长为1，点O为底面的中心，球О与该正四面体的其余三个面都有且只有一个公共点，且公共点非该正四面体的顶点，则球O的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为正四面体的棱长为1，则正四面体的高为，
由题可知球O与该正四面体的其余三个面都相切，设球O的半径为，
则，
所以，
所以.
故选：B
5. 已知是定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当时，，
因为，所以恒成立，
所以在单调递增，
又因为是定义在R上的偶函数，所以在单调递减，
所以，
所以由可得，解得，
故选:D.
6. 在中，，的角平分线交于点D，的面积是面积的3倍，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，
即，在中，作边上高，垂足为，
则，
故选:A.
7. 已知椭圆的右焦点为，点P，Q在直线上，，O为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意，设，，则，
又，
两式做差可得即，
所以.
故选；B
8. 已知数列的前n项和为，，若对任意正整数n，，，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因，
当时，，解得，
当时，，则，
即，又，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，则，又，
所以为首项为2，公差为1的等差数列，
则，则，
所以，又，
则，又，
所以，
当n为奇数时，，而，则，解得；
当n为偶数时，，而，则；
综上所述，实数的取值范围为.
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分.部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 某校1000名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.分数不低于X即为优秀，已知优秀学生有80人，则（ ）
A.
B.
C. 70分以下的人数约为6人
D. 本次考试的平均分约为93.6
【答案】AD
【解析】对于A，，A正确；
对于B，因为第六组有40人，第五组有160人，
所以，B错误；
对于C，70分以下的人数为人，C错误；
对于D，平均成绩，D正确，
故选:AD.
10. 已知正数a，b满足，则（ ）
A. 的最小值为B. 的最小值为
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】AC
【解析】对于A，，
当且仅当时成立，A正确；
对于B，，即，可得，
所以，当且仅当时成立，B错误；
对于C，，当且仅当时成立，C正确；
对于D，由，
当且仅当，即，等号成立，
所以，此时，不能同时取等号，所以D错误.
故选：AC.
11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A. 将函数的图象向左平移个单位长度，总能得到的图象
B. 若，则当时，的取值范围为
C. 若在区间上恰有3个极大值点，则
D. 若在区间上单调递减，则
【答案】BC
【解析】由题可得
对于A，向左平移个单位长度为，故不一定能得到的图象，A错误；
对于B，，，则，，所以，B正确；
对C，由可得，
由在区间上恰有3个极大值点可得，C正确；
对于D，，则，
因为单调递减，
所以，，且即，
解得，，且，
当时，，当时，，D错误.
故选：BC.
12. 正方体的棱长为3，E，F分别是棱，上的动点，满足，则（ ）
A. 与垂直
B. 与一定是异面直线
C. 存在点E，F，使得三棱锥的体积为
D. 当E，F分别是，的中点时，平面截正方体所得截面的周长为
【答案】ACD
【解析】如图建立空间直角坐标系，设，
则，
A：由题可得，所以,
所以，即，故A正确；
B：当E，F为中点时，，所以，B，D，F，E四点共面，此时与不是异面直线，故B错误；
C：由，可得，
则，由于，故C正确；
D：直线与分别交于，连接分别交，于点M，N，
则五边形为平面截正方体所得的截面，
因为E，F分别是，的中点，
所以易得，故可得，
因为，所以，
可得，同理可得，所以五边形的周长为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题.每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.
13. 的展开式中的系数为________.
【答案】
【解析】因为的展开式中的项为，
所以的展开式中的系数为，
故答案为：.
14. 在中，已知，，与交于点O.若，则________.
【答案】
【解析】因为，，
所以，，又，
所以，，又与交于点O，
所以，
所以，即，
故答案为：.
15. 已知圆，过点的直线l交圆C于A，B两点，点P在圆C上，若，，则________
【答案】
【解析】易知圆心，半径，取中点D，则，
因为，
所以，
所以，则，
又，
所以即，
故.
故答案为:.
16. 已知函数的两个零点为，，函数的两个零点为，，则________
【答案】2
【解析】因为函数的两个零点为，，
则，即，
又，
则，即，
所以.
故答案为：2.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知等比数列的各项均为正数，且，.
（1）求的通项公式；
（2）数列满足，求的前n项和.
解：（1）设数列的公比为，则，，解得，
所以，即的通项公式为；
（2）方法一：由题可知，
则，
，
所以，
.
方法二：，
所以
18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
（1）若，求的值；
（2）若，，求的面积.
解：（1）若，则，
因为，，
所以，
所以，
解得或，因为，
所以；
（2）若，由，可得，
整理可得，即，
因为，所以，，所以，
所以是以C为顶角的等腰三角形，，
所以的面积为.
19. 在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，，是的中点.

（1）求证：平面；
（2）点在线段上（异于点，），与平面所成角为，求的值.
（1）证明：因为侧面为菱形，，，
所以为边长为的等边三角形，
作交于点，则点为的中点，
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
平面，可得，
又，，平面，可得平面，
因为平面，所以，因为侧面为菱形，所以，
，平面，所以平面；
（2）解：由（1）知，平面，，取做的中点，连接，
则，所以平面，
以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，，
设，可得，所以，
设平面的一个法向量为，则
，即，令，可得，
可得，
解得舍去，或，所以.
20. 某小区有居民2000人，想通过验血的方法筛查出乙肝病毒携带者，为此需对小区全体居民进行血液化验，假设携带病毒的居民占a%，若逐个化验需化验2000次.为减轻化验工作量，随机按n人一组进行分组，将各组n个人的血液混合在一起化验，若混合血样呈阴性，则这n个人的血样全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对每个人再分别单独化验一次.假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.
（1）若，，试估算该小区化验的总次数；
（2）若，每人单独化验一次花费10元，n个人混合化验一次花费元.求每位居民化验费用的数学期望.
（注：当时，）
解：（1）设每位居民需化验的次数为X，
若混合血样为阴性，则，若混合血样呈阳性，则，
所以，，
，
所以2000名居民总化验次数约次；
（2）设每组n人总费用为Y元，若混合血样呈阴性则，若混合血样为阳性，则，
所以，，
所以，
每位居民的化验费用的数学期望为：.
21. 已知直线与抛物线交于两点，，与抛物线交于两点，，其中A，C在第一象限，B，D在第四象限.
（1）若直线过点，且，求直线的方程；
（2）①证明：；
②设，的面积分别为，，（O为坐标原点），若，求.
解：（1）设，，，，其中，，
设，联立，整理得，
则，，
，
解得，则.
（2）设，①联立，整理得，
则，，
联立，整理得，则，，
则，即证.
②，
则，
，
其中，，解得，
则，，，则.
22. 已知定义在上的两个函数，.
（1）求函数的最小值；
（2）设直线与曲线，分别交于A，B两点，求的最小值.
解：（1）因为，，
所以，，则，令，解得，
由，可得，由，可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为；
（2）由，可得，
作出函数与的大致图象，则直线与两函数图象有交点，
设，
则题设等价于恒成立，求实数k的最大值，且，
所以，
由，可得，且，
由，可得，由，可得，
所以函数上单调递增，在上单调递减，
则，
设，则，函数在上单调递增，
又，则，
解得，则，即，
所以.