四川省宜宾市第一中学2025-2026学年高二下学期入学考试数学试题（Word版附解析）

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考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的斜率为（ ）
A B. C. D.
2. 过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知两个向量，则的值是（ ）
A. B. C. 1D. 5
4. 已知等差数列的前项和为，则（ ）
A. 36B. 64C. 72D. 88
5. 已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
6. 已知圆.过点的直线与交于两点，当弦的长最短时，直线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
7. 在四面体中，、分别是棱、的中点，是的中点，设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知点、及直线，如果上有且仅有个点，使得是直角三角形，则值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 已知直线，则（ ）
A. 的倾斜角为
B. 在轴上的截距为
C. 原点到的距离为1
D. 与坐标轴围成的三角形的面积为2
10. 已知数列的前项和为，且，则（ ）
A. B.
C. D. 数列为等比数列
11. 在棱长为1正方体中，分别是棱的中点，是线段上一个动点，则（ ）
A. 在线段上存在一点，使得
B. 三棱锥的体积为
C. 与平面所成角的余弦值的最小值为
D. 若平面，则平面与正方体的截面面积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知两个向量，则__________.
13. 已知圆，直线与圆交于两点，则的面积等于____________.
14. 已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与的右支交于两点，与轴交于点的内切圆与边相切于点，若，则与的内切圆的半径之和的最小值等于______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求；
（2）若，记，求值.
16. 已知抛物线的焦点为，点在上.
（1）求焦点坐标及的值；
（2）设的准线与轴的交点为，求过三点的圆的方程.
17. 如图，在正三棱柱中，为的中点，为棱上一个动点.
（1）若，求证：平面；
（2）若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值.
18. 已知椭圆过点，且的离心率为.
（1）求的方程；
（2）设分别是的左顶点，上顶点，与直线平行的直线与交于两点.
①若以线段为直径的圆与直线相切，求在轴上的截距；
②当直线斜率存在时，分别将其记为，证明：为定值.
19. 若各项均为正整数的数列，对任意的，均有成立，则称数列为“下凸正整数数列”.
（1）若数列是“下凸正整数数列”，求出所有的数对；
（2）设数列满足，且，判断数列是否为“下凸正整数数列”，并说明理由；
（3）已知“下凸正整数数列”中，，，，，求的最大值.