2024-2025学年上海市闵行区莘松中学七年级（下）期中数学试卷 （含解析）

这是一份2024-2025学年上海市闵行区莘松中学七年级（下）期中数学试卷 （含解析），共38页。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）.
1．已知三角形的三边长分别是3，5，x，则x的取值不可能是（ ）
A．3B．5C．7D．9
2．已知a，b，c是实数，a＜b＜0，那么下列不等式中，不一定成立的是（ ）
A．﹣2a＞﹣2bB．a﹣c＜b﹣cC．1a＞1bD．ac2＜bc2
3．如图，已知△ABC≌△DEF，那么∠D的度数是（ ）
A．45°B．65°C．70°D．115°
4．规定[x]为不大于x的最大整数，如[3.6]＝3，[﹣2.1]＝﹣3，若[x+12]=3且[3﹣2x]＝﹣4，则x的取值范围为（ ）
A．52＜x＜72B．3＜x＜72C．3＜x≤72D．52≤x＜72
5．下列命题中，真命题是（ ）
A．三角形的三条高交于同一点
B．在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补
6．如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD、AD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACF、外角∠EAC．其中不正确的结论有（ ）
A．∠ACB＝2∠ADBB．∠BDC=12∠BAC
C．∠CDB=12∠ABCD．∠ADC+12∠ABC=90°
二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分）
7．“a的3倍与12的差是一个非负数”用不等式表示为 ．
8．已知A＝a﹣1，B＝﹣a+3，若A＞B，则a的取值范围是 ．
9．关于x的不等式组−x+2＞1x−2m≥1有两个整数解，那么m的取值范围是 ．
10．命题“等角的余角相等”的逆命题是 ，这是一个 命题．（填“真”或“假”）
11．某班思政课上举行了普法知识竞赛，共有30道题，规定答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪有1道题没答，竞赛成绩超过90分，那么小聪至多答错了 道题．
12．如图，下列条件中：
①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5；
则一定能判定AB∥CD的条件有 （填写所有正确的序号）．
13．如图，已知△ABC≌△DEF≌△GHI，并将它们摆成如图所示的形式，那么∠1+∠2+∠3的度数等于 ．
14．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，∠2＝85°，那么∠1+∠3＝ 度．
15．已知等腰三角形中，两条边长为3和7，则这个等腰三角形的周长为 ．
16．凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线交于点P，点F为焦点，若∠1＝30°，∠2＝55°，则∠ABP的度数是 ．
17．如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，点E、F分别在BC、DA的延长线上，CE＝BC，AF＝AD，如果△ABC的面积是8，那么△DEF的面积等于 ．
18．如图，已知AB∥CD，点E在CD上，∠BAE＝45°．如果点M、N分别在直线AE、CD上，且∠MNC＝100°，那么∠AMN＝ 度．
三、简答题（本大题共3题，19、20题每题6分，21题8分，共20分）
19．（6分）解不等式：2x+13−5≤x−72−x．
20．（6分）解不等式组：x−3(x−1)≥1①x+23−x−12＜2②，并把它们的解集在数轴上表示出来．
21．（8分）如图，已知△ABC，根据下列要求画出图形并回答问题：
（1）作边AB上的高CD；
（2）过点B画AC的垂线BE，垂足为E；
（3）过点E画CD的平行线EF，交AB于点F；
（4）点E到直线AB的距离是线段 的长度．
四、解答题（本大题共4题，22、23题每题8分，24题10分，25题12分，共38分）
22．（8分）如图，已知在△ABC中，点D在BC上，连接AD，点E、F分别在AD、AB上，连接DF、EF，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：∠DFE＝∠FDB．把以下证明过程补充完整：证明：
∵∠1+∠2＝180°（已知），
又∵∠DEF+∠2＝180°（ ），
∴∠DEF＝∠1（ ）．
∴EF∥CD（ ）．
∴∠DFE＝∠FDB（ ）
（2）如果∠CAD＝∠C，DF平分∠ADB，求证：∠DFE＝∠C．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E、F分别为AB、AC上的点，且∠AFE＝∠B．
试说明EF∥CD的理由．（请注明理由）
24．（10分）随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计37万元；若单次购买A型汽车超过15辆每辆车进价打九五折，单次购买B型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买A型和B型车各20辆时，共需715万元．
（1）求该汽车销售公司单独购进A，B型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？
（2）因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆A型汽车在进价的基础上提高6000元销售，每辆B型汽车在进价的基础上提高5%销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利10.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？
25．（12分）如图，CD∥AB，现将一块含30°的三角板EFG按如图1放置，∠G＝90°，∠EFG＝30°，使点E、F分别在直线CD、AB上，设∠GFB＝α（0°＜α＜90°）．
（1）求∠DEG+∠GFB的度数；
（2）如果∠CEF的角平分线EH交直线AB于点H，如图2．
①当EH∥FG时，求α的度数；
②在①的条件下，如果点P是射线EC上的一点，将三角板EFG绕着点E以每秒1°的速度进行顺时针旋转，同时射线PC绕着点P以每秒4°的速度进行顺时针旋转，射线PC旋转一周后停止转动，同时三角板EFG也停止转动．当旋转多少时间时，CP与△EFG的一边平行？
参考答案
一、选择题（共6题，每题3分，满分18分）
1．已知三角形的三边长分别是3，5，x，则x的取值不可能是（ ）
A．3B．5C．7D．9
解：∵3+5＝8，5﹣3＝2，
∴2＜x＜8．
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
2．已知a，b，c是实数，a＜b＜0，那么下列不等式中，不一定成立的是（ ）
A．﹣2a＞﹣2bB．a﹣c＜b﹣cC．1a＞1bD．ac2＜bc2
解：∵a＜b＜0，
∴﹣2a＞﹣2b，
∴A选项成立；
∵a＜b＜0，
∴a﹣c＜b﹣c，
∴B选项成立；
∵a＜b＜0，
∴1a＞1b，
∴C选项成立；
∵a＜b＜0，
∴只有当c≠0时，ac2＜bc2，
∴D选项不一定成立．
故选：D．
3．如图，已知△ABC≌△DEF，那么∠D的度数是（ ）
A．45°B．65°C．70°D．115°
解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠D＝∠A＝70°，
故选：C．
4．规定[x]为不大于x的最大整数，如[3.6]＝3，[﹣2.1]＝﹣3，若[x+12]=3且[3﹣2x]＝﹣4，则x的取值范围为（ ）
A．52＜x＜72B．3＜x＜72C．3＜x≤72D．52≤x＜72
解：3≤x+12＜4−4≤3−2x＜−3，
解不等式组3≤x+12＜4，得：52≤x＜72，
解不等式组﹣4≤3﹣2x＜﹣3，得：3＜x≤72，
∴x的取值范围是3＜x＜72，
故选：B．
5．下列命题中，真命题是（ ）
A．三角形的三条高交于同一点
B．在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补
解：A、三角形的三条高所在直线交于一点，故此命题是假命题，不符合题意；
B、同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故此命题是真命题，符合题意；
C、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此命题是假命题，不符合题意；
D、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故此命题是假命题，不符合题意；
故选：B．
6．如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD、AD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACF、外角∠EAC．其中不正确的结论有（ ）
A．∠ACB＝2∠ADBB．∠BDC=12∠BAC
C．∠CDB=12∠ABCD．∠ADC+12∠ABC=90°
解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，
∴∠ACB＝2∠ADB，
故A不符合题意；
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACF＝2∠DCF，
∵∠ACF＝∠BAC+∠ABC，∠ABC＝2∠DBC，∠DCF＝∠DBC+∠BDC，
∴2∠DBC+2∠BDC＝∠BAC+2∠DBC，
∴∠BAC＝2∠BDC，
∴∠BDC=12∠BAC，
故B不符合题意；C符合题意；
在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，
∴∠ADC+∠ABD＝90°，
即∠ADC+12∠ABC＝90°，
故D不符合题意；
故选：C．
二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分）
7．“a的3倍与12的差是一个非负数”用不等式表示为 3a﹣12≥0 ．
解：根据题意，得3a﹣12≥0．
故答案为：3a﹣12≥0．
8．已知A＝a﹣1，B＝﹣a+3，若A＞B，则a的取值范围是a＞2 ．
解：∵A＝a﹣1，B＝﹣a+3，A＞B，
∴a﹣1＞﹣a+3，
解得a＞2．
故答案为：a＞2．
9．关于x的不等式组−x+2＞1x−2m≥1有两个整数解，那么m的取值范围是 −32＜m≤−1 ．
解：由不等式组−x+2＞1x−2m≥1可得2m+1≤x＜1，
∵关于x的不等式组−x+2＞1x−2m≥1有两个整数解，
∴这两个整数解为﹣1，0，
∴﹣2＜2m+1≤﹣1，
解得−32＜m≤−1，
即m的取值范围为−32＜m≤−1，
故答案为：−32＜m≤−1．
10．命题“等角的余角相等”的逆命题是 如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等 ，这是一个 真 命题．（填“真”或“假”）
解：“等角的余角相等”的逆命题为“如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等”，这是一个真命题．
故答案为如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等；真．
11．某班思政课上举行了普法知识竞赛，共有30道题，规定答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪有1道题没答，竞赛成绩超过90分，那么小聪至多答错了 7 道题．
解：设小聪答对了x道题，则答错了（30﹣1﹣x）道题，
依题意列一元一次不等式得：5x﹣2（30﹣1﹣x）＞90，
整理得，7x＝148，
解得x＞2117，
∵x为正整数，
∴x的最小值为22．即最少答对22题，
∴30﹣22﹣1＝7，所以小聪至多答错了7道题．
故答案为：7．
12．如图，下列条件中：
①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5；
则一定能判定AB∥CD的条件有 ①③④ （填写所有正确的序号）．
解：①∵∠B+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD；
②∵∠1＝∠2，
∴AD∥CB；
③∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD；
④∵∠B＝∠5，
∴AB∥CD，
故答案为：①③④．
13．如图，已知△ABC≌△DEF≌△GHI，并将它们摆成如图所示的形式，那么∠1+∠2+∠3的度数等于 180° ．
解：∵△ABC≌△DEF≌△GHI，
∴∠HGI＝∠BAC，∠FED＝∠ABC（全等三角形对角相等），
∴∠ACB+∠HGI+∠FED＝∠ABC+∠BAC+∠ABC＝180°，
根据题意可得，∠1＝180°﹣∠ECG﹣∠ACB，∠2＝180°﹣∠EGC﹣∠HGI，∠3＝180°﹣∠FED﹣∠CEG，
∠1+∠2+∠3＝540°﹣（∠ECG+∠EGC+∠CEG）﹣（∠ACB+∠HGI+∠FED），
又∵∠ECG+∠EGC+∠CEG＝180°（三角形内角和定理），
∴∠1+∠2+∠3＝540°﹣180°﹣180°＝180°，
所以∠1+∠2+∠3的度数等于180°，
故答案为：180°．
14．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，∠2＝85°，那么∠1+∠3＝ 95 度．
解：∵五边形ABCDE，AB∥CD，
∴五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，∠B+∠C＝180°，
∵∠2＝85°，
∴∠AED＝180°﹣85°＝95°，
∴∠BAE+∠CDE＝540°﹣180°﹣95°＝265°，
∵∠1+∠BAE+∠3+∠CDE＝180°+180°＝360°，
∴∠1+∠3＝360°﹣265°＝95°；
故答案为：95．
15．已知等腰三角形中，两条边长为3和7，则这个等腰三角形的周长为 17 ．
解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为3，底边长为7时，
∵3+3＝6＜7，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为7，底边长为3时，
∴这个等腰三角形的周长＝7+7+3＝17；
综上所述：这个等腰三角形的周长为17，
故答案为：17．
16．凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线交于点P，点F为焦点，若∠1＝30°，∠2＝55°，则∠ABP的度数是 155° ．
解：∵∠2＝55°，∠POF＝∠1＝30°，
∴∠PFO＝∠2﹣∠POF＝25°，
∵AB∥OF，
∴∠ABP+∠PFO＝180°，
∴∠ABP＝155°．
故答案为：155°．
17．如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，点E、F分别在BC、DA的延长线上，CE＝BC，AF＝AD，如果△ABC的面积是8，那么△DEF的面积等于 24 ．
解：连接AE，如图，
∵AD是△ABC中BC边上的中线，△ABC的面积是8，
∴BD＝CD，S△ABD=S△ACD=12S△ABC=4，
∵CE＝BC，
∴S△ACE＝S△ABC＝8，
∴S△ADE＝S△ACD+S△ACE＝4+8＝12，
∵AF＝AD，
∴S△DEF＝2S△ADE＝2×12＝24．
故答案为：24．
18．如图，已知AB∥CD，点E在CD上，∠BAE＝45°．如果点M、N分别在直线AE、CD上，且∠MNC＝100°，那么∠AMN＝ 125或35 度．
解：如图，过点M作MF∥CD，则MF∥AB∥CD，
当点M在EA延长线上时，
则∠FMN＝∠BAE＝45°，
∵∠FMN+∠MNC＝180°，∠MNC＝100°
∴∠FMN＝80°，
∴∠AMN＝∠FMN﹣∠FME＝35°；
当点M在AE延长线上时，
则∠ANF＝∠BAE＝45°，
∵MF∥CD，∠MNC＝100°，
∴∠FMN＝180°﹣∠MNC＝80°；
∴∠AMN＝∠FMN﹣∠AMF＝35°；
当点M在AE上时，
∵∠MNC＝100°，
∴∠MNE＝80°，
∵∠BAE＝45°
∴∠AMF＝45°，∠FMN＝80°，
∴∠AMN＝∠AMF+∠FMN＝125°；
综上，∠AMN为125°或35°．
故答案为：125或35．
三、简答题（本大题共3题，19、20题每题6分，21题8分，共20分）
19．（6分）解不等式：2x+13−5≤x−72−x．
解：去分母，得2（2x+1）﹣30≤3（x﹣7）﹣6x，
去括号，得4x+2﹣30≤3x﹣21﹣6x，
移项，得4x﹣3x+6x≤﹣21﹣2+30，
合并同类项，得7x≤7，
系数化为1，得x≤1．
20．（6分）解不等式组：x−3(x−1)≥1①x+23−x−12＜2②，并把它们的解集在数轴上表示出来．
解：由①得x﹣3x+3≥1，
解得x≤1，
由②去分母得2（x+2）﹣3（x﹣1）＜12，
去括号得2x+4﹣3x+3＜12，
移项得2x﹣3x＜12﹣4﹣3，
合并同类项得﹣x＜5，
两边同除以﹣1得x＞﹣5，
∴不等式组的解集为﹣5＜x≤1，
在数轴上表示如下：
21．（8分）如图，已知△ABC，根据下列要求画出图形并回答问题：
（1）作边AB上的高CD；
（2）过点B画AC的垂线BE，垂足为E；
（3）过点E画CD的平行线EF，交AB于点F；
（4）点E到直线AB的距离是线段EF 的长度．
解：（1）如图所示，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D，则CD即为所求；
（2）如图所示，BE⊥AC，即BE为所求；
（3）如图所示，即为所求；
（4）∵EF∥CD，CD⊥AB，
∴EF⊥AB，
∴点E到直线AB的距离是线段EF的长度．
故答案为：EF．
四、解答题（本大题共4题，22、23题每题8分，24题10分，25题12分，共38分）
22．（8分）如图，已知在△ABC中，点D在BC上，连接AD，点E、F分别在AD、AB上，连接DF、EF，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：∠DFE＝∠FDB．把以下证明过程补充完整：证明：
∵∠1+∠2＝180°（已知），
又∵∠DEF+∠2＝180°（ 平角的定义 ），
∴∠DEF＝∠1（ 同角的补角相等 ）．
∴EF∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
∴∠DFE＝∠FDB（ 两直线平行，内错角相等 ）
（2）如果∠CAD＝∠C，DF平分∠ADB，求证：∠DFE＝∠C．
【解答】证明：（1）∵∠1+∠2＝180°（已知），
又∵∠DEF+∠2＝180°（平角的定义），
∴∠DEF＝∠1（同角的补角相等）．
∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∴∠DFE＝∠FDB（两直线平行，内错角相等），
故答案为：平角的定义；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；
（2）∵DF平分∠ADB，
∴∠ADF=∠BDF=12∠ADB，
∵∠CAD＝∠C，∠ADB＝∠C+∠CAD，
∴∠CAD=∠C=12∠ADB，
∴∠C＝∠FDB，
∵∠DFE＝∠FDB，
∴∠DFE＝∠C．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E、F分别为AB、AC上的点，且∠AFE＝∠B．
试说明EF∥CD的理由．（请注明理由）
解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∵∠AFE＝∠B，
∴∠AFE＝∠ACD，
∴EF∥CD．
24．（10分）随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计37万元；若单次购买A型汽车超过15辆每辆车进价打九五折，单次购买B型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买A型和B型车各20辆时，共需715万元．
（1）求该汽车销售公司单独购进A，B型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？
（2）因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆A型汽车在进价的基础上提高6000元销售，每辆B型汽车在进价的基础上提高5%销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利10.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？
解：（1）设购进A，B型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元，
根据题意可知：x+y=3720×0.95x+20×(y−0.5)=715，
解得：x=15y=22，
则购进A，B型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元；
（2）设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车（15﹣m）辆，
根据题意可得出：15m+22(15−m)≤2600.6m+22×0.05×(15−m)≥10.5，
解得：10≤m≤12，
∵m为正整数，
∴m＝10或11或12，
当m＝12时，购进B型汽车为3辆，
此时利润为：0.6×12+22×0.05×3＝10.5（万元），
当m＝11时，购进B型汽车为4辆，
此时利润为：0.6×11+22×0.05×4＝11（万元），
当m＝10时，购进B型汽车为5辆，
此时利润为：0.6×10+22×0.05×5＝11.5（万元），
综上：购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 11.5万元．
25．（12分）如图，CD∥AB，现将一块含30°的三角板EFG按如图1放置，∠G＝90°，∠EFG＝30°，使点E、F分别在直线CD、AB上，设∠GFB＝α（0°＜α＜90°）．
（1）求∠DEG+∠GFB的度数；
（2）如果∠CEF的角平分线EH交直线AB于点H，如图2．
①当EH∥FG时，求α的度数；
②在①的条件下，如果点P是射线EC上的一点，将三角板EFG绕着点E以每秒1°的速度进行顺时针旋转，同时射线PC绕着点P以每秒4°的速度进行顺时针旋转，射线PC旋转一周后停止转动，同时三角板EFG也停止转动．当旋转多少时间时，CP与△EFG的一边平行？
解：（1）如图1，过点G，作GM∥AB，
∵CD∥AB，MG∥AB，
∴CD∥MG∥AB，
∴∠MGF＝∠BFG，∠DEG＝∠EGM，
∴∠DEG+∠BFG＝∠EGM+∠MGF＝∠EGF＝90°，
∴∠DEG+∠BFG＝90°；
（2）①如图2，
∵EH∥FG，
∴∠GFB＝∠EHF＝α，
∵HE平分∠CEF，
∴∠CEH＝∠FEH，
又∵CD∥AB，
∴∠CEH＝∠EHF＝α，∠CEF＝∠EFB＝2α，
∴2α＝30°+α，
解得α＝30°；
②如图3，当PC′∥EG时，延长GE至点Q，∵PC′∥GQ，
∴∠CPC′＝∠CEQ，
∵∠CEQ＝∠DEG，
∴∠CPC′＝∠DEG，
由题意知，∠CPC′＝（4t）°，
由①得∠DEG＝90°﹣α+t＝90°﹣30°＝60°+t°，
∴（4t）°＝60°+t°，
解得：t＝20；
如图4，当PC′∥EF时，∴∠CPC′＝∠DEF，
由题意知得∠DEE＝∠DEG+∠FEG＝120°+t°，
∴（4t）°＝120°+t°，
解得t＝40；
如图5，当PC′∥FG时，延长GF交CE于点T，过点G作GV∥CD，
∴∠VGE＝∠DEG＝60°+t°，
∵∠FGE＝90°，
∴∠VGT＝t°﹣30°，
∴∠ETG＝∠VGT＝t°﹣30°，
∵PC′∥FG，
∴∠DPC′＝∠ETG＝t°﹣30°，
∵∠DPC′＝（4t）°﹣180°，
∴（4t）°﹣180°＝t°﹣30°，
解得：t＝50；
如图6，当PC′∥EG（第二次）时，
则∠CPC′＝∠CEG，
∴360°﹣（4t）°＝180°﹣（60°+t°），
解得：t＝80；
综上所述，当旋转20秒或40秒或60秒或80秒时，CP与△EFG的一边平行．