广西壮族自治区玉林市第一中学2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题含答案

这是一份广西壮族自治区玉林市第一中学2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在数列 an 中, an=1−1an−1n≥2,a1=2 ,则 a2= ( )
A. 12 B. 2
C. −12 D. -1
2. 下面求导正确的是( )
A. ln3′=13 B. csx′=sinx
C. 3x′=x⋅3x−1 D. lg2x′=1xln2
3. 若数列 an 的通项公式为 an=n2+n ,则 1a1+1a2+⋯+1a100= ( )
A. 100101 B. 1101 C. 101100 D. 99100
4. 函数 y=−x4+x2+2 的图像大致为
A.

B.

C.

D.

5. 设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1=3,S6=3S3 ,则 a7= ( )
A. 6 B. 12 C. 18 D. 48
6. 已知函数 fx=12x2−alnx+x 在 [1,+∞) 上单调递增，则实数 a 的取值范围是( )
A. (−∞,1] B. −∞,1 C. −∞,2 D. (−∞,2]
7. 甲乙两位同学从 6 种课外读物中各自选读 2 种, 则这两人选读的课外读物中恰有 1 种相同的选法共有( )
A. 30 种 B. 60 种 C. 120 种 D. 240 种
8. 已知 f′x 是定义域为 R 的函数 fx 的导函数,满足 f′x−fx>0 ,且 f1=2e ,则不等式 fx−2ex>0 的解集为( ).
A. 1e,1
B. 1e,e
C. 1,+∞
D. 1e,+∞
二、多选题 (本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.)
9. 设 Sn 是公比为正数等比数列 an 的前 n 项和,若 a2=12,a3a5=164 ,则 ( )
A. a4=18 B. S3=94
C. an+Sn 为常数 D. Sn−2 为等比数列
10. 下列叙述正确的是( )
A. 甲、乙、丙等 5 人排成一列, 若甲与丙不相邻, 则共有 36 种排法
B. 用数字 0, 1, 2, 3 这四个数可以组成没有重复数字的四位数共有 18 个
C. 4 个人分别从 3 个景点中选择一处游览，有 81 种不同选法
D. 正十二边形的对角线的条数是 54
11. 已知函数 fx=x3−ax+1 ,则 ( )
A. 点 0,1 是曲线 y=fx 的对称中心
B. 当 a>0 时,函数 fx 有两个极值点
C. 当 a≤0 时,函数 fx 在 R 上单调递增
D. 过原点可作曲线 y=fx 的切线有且仅有两条
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，公差为 d ，且 3S5−5S3=30 ，则 d= _____.
13. 某学校开设了 4 门体育类选修课和 4 门艺术类选修课, 学生需从这 8 门课中选修 2 门或 3 门课, 并且每类选修课至少选修 1 门, 则不同的选课方案共有_____种(用数字作答). 14. 已知函数 fx=ax−xlnx−2 有两个零点，则实数 a 的取值范围为_____.
四、解答题 (本大题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或验算 步骤)
15. 从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加数学竞赛.
(1)如果选出的 4 人中男生、女生各 2 人，那么有多少种选法？
(2)如果男生中的小王和女生中的小红至少有 1 人入选，那么有多少种选法？
(3)如果被选出的 4 人是甲、乙、丙、丁，将这 4 人派往 2 个考点，每个考点至少 1 人，那么有多少种派送方式?
16. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 a3=5,S4=16 .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)数列 bn 满足 bn=12an ， Tn 为 bn 的前 n 项和，证明: 12≤Tn12x2+x ；
(2) 设 gx=fx−12x2−ax ，其中 a>1 ；
① 求证: gx 在区间 0,+∞ 上有唯一的极值点；
② 设 x0 为 gx 在区间 0,+∞ 上的零点， x1 为 gx 在区间 0,+∞ 上的极值点，比较 2x1 与 x0 的大小，并说明理由.
1. A
由题设有 a2=1−1a1=1−12=12 .
2. D
根据基本初等函数的求导公式可知, ln3′=0,csx′=−sinx,3x′=3xln3 , lg2x′=1xln2 ,故 ABC 错误, D 正确.
3. A
利用裂项相消求和可得答案.
1an=1nn+1=1n−1n+1 ,
则 1a1+1a2+⋯+1a100=1−12+12−13+⋯+1100−1101=1−1101=100101 .
故选: A.
4. D
根据函数图象的特殊点, 利用函数的导数研究函数的单调性, 由排除法可得结果.
详解: 函数过定点 0,2 ,排除 A,B ,
求得函数的导数 f′x=−4x3+2x=−2x2x2−1 ,
由 f′x>0 得 2x2x2−12 ,从而 gx>g1 ,根据 gx 的单调性可得 x>1 ,
故选: C.
9. ACD
根据等比数列的性质可得公比,进而可得通项公式与 Sn ,再逐个选项判断即可.
设 an 公比为 q,q>0 ,则 a2q⋅a2q3=164 ,解得 q=12 ,故 an=a2qn−2=12n−1 ,
则 a1=1,Sn=1−12n1−12=2−12n−1 .
对 A,a4=123=18 ,故 A 正确;
对 B,S3=2−122=74 ,故 B 错误;
对 C,an+Sn=12n−1+2−12n−1=2 为常数,故 C 正确;
对 D,Sn−2=−12n−1,Sn−2Sn−1−2=12,n≥2 ,故 Sn−2 为等比数列,故 D 正确;
故选: ACD
10. BCD
应用间接法求不同排法数判断 A: 先排千位,再排其它三位判断 B: 应用分步计数原理判断 C; 根据对角线定义及分步计数原理求对角线条数判断 D.
A: 将 5 人作全排列有 A55=120 种,先求甲丙相邻的情况,将甲和丙捆绑,再和其他三人全排列，有 A22 A44=48 ,
若甲与丙不相邻,则共有 120−48=72 种,错;
B: 从 1、2、3 中选一个放在千位有 C31=3 种,再把余下的 3 个数作全排 A33=6 种,共有 3×6=18 种, 对;
C: 由题意,每个人都有 3 种选择,故共有 34=81 种,对;
D: 对于任意一个顶点都有 9 条对角线,但会重复计算一次,故共有 9×122=54 条,对.
故选: BCD
11. ABC
对于 A,fx+f−x=x3−ax+1+−x3+ax+1=2 ,故点 0,1 是曲线 y=fx 的对称中心，故 A 正确；
对于 B ,当 a>0 时, f′x=3x2−a=3x−a3x+a3 ,
令 f′x>0 ,解得 xa3 ; 令 f′x0 ,
∴Tx1>T0 ,即 g2x1=ln2x1+1−2x1x1+1>T0=0 .
∴g2x1>gx0 ,而 2x1>x0>x1,∴2x1>x0 .