广西壮族自治区玉林市2022-2023学年高一上学期1月期末数学试题

这是一份广西壮族自治区玉林市2022-2023学年高一上学期1月期末数学试题，共14页。

1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上.
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答䅁标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知集合，，那么等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】应用集合的并运算求即可.
【详解】由题设.
故选：D
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题.
【详解】命题“ ”的否定为“”，
故选：A.
3. 函数的图象恒过定点，则M为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令对数的真数为，求出所对应的，再代入函数解析式，即可求出函数过定点坐标；
【详解】解：函数，令，解得，此时，所以函数恒过定点；
故选：A
4. 某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：
以下函数中最符合变量与的对应关系的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合表格所给数据以及函数的增长快慢确定正确选项.
【详解】根据表格所给数据可知，函数的增长速度越来越慢，
A选项，函数增长速度不变，不符合题意.
BC选项，当时，函数、增长越来越快，不符合题意.
D选项，当时，函数增长速度越来越慢，符合题意.
故选：D
5. 如果函数在上的图象是连续不断的一条曲线，那么“”是“函数在内有零点”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由零点存在性定理得出“若，则函数在内有零点”举反例即可得出正确答案.
【详解】由零点存在性定理可知，若，则函数在内有零点
而若函数在内有零点，则不一定成立，比如在区间内有零点，但
所以“”是“函数在内有零点”的充分而不必要条件
故选：A
【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判断，属于中档题.
6. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件利用指数、对数函数性质，三角函数诱导公式并借助“媒介”数即可比较判断作答.
【详解】函数在上单调递增，而，则，
，
函数在R上单调递增，而，则，即，
所以
故选：B
7. 函数的部分图象如图所示，则它的解析式是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】 依据函数图象和五点法可以解出各参数.
【详解】根据函数的部分图象知，，
又，解得，所以；
由，得，解得，
所以；又，所以，
所以函数．
故选：C．
8. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2022
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的周期，利用周期和可得答案.
【详解】因为，所以，
所以的周期为4，
函数是定义在上的奇函数，所以，
所以，
.
故选：B.
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分）
9. 若，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据不等式性质依次判断即可.
【详解】，，则，A正确；，故，B正确；
取得到不成立，C错误；，D正确.
故选：ABD.
10. 下列各式中，值为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据三角恒等变换的公式，求解即可.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，原式，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：BC．
11. 已知，是正数，且，下列叙述正确的是（ ）
A. 最大值为1B. 有最大值4
C. 的最大值为2D. 的最小值为9
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意，由基本不等式对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】，是正数，，当且仅当时取等号，此时，故A正确；
，当且仅当时取等号，有最小值4，故B错误；
因为，则，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，，当且仅当时取等号，故D错误．
故选：AC．
12. 已知函数fx=2x−1,x≤1,x−22,x>1,函数有四个不同的零点，，，，且，则（ ）
A. 的取值范围是B. 的取值范围是
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】结合的图象，由图可知，，，由二次函数的对称性，可得，可得答案.
【详解】有四个不同的零点，，，，即方程有四个不同的解．
的图象如图所示，由图可知，，，所以，
即的取值范围是，
由二次函数的对称性，可得．因为，所以，故．
故选：AC.
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知扇形的圆心角为，其弧长是，则该扇形的面积是________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意，先求得扇形半径，然后由面积公式，即可得到结果.
【详解】设扇形的半径为，则，所以，
所以扇形面积为．
故答案为：．
14. 函数，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
首先求出，再将代入对应的解析式即可求解.
【详解】由，所以，
所以，
故答案为：
【点睛】本题考查了求分段函数的函数值，属于基础题.
15. 科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为．2021年3月13日下午江西鷹潭余江区发生里氏3.1级地震，2020年1月1日四川自贡发生里氏4.3级地震，则自贡地震所散发出来的能量是余江地震所散发出来的能量的________倍．
【答案】100
【解析】
【分析】根据题意得到方程组，两式相减后得到答案.
【详解】设里氏3.1级地震所散发出来的能量为，里氏4.3级地震所散发出来的能量为，则①，②，
②-①得：，解得：．
故答案为：100．
16. 所有可能取值的集合为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据，分四个象限求解.
【详解】解：因为，
由已知可得角的终边不在坐标轴上，
当角的终边在第一象限，则原式，
当角的终边在第二象限，则原式，
当角的终边在第三象限，则原式，
当角的终边在第四象限，则原式，
故所有可能取值的集合为，
故答案为：
四、解答题（共6小题，第17题10分，18-22题各12分，共70分）
17. 计算下列各式的值．
（1）；
（2）已知，求．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）根据指数幂与对数的运算公式，准确运算，即可求解；
（2）根据三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，即可求解.
【小问1详解】
解：由.
【小问2详解】
解：因为，
所以
.
18. 已知函数的定义域为A，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出，再求出即可；
（2）分和两种情况，得到关于a的不等式，再求出的取值范围.
【小问1详解】
要使函数有意义，则，
解得，，
当时，，
或，
则或．
【小问2详解】
，
①当时，，即，满足题意；
②当时，，解得，
综上，的取值范围为．
19. 某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元．该商店定制了两种优惠方案；
方案一：买一只茶壶赠送一只茶杯；
方案二：总价打9折．
某顾客欲购买茶壶4只，茶杯若干只（不少于4只），若购买茶杯数为x只，付款总钱数为y元，分别建立两种优惠方案中y与x之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯，两种方案中哪一种更省钱．
【答案】方案一：，；方案二：，，省钱情况见解析.
【解析】
【分析】根据题设列出方案一、二的函数、解析式，根据、的大小关系列不等式研究不同x范围下两方案的省钱情况.
【详解】方案一：且，
方案二：且，
当，解得，此时方案二比方案一省钱；
当，解得，此时方案一、方案二的省钱情况一样；
当，解得，即，此时方案一比方案二省钱；
20. 已知．
（1）若的解集为或，求的值；
（2）若对任意，恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可知，是方程的根，从而可得，求解即可；
（2）由题意可知，而，利用基本不等式求得最小值，从而可求解.
小问1详解】
，若的解集为或，
则，是方程的根，即，
解得：．
【小问2详解】
若对任意，恒成立，即若对任意，，
由已知得，
，，
当且仅当时取等号，
所以，
，
，即的取值范围为.
21. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，向右平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数．求方程在上的所有根之和．
【答案】（1）周期，单调递增区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）利用周期的公式求周期，利用整体代入的方法求单调区间；
（2）利用图象的平移变换得到的解析式，然后解方程求根即可.
【小问1详解】
因为，所以最小正周期，
令，
解得，
故的单调递增区间为．
【小问2详解】
将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，向右平移个单位，
可得函数的图象；
再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，
纵坐标不变，得到函数的图象．
方程，即，在区间上，．
故由方程可得，或，求得，或，
故方程在区间上的所有根之和为．
22. 已知函数为奇函数．
（1）求实数的值；
（2）证明函数在上的单调递增；
（3）若存在使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据函数为奇函数，由求解；
（2）利用函数单调性的定义求解；
（3）根据（2）知在上的单调递增，结合在区间上的值域为，转化为在上有两个不同实根求解.
【小问1详解】
解：函数为奇函数，
，
即，
当时显然不成立，
故，．
【小问2详解】
证明：定义域，
任取，则，
，，，
，
，
，在上的单调递增．
小问3详解】
由（2）知在上的单调递增，
在区间上的值域为，
，且且，
即，是方程的实根，
问题等价于在上有两个不同实根，
令，显然，
则，
即，解得，故的范围．3
9
27
81
2
4