江苏省苏锡常镇四市2026届高三下学期教学情况调研（一）数学试卷（Word版附解析）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效．
3．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由 ，
则 .
2. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数的性质化简不等式，即可根据真子集的关系判断.
【详解】由 可得 ，解得 或 ，
由于 是 或 的真子集，故“ ”是“ ”的充分不必要条件.
3. 已知复数 ，则 （ ）
A. 0 B. 1 C. D.
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【答案】D
【解析】
详解】由 ，
则 .
4. 的二项展开式的第 6 项系数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由二项式展开式求解指定项的系数即可.
【详解】 的二项展开式的第 6 项为 ，
所以第 6 项系数是 .
5. 若椭圆 的长轴长是短轴长的 倍，右焦点是抛物线 的焦点，则
（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】由椭圆与抛物线的基本概念及性质求解即可.
【详解】椭圆 的长轴长是短轴长的 倍，
所以 ，即 ，所以 ，
抛物线 的焦点为 ，该焦点为椭圆的右焦点，
所以 ，所以 ，即 .
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故选：A
6. 已知 是函数 的图象上的任意一点，过 分别向直线 和 轴作垂线，垂足分别为
，则 （ ）
A. B. C. 0 D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 ， ，利用向量垂直的坐标表示求出点 的坐标，即可求出 的
值．
【详解】设 ， ，由 ，
即 ，解得 ，
所以 ，
则 ，
所以 ．
7. 已知 的内角 的对边分别为 ， ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理、两角和的正弦公式、两角和的正切公式以及基本不等式求解即可.
【详解】因为 ，由正弦定理得： ，
又 ，则 ，所以 ，
即 ,
所以 ，
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由 ，则 ，
因为 为边长，所以 ，所以 ，
所以角 为钝角， ，所以角 为锐角即 ，此时 ，
所以由 ，
所以 ，
即 ，
因 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以 的最大值为 .
8. 已 知 函 数 的 定 义 域 为 为 的 导 函 数 ， ，
．若 ，则 （ ）
A. 2026 B. 1013 C. 1 D. -1
【答案】D
【解析】
【详解】因为 且 ，所以 ，
因为 ，所以 关于直线 对称，
则原函数 关于点 对称，所以
所以 ，
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令 ，则 ，即 ，
所以 ，
所以 的周期为 ，
又 ，即 ，所以 的周期也为 ，
由 得 ，
由 得 ，所以 ，
由 得 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 .
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知函数 ，则（ ）
A. 是偶函数
B. 的最小正周期为
C. 在区间 上单调递增
D. 的图象关于点 对称
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【答案】BCD
【解析】
【分析】利用奇偶性的定义，举反例可判断 A；利用周期公式可判断 B；利用复合函数的单调性法则可判断
C；利用三角函数对称中心的求法可判断 D.
【详解】函数 可化为 ，据此分析各选项：
A：取 ，则： ，
，
由于 ，因此 不是偶函数，A 选项错误；
B：正弦型函数的最小正周期为 ，B 选项正确；
C：当 时，令 ， ，
由于 在 上单调递增，
且 在 上单调递增，故 C 选项正确；
D：令 ，解得 ，
当 时， ，即 的一个对称中心为 ，故 D 选项正确.
10. 甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有 2 个红球，乙袋子里
有 3 个红球和 2 个白球．现从乙袋子里随机取出 2 个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出 1 个球．记
从甲袋子里取出红球的个数为 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】分别求出从乙袋子中取出 2 个红球、2 个白球和 1 个红球和 1 个白球的概率，分析 X 的可能取值，
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求出各个概率，可判断 A、B 的正误，代入期望公式，可判断 C、D 的正误.
【详解】设从乙袋子中取出 2 个红球为事件 A，则 ，
从乙袋子中取出 2 个白球为事件 B，则 ，
从乙袋子中取出 1 个红球和 1 个白球为事件 C，则 ，
由题意，X 的可能取值为 0 和 1，
则
，故 A 错误，B 正确；
所以 ，故 C 正确，D 错误.
11. 已知异面直线 ，四点 不共面， 是
线段 的中点， ，则（ ）
A. 当 时，
B. 当 时，直线 所成角为
C. 点 到直线 的距离为
D. 三棱锥 的体积的最大值为 3
【答案】ABC
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量一一判定选项即可.
【详解】过 B 点作 ，根据题意，以 B 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，
设 ，易知 ， ，
若 ，则 ，由 ，
此时 ，所以 ；
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对于 A，易知 ，故 A 正确；
对于 B， ，
所以直线 所成角为 ，故 B 正确；
对于 C，易知 ，
则点 到直线 的距离
，故 C 正确；
对于 D， ，
当且仅当 时取得等号，故 D 错误.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知等比数列 ，则 ___________．
【答案】2
【解析】
【分析】利用等比数列通项公式以及等比数列性质求解即可.
【详解】等比数列 的首项 ，设公比为 ，
当 时， ，由 ，解得 ，
当 时，由 不成立，
所以 ， ，
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由 ，
又 ，
将 代入上式得：
解得： 或 （舍去），
所以 .
13. 求值： ___________．
【答案】
【解析】
【详解】
.
14. 已知圆 是 上的两个动点，点 ．若四边形 是矩形，
则 的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【详解】由四边形 为矩形，知对角线 与 互相平分且相等，
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设 中点为 ，则 也是 的中点，且 ，
故问题转化为求 的取值范围.
设 ，由 可得 ，
又由垂径定理得： ，即 ，
即 ，
整理得 ，即 的轨迹是以 为圆心、 为半径的圆，
，而 的取值范围可由 的轨迹求得：
，其中 ，
所以 的范围为：
所以 ，
故 的取值范围为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列 ．
（1）若 是等差数列，求 的通项公式；
（2）设 ，证明：数列 是等比数列.
【答案】（1）
（2）证明见解析
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【解析】
【分析】（1）利用等差数列的定义及通项公式求法计算即可；
（2）根据递推关系及等比数列的定义证明即可.
【小问 1 详解】
由题意 .
因为 是等差数列，所以公差 .
所以 .
满足 ，符合题设条件，
所以 的通项公式为 .
小问 2 详解】
因为 ，
所以 ，
由 及 可知 ，则 ，所以 ，
所以 是等比数列.
16. 某兴趣小组研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们到气象局和医院抄录了 1~7 月份每月
5 日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
日期 1 月 5 日 2 月 5 日 3 月 5 日 4 月 5 日
昼夜温差 10 11 13 12
感冒人数 23 25 29 26
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这 7 组数据中选取 2 组，用剩下的 5 组数据求经验回归方程，再用被
选取的 2 组数据进行检验．
（1）求选取的 2 组数据是不相邻的两个月的概率；
（2）若该小组选取的是 1 月与 6 月的两组数据，请根据剩下 5 个月份的数据：
①求出 关于 的经验回归方程 ；
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②若由经验回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人，则认为得到的经验回归方
程是理想的，问：该小组所得经验回归方程是否理想？说明理由．
附：
【答案】（1）
（2）① ；②是理想的，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用组合数和对立事件概率公式直接求解即可；
（2）①利用最小二乘法直接求解即可；
②分别将 和 代入回归直线方程，由此可得预估值，与检验数据之差的绝对值均不超过 2 可确定
结论.
【小问 1 详解】
记事件 为“选取的 2 组数据是不相邻的两个月”，
则
【小问 2 详解】
①由题意， ， .
1 3 2
4 8 5
则 ，
即 ，
所以 关于 的经验回归方程为 .
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②当 时， ；
当 时， .
所以该小组所得经验回归方程是理想的.
17. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中 ， ．将
沿 翻折至 ，使得二面角 为直二面角．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 在同一个球面上，求该球的半径；
（3）求平面 与平面 所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的性质可得 平面 ，进而根据线线垂直证明 平面 ．
（2）建立空间直角坐标系，根据两点距离公式列方程，可求解球心的坐标，即可求解，
（3）根据面面垂直的性质，结合二面角的定义可得 为所求的角，即可根据三角形的边角关系求解，
或者求解平面法向量，根据法向量的夹角求解.
【小问 1 详解】
二面角 为直二面角，即平面 平面 ，
又因为 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ．
又因为 平面 ，所以 ．
由题意 平面 ，
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所以 平面 ．
【小问 2 详解】
取 中点 中点 ，连接 ，
则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，所以 ，
在 中， 为 中点，所以 .
以 为正交基底建立如图所示空间直角坐标系 ，
则 ．
设该球的球心坐标为 ，则
解得 .
所以该球的半径为 .
【小问 3 详解】
法一：取 中点 ，在 中，过 作 ，垂足为 ，连接 ，
平面 平面 平面 ，
平面 平面 ，所以 平面 ．
而 平面 ，故 ，
又因为 ， 平面 ，故 平面 ，
而 平面 ，所以 ，
则 为平面 与平面 的所成角.
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直角三角形 中， ，
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 .
法二：平面 的一个法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，则 即
取 ，得平面 的一个法向量为 .
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 .
18. 已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（2）讨论 的零点个数；
（3）当 时，证明： ．
【答案】（1） ；
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（2）当 时， 的零点个数为 0；当 时， 的零点个数为 1；当 时， 的
零点个数为 2；
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义可得切线方程；
（2）先进行参数分离，再转化为 与 图象交点的个数可得；
（3）分两种情况讨论：当 时，用导数可判断 的单调性可得；当 时，先证 ，进
而再用导数证明 ，从而可证明不等式.
【小问 1 详解】
当 时， ．
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 ．
曲线 在 处的切线方程为 .
【小问 2 详解】
因为 ，令 ，得 ，即 .
令 ，所以 的零点个数等价于 与 的图象交点的个数.
又因为 ，当 时， ；当 时， .
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
且 ，有极大值也是最大值 ，如图：
由图可知，当 时，函数 与 的图象无交点；
当 时，函数 与 的图象有 1 个交点；
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当 时，函数 与 的图象有 2 个交点.
综上， 时， 的零点个数为 0； 时， 的零点个数为 1；
时， 的零点个数为 2.
【小问 3 详解】
①当 时， ，
令 ，
因为 ，所以 ，而 ，即 ， ，
所以 在区间 上单调递增，所以 ，即 ，
所以 在区间 上单调递增．所以 .
②当 时，令 ，所以 单调递增，
所以 ，即 .
又因为 ，
令 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
当 时， 的极小值为 ．
若 ，即 ，则 ，所以 ．
若 ，即 ，则 在区间 上单调递减，
所以 ．
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所以 ，即 ．
综上可得， .
19. 已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 分别为左、右焦点， 为
右顶点， 为 左支上的两个动点（不包括顶点）．
（1）求 的离心率；
（2）是否存在常数 ，使得 总成立？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由；
（3）若 为定值，直线 经过 ，求 的最小值．
【答案】（1）2 （2）存在常数 ，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据渐近线的倾斜角，可得其斜率，即可得 a，b 的关系，求出 a 与 c 的关系，代入公式，即
可得答案.
（2）当 时，根据条件，求出 ，即可得关系；当 时，分别求出
的表达式，化简整理，分析即可得关系.
（3）设出直线 的方程，与双曲线方程联立，根据韦达定理，可得 表达式，进而可得
表达式，利用导数求出 的最小值，结合（2）及基本不等式，化简整理，即可得答案.
小问 1 详解】
由题意 ，所以 ，
所以 的离心率 .
【小问 2 详解】
①当 时， ， ，
此时 ，有 .
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②当 时，可得 的斜率都存在，设 ，
则 ，
因为 ，
即 ，其中 为锐角，
即 ， ，
所以 ，即 .
所以存在常数 ，使得 总成立.
【小问 3 详解】
由对称性，设直线 的方程为 ，代入 ，
得 ，即 ，
所以 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 单调递增，所以 的最小值为 ，
所以 ，当且仅当“ ”时，取等号.
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由（2）可知 ，
所以 .
所以
，
当且仅当“ 且 ”时，取等号．
所以 的最小值为 .
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