安徽省六安第一中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份安徽省六安第一中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷（Word版附解析），共7页。试卷主要包含了定义在 上的函数，已知抛物线，已知数列，函数，已知函数， 本小题满分 17 分等内容，欢迎下载使用。
6．定义在 上的函数
的导函数为
，若
恒成立，且
，则
数学试卷
的解集为（
）
满分：150 分
时间：120 分钟
A．
B．
C．
D．
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
7．已知抛物线
的焦点为 F，过 F 的直线与该抛物线交于
两点，记直线
（ 为坐
只有一个选项是符合题目要求的．
标原点）的斜率分别为
A．144 B．148
，若
，则
（
）
1
．抛物线 x2=－4y 的准线方程为（
）
A．x＝1
B．x＝2
C．y＝1
D．y＝2
C．152
D．156
，…，
8
．如图，在平面直角坐标系 xOy 上，有一系列点
均位于抛物线
x 轴相切，且
，
，每一个点
2
．设双曲线
程为（
A．
的焦距为 ，若
成等差数列，则双曲线的渐近线方
的图象上.点F为抛物线的焦点，以点 为圆心的
都与
）
与
外切.若
，且 的前 n 项之和
，
，
B．
C．
，则
C．
D．
为
，则以下说法错误的是（
）
3．已知数列
满足
，且
（
）
A．
B．
是等差数列
A．
B．
D．2
4．函数
的极小值点是（
）
C．
D．
A．
B．
C．
D．
5．现有某种细胞 1 千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由 1 个细胞分裂成 2 个
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多
细胞，按这种规律，1 小时后，细胞总数约为
，2 小时后，细胞
项符合题目要求，全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分．
总数约为
，问当细胞总数超过
）
个时，所需时间至少为
9
．定义在
A．函数
B．函数
上的函数
的导函数
上单调递减
上单调递减
的图象如图所示，则下列结论正确的是（
）
（
）（参考数据：
在
在
A．36 小时 B．38 小时
C．40 小时
D．42 小时
1

C．函数
在
在
处取得极小值
处取得极大值
已知底面
为线段 PB、
是正方形，
的中点．
平面
，
，
，点 、 分别
D．函数
（
1）求直线 EF 与平面
夹角的正弦值；
1
0．在圆锥曲线（包括椭圆、双曲线和抛物线）中，曲线上任意一点到焦点的连线段称为焦半径.则下
列选项正确的为（
）
（2）求点 F 到面 PAC 的距离．
A．椭圆以焦半径为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆相内切.
B．双曲线以焦半径为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆相外切.
C．抛物线
以焦半径为直径的圆与 轴相切.
D．抛物线
以焦半径为直径的圆与准线
相切.
11．已知数列
满足
，且
，则下列说法正确的是（
）
16． 本小题满分 15 分
A．
B．数列
是等差数列
设数列
的首项 为常数
，且
．
C．数列
是等差数列
D．数列
的前 100 项的和为
（1）证明：
是等比数列；
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
（2）若
中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项：若不存在，请说明理
12．已知函数
满足
，则
．
由．
1
3． 如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽
杯深 ，称为抛物线酒杯． 在杯内放入一个小的玻璃球，要使球
触及酒杯底部，则玻璃球的半径的最大值为
，
．
14．如果数列
对任意的
，都有
，则称数列
为“快速增长数列”．若
17． 本小题满分 15 分
数列
为“快速增长数列”，且任意项
，
，
，
，则正整数 的最大
值为
．
已知函数
．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
5．（本小题满分 13 分）
（1）若
，求
在
处的切线方程；
1
2

（2）讨论
的单调性．
（3）若点 D、E 在 y 轴上，
的内切圆的方程为
，求
面积的最小值．
六安一中 2025 年秋学期高二年级期末考试
数学试卷参考答案
18． 本小题满分 17 分
已知数列
是公差大于 0 的等差数列，数列
的前 项和为
.
题号
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
C
A
C
C
C
C
B
D
AD
AC
ABD
（1）求数列
的通项公式；
1
．C
．A【详解】
（2）求数列{
}的前 n 项和 Tn；
2
成等差数列，
双曲线的渐近线方程为：
，又
，
，即
，
，
．故选：A．
（3）设
，求数列
的前 22 项和
．
3
4
．C【解析】由题意：
，
，
，
，…
依次类推：
.所以
求导得，
.故选：C
．C【详解】对函数
.
令
，则
，则
或
.
若
或
；若
，则
上单调递增，在
.故选：C.
【答案】C【解析】记第 n 小时后细胞的个数为 ，则
.
19． 本小题满分 17 分
所以函数
在
，
上单调递减.
所以函数的极小值点是
在平面直角坐标系
中，一动圆经过点
且与直线
相切，设该动圆圆心的轨
迹为曲线 K，P 是曲线 K 上一点．
5
．
，
（
1）求曲线 K 的方程；
2）过点 A 且斜率为 k 的直线 l 与曲线 K 交于 B、C 两点，若
Q 点．求 的值；
，
故
是首项为
，公比为 的等比数列，
，得
（
且直线 OP 与直线
交于
故
，令
，
3

可知数列
是以首项为
，公差为 2 的等差数列，故 B 正确；
则
，故
，
又 为整数，故当细胞总数超过
小时，所需时间至少为 40 小时.故选：C
，C 正
则
，即
，则
确求和得到
，
,D 错误；故选：D.
6
7
．C【详解】构造函数
， 则
，由
，得
，故
9
1
．【详解】由函数
的导函数
的图象可知，当
时，
时，
，所以
上单调递减，
在
上单调递减.计算
.将
变形为
在
上单调递增，故 B 错误；当
，所以
在
，即
.因
单调递减，故
，
故 A 正确；所以函数
在
处取得极大值，
不是极小值点，故 C 错误，D 正确．故选：
解得
.故选：C
AD．
0．【详解】对于 A，设椭圆的方程为
，
分别是
.【B【详解】由题意，设
，
，则
，
椭圆的左右焦点，作出以线段
为直径的圆和以长轴为直径的圆
中点为 ，连结 ，∴
，
如图所示．设
是
即
，
，可得
，
，
的中位线，可得
，即两圆的圆心距为
，所以圆心距
，
，|根
据椭圆的定义，可得
因为
，可得
，解得
，
直线 AB 的斜率
，
即两圆的圆心距等于它们半径之差，因此，以
为直径的圆与以长半轴为直径的圆
相
内切．故 A 正确；
又由抛物线
，可得焦点
，所以直线
的方程为
，
对于 B，设以实轴为直径的圆的圆心为 ，其半径
，线段
为直
径的圆的圆心为 ，其半径为
所以
所以两圆内切．
，当 在双曲线左支上时，
，所以
联立方程组
，整理得
，所以
，
，
，
由抛物线的定义和焦点弦的性质，可得
.故选：B.
的半径为
当 P 在双曲线右支上时，
，所以
，所以
8
．【详解】由题意可知：焦点
，设点
，则
，
，
所以两圆外切．故 B 错误；
则
，解得
，故 A 正确；
对于 CD，抛物线
圆的圆心是
的焦点 的坐标为
，设点 点坐标为
，则以
为直径的
为直径
因为
与
外切，则
，
，根据抛物线的定义
与
到直线 是等距离的，所以
整理可得
，且
，可得
，即
，
的圆的半径为
，因此以
为直径的圆与 轴相切，故 C 正确，D 错误.故选：AC.
11．【答案】ABD【详解】因为
，所以 ，故 A
，
，
4

的最大值为 63．故答案为：63．
正确；当
（
）时，
，
，两式相减得，
，所以
）时，
的奇数项是以 为首项，4 为公差的等差数列，故 B 正确；当
（
1
5．【详解】
．
当
（
）时，
，
，两式相减
时，
（1）根据
平面
,
，
平面
，所以
得，
，所以
的偶数项是以 5 为首项， 为公差的等差数列，所以当
．
综上，
．因为
，所以
，所以
不是等差
又底面
是正方形，则
所在直线对应
,可以建立如图所示以 A 为原点，
轴的空间直角坐标系，则
数列，故 C 错误；
，
所以
，
所以
，
所以
，
数列
的前 100 项的和为
，故 D 正确．故选：ABD．
，
设平面
的一个法向量为
，即
，则有
，
1
1
2．【答案】
【详解】由函数
，可得
，令
．故答案为： ．
所以
所以
，令
，设直线 EF 与平面
夹角为
，
，
可得
，即
，解得
；
（7 分）
3．【答案】
/
【详解】由题可知，设抛物线方程为
解得 ，所以抛物线方程为
，因为
，所以
（
2）由（1）知
，显然
是平面
的一个法向量，
，
，在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触
，依题意，需满足抛物线上的
及酒杯底部，设玻璃球截面所在圆的方程为
点到圆心的距离大于等于半径恒成立，即
则点 F 到面 PAC 的距离为
．
（13 分）
，则有
恒成立，可得
．故答案为： ．
1
6.【详解】
，
解得
，所以玻璃球的半径的取值范围为
（
1）证明：
=
=
=
，
1
4．【答案】63【详解】设
，则
，则
，根据“快速增长数列”定义
是严格递增的正整数数列．为使 最大，需让数列增长
，即差
，可得
最慢，则满足条件的差分数列
序列应为
因为
，所以
，所以数列
是首项为
，所以
，公比为 的等比数列；（6 分）
分数列
为公差为 1，首项为 2 的等差数列，所以当
（
2）因为
，所以数列
的首项是
，
（9 分）
，
所以
，则
，当
时，
则
，若
中存在连续三项成等差数列，则必有
，
，当
时，
∴正整数 k
5

即
，整理为：
，
即
，所以
.
（11 分）
解得：
，所以
成等差数列；
（15 分）
1
7．【详解】
（
3）由题意可知：
，
，
（
1）若
，则
在
，
，所以
，
，
当
时，
，
，则
，当
，
，
故
处的切线方程为
，即
．
（6 分）
，（
则
，（12 分）
当
，
，则
，
（
2）因为
，且
8 分）
所以
当
时，
时
，
时
，所以，
在
上单调递减，
，所以，
在
在
上单调递增；
当
时，
时
，
时
，
时
、
上分别单调递增，
在
上单调递减；
当
当
时，
时，
时
恒成立，故
时
在
，
上单调递增；
时
-
,因此
=
.(17 分)
时
，
，所以，
在
、
上单调递增，
在
上单调递减．
1
9．【详解】
综上（略）
8．【解析】
（15 分）
（
1）由题意可知圆心到
的距离等于到直线
的距离，
1
由抛物线的定义可知，曲线 K 的轨迹方程为
(4 分)
（
1）设
的公差为 ，令
，得
，故
，故
，即
即
，
（
2）设直线 l 的方程为
，联立
，
令
，得
，
由于
，则解得
令
，故
，
(5 分)
消 y 得
，
，
（2）
，
∴
，∴
，
设
，∴
,又
，
由
得：
，
∴
6

∵
，∴设直线 OP 的方程为
，联立
，消 y 得
，∴
，∴
，∴
，令
，则
，∴
，∴
，
∴
，故
的值为 ，(10 分)
（3）设
，直线 PD 的方程为
，
又圆心
到 PD 的距离为 1，即
，整理得
，
同理可得
所以
，所以，可知 b，c 是方程
的两根，
，
，依题意
，即
，则
，因为
，
所以
，所以
，
当且仅当
，即
时上式取等号，所以
面积的最小值为 8．(17 分)
7