2022-2023学年四川省宜宾市第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题 Word版 (1)

2022-2023学年四川省宜宾市第一中学高二上学期期中考试

数学（理）试题

考试时间：120分钟     满分：150分 

第I卷  选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．命题“，”的否定为（   ）

A．， B．，

C．， D．，

2．直线在轴上的截距为（    ）

A． B． C． D．

3．下列结论正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，则

4．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ）

A． B．

C． D．

6．设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

7．直线：和直线：（）的位置关系是（    ）

A．平行 B．垂直

C．相交但不垂直 D．重合

8．如图是一个无盖的正方体盒子展开图，，，，是展开图上的四点，则在正方体盒子中，与平面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

9．已知定点，，是圆：上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹是

A．直线 B．圆

C．椭圆 D．双曲线

10．直线与曲线有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

11．已知直线，与两坐标轴分别交于、两点．当的面积取最小值时（为坐标原点），则的值为（    ）

A． B． C． D．

12．已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点为双曲线右支一点，为的内心，若成立，给出下列结论：

①当轴时，

②离心率

③                        

④点的横坐标为定值

上述结论正确的是（    ）

A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④

第II卷   非选择题（90分）

二、填空题(5分每题，共20分)

13．某学校高一､高二､高三年级的学生人数之比为2∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为54的样本，则应从高三年级抽取___________名学生.

14．过圆的圆心且与直线平行的直线方程为___________.

15．直线与圆相交于两点A，B，点为圆心，且则___________.

16．点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1（线段BC1）上运动，给出下列五个命题，正确的是___________.

①直线AD与直线B1P为异面直线；

②A1P面ACD1；

③三棱锥A-D1PC的体积为定值；

④面PDB1⊥面ACD1.

⑤直线与平面所成角的大小不变；

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答

17．（10分）已知圆C：，直线l：.

(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；

(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|=时，求直线l的方程.

18．（12分）已知圆：，直线：.

(1)证明：不论m为何值时，直线l恒过定点；

(2)求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程.

19．（12分）在如图所示的圆柱中，AB为圆的直径，是的两个三等分点，EA，FC，GB都是圆柱的母线．

（1）求证：平面ADE；

（2）设BC=1，已知直线AF与平面ACB所成的角为30°，求二面角A—FB—C的余弦值．

20．（12分）已知动点P到点（0，1）的距离与到直线y＝2的距离的比值为，动点P的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)直线y＝kx+1与曲线C交于A，B两点，点M（0，2），证明：直线MA，MB的斜率之和为0．

21．（12分）已知过的直线l与圆O：相交于不同两点A，B，且点A，B在x轴下方，点.

(1)求直线l的斜率的取值范围；

(2)证明：；

(3)求三角形ABN面积的最大值.

22．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，若斜率为的直线过椭圆的焦点以及点.点P是椭圆上与左、右顶点不重合的点，且的面积最大值.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点的直线交椭圆于点、，且满足（为坐标原点），求直线的方程.

理科数学参考答案：

1．A  2．B  3．B  4．A  5．D  6．D  7．B  8．A  9．D  10．D  11．C  12．D

13．24     14．   15．1或−5    16．②③④

17（1）由圆：，可得，

其圆心为，半径，

若直线与圆相切，则圆心到直线距离，即，可得：.

（2）由（1）知：圆心到直线的距离，

因为，即，解得：，

所以，整理得：，解得：或，

则直线为或.

18．（1）由得，

所以直线所过定点的坐标满足方程解得 所以直线l恒过定点（3，1）.

（2）根据（1），记直线所过的定点为，当直线l被圆C截得的弦长最小时，

根据题意，，

直线l的方程为，即

19．解：（1）连接，因为C，D是半圆的两个三等分点，

所以，

又，

所以均为等边三角形.所以，

所以四边形是平行四边形，所以，

又因为平面ADE，平面ADE，所以平面ADE.

因为EA，FC都是圆柱的母线，所以EA//FC.

又因为平面ADE，平面ADE，

所以平面ADE. 又平面，

所以平面平面ADE，又平面，所以平面ADE.

（2）连接AC，因为FC是圆柱的母线，所以圆柱的底面，

所以即为直线AF与平面ACB所成的角，即

因为AB为圆的直径，所以，在，

所以，所以在

因为，又因为，所以平面FBC，

又平面FBC，所以.，在内，作于点H，连接AH.

因为平面ACH，所以平面ACH，

又平面ACH，所以，

所以就是二面角的平面角.

在，在，

所以，所以，

所以二面角的余弦值为.

20．（1）设点P的坐标为P（x，y），则，整理可得曲线C的轨迹方程为；

（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），与直线方程联立可得：（k2+2）x2+2kx﹣1＝0，则：，

＝，

从而直线MA，MB的斜率之和为0．

21．(1)由题知，故设直线l的方程为，

，故，，

即，故直线l的斜率k的取值范围为.

(2)设，则，

，故.

(3)设，则由（1）知，，

∴

，

设，，则，

，当且仅当，即，时取等号，

故三角形ABN面积的最大值为.

22．(1)直线，直线过椭圆焦点，所以，该焦点坐标为，则，又的面积最大值，则，所以，，，

故椭圆的方程为③.

(2)①当直线的斜率存在时，设，

代入③整理得，

设、，则，.

所以，.点到直线的距离.

因为，即，

又由，得，

所以，..

而，，即，

解得，此时；.

②当直线的斜率不存在时，，直线交椭圆于点、.

也有，经检验，上述直线均满足，

综上：直线的方程为或.