2025-2026学年上海市松江区七年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市松江区七年级（上）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）单项式的系数是
A．B．4C．D．
2．（3分）下列说法正确的是
A．单项式与是同类项
B．的一次项系数是3
C．的系数是，次数是3
D．不是单项式
3．（3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是
A．B．
C．D．
4．（3分）的计算结果是
A．B．C．D．
5．（3分）下列运算结果正确的是
A．B．
C．D．
6．（3分）下列多项式中不可以用完全平方公式进行因式分解的是
A．B．C．D．
7．（3分）已知，，，那么，，，从小到大的顺序是
A．B．C．D．
8．（3分）如图所示的“杨辉三角”告诉了我们展开式的各项系数规律，如：第三行的三个数，2，，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数，3，3，，恰好对应展开式中各项的系数．根据数表中前四行的数字所反映的规律计算：
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共12小题，每题2分，共24分）
9．（2分）将整式按升幂排列 ．
10．（2分）若与是同类项，则的值为 ．
11．（2分）若关于的整式是四次二项式，则 ．
12．（2分）已知，则 ．
13．（2分）已知一个长方形公园的面积为，若长方形公园的长为，则宽为 ．
14．（2分）若，，则 ．
15．（2分）请写出一个整式，使其同时满足以下三个条件：
①只含有字母；
②不含常数项；
③是一个三次二项式．
那么该整式可以是 ．
16．（2分）若为任意整数，则的值总能被 整除．
17．（2分）若关于的整式不含一次项，则该式的常数项为 ．
18．（2分）若关于的整式经过因式分解可以写成某个整式的完全平方，则 ．
19．（2分）若整式含有一个因式，则的值是 ．
20．（2分）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个“智慧优数”，若将“智慧优数”从小到大排列，第2025个智慧优数是 ．
三、解答题（本大题共6题，满分52分）
21．（12分）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
22．（9分）分解因式：
（1）；
（2）；
（3）．
23．（6分）先化简，再求值：，其中，．
24．（8分）某超市在国庆期间对顾客实行优惠政策，规定如下：
（1）若一名顾客在该超市一次性购物的总金额和为元，当低于500但不低于200时，他实际付款 元；当大于或等于500时，他实际付款 元．（用含的式子表示）
（2）若一名顾客一次性购物的金额合计2000元，他实际付款多少元？
25．（8分）有足够多的长方形和正方形卡片，如图：
（1）如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系，写出这个长方形表示的等量关系．
（2）小明想用类似方法解释整式乘法，那么需用1号卡片张2号卡片张，3号卡片张，那么 ．
（3）如果要拼成一个大正方形，她先取1号卡片1张，再取2号卡片16张，则她还需取3号卡片 张．
26．（9分）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．
（1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式 ．
利用上述公式解决问题：
【直接应用】
（2）若，，则 ；
【类比应用】
（3）若，求，求的值．
【知识迁移】
（4）如图②，点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为10，△的面积为3，求的长度．
参考答案
一．选择题（共8小题）
一、单选题（本大题共8小题，每题3分，共24分）
1．（3分）单项式的系数是
A．B．4C．D．
解：根据单项式的系数的定义可知：的系数是．
故选：．
2．（3分）下列说法正确的是
A．单项式与是同类项
B．的一次项系数是3
C．的系数是，次数是3
D．不是单项式
解：与是同类项，所以正确，符合题意；
多项式中，一次项是，
其系数是，不是3，所以错误，不符合题意；
单项式的系数是，次数是所有字母指数之和4，
系数不是，次数不是3，所以错误，不符合题意；
单项式是数字或字母的积，单独的一个数或一个字母也是单项式，是常数，属于单项式，
错误，不符合题意；
故选：．
3．（3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是
A．B．
C．D．
解：根据因式分解的定义逐项分析判断如下：
、因为是单项式，不符合题意；
、因为右边不是整式，不符合题意；
、因为左边是多项式，右边是整式的积，且成立，符合题意；
、因为右边，等式不成立，不符合题意．
故选：．
4．（3分）的计算结果是
A．B．C．D．
解：原式．
故选：．
5．（3分）下列运算结果正确的是
A．B．
C．D．
解：根据幂的乘方、同底数幂相乘（除和合并同类项逐项分析判断如下：
因为，所以不正确，不符合题意；
因为，所以不正确，不符合题意；
因为，所以正确，符合题意；
因为，所以不正确，不符合题意；
故选：．
6．（3分）下列多项式中不可以用完全平方公式进行因式分解的是
A．B．C．D．
解：原式，
符合完全平方公式，可分解为，不符合题意；
原式（a）（b），
符合完全平方公式，可分解为，不符合题意；
，
符合完全平方公式，可分解为，不符合题意；
在多项式中，首项为，末项为，而其两倍积为，不等于中间项，
不符合完全平方公式，不可用完全平方公式分解，符合题意；
故选：．
7．（3分）已知，，，那么，，，从小到大的顺序是
A．B．C．D．
解：，
，
，
，
，
故选：．
8．（3分）如图所示的“杨辉三角”告诉了我们展开式的各项系数规律，如：第三行的三个数，2，，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数，3，3，，恰好对应展开式中各项的系数．根据数表中前四行的数字所反映的规律计算：
A．B．C．D．
解：由题知，
因为，
则令，得，
，
所以．
故选：．
二、填空题（本大题共12小题，每题2分，共24分）
9．（2分）将整式按升幂排列 ．
解：按升幂排列：．
故答案为：．
10．（2分）若与是同类项，则的值为 16 ．
解：由同类项的定义可知，，
解得，，
．
故答案为：16．
11．（2分）若关于的整式是四次二项式，则 4 ．
解：多项式是四次二项式，
，，
．
故答案为：4．
12．（2分）已知，则 0 ．
解：，
当时，原式．
故答案为：0．
13．（2分）已知一个长方形公园的面积为，若长方形公园的长为，则宽为 ．
解：长方形的面积为，
长为，
宽为：．
故答案为：．
14．（2分）若，，则 75 ．
解：由条件可得：
，
故答案为：75．
15．（2分）请写出一个整式，使其同时满足以下三个条件：
①只含有字母；
②不含常数项；
③是一个三次二项式．
那么该整式可以是（答案不唯一） ．
解：由题意得：该整式为：（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
16．（2分）若为任意整数，则的值总能被 3 整除．
解：
，
若为任意整数，的值总能被3整除．
故答案为：3．
17．（2分）若关于的整式不含一次项，则该式的常数项为 ．
解：根据题意可知，，
，
该式的常数项为．
故答案为：．
18．（2分）若关于的整式经过因式分解可以写成某个整式的完全平方，则 ．
解：根据完全平方公式比较可得：，
解得．
故答案为：．
19．（2分）若整式含有一个因式，则的值是 ．
解：设另一个因式为，
则
，
则，，
解得：，，
故答案为：．
20．（2分）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个“智慧优数”，若将“智慧优数”从小到大排列，第2025个智慧优数是 8104 ．
解：由条件可知，
，
即智慧优数为，，
所以第2025个智慧优数为．
故答案为：8104．
三、解答题（本大题共6题，满分52分）
21．（12分）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
解：（1）
；
（2）
；
（3）
．
22．（9分）分解因式：
（1）；
（2）；
（3）．
解：（1）
；
（2）
；
（3）
．
23．（6分）先化简，再求值：，其中，．
解：原式
，
当，时，原式
．
24．（8分）某超市在国庆期间对顾客实行优惠政策，规定如下：
（1）若一名顾客在该超市一次性购物的总金额和为元，当低于500但不低于200时，他实际付款 元；当大于或等于500时，他实际付款 元．（用含的式子表示）
（2）若一名顾客一次性购物的金额合计2000元，他实际付款多少元？
解：（1）当低于500但不低于200时，按照九折优惠实际付款为元；
当大于或等于500时，其中金额500元部分按九折优惠，超过500元部分按八折优惠，
实际付款为：元，
故答案为：；；
（2），
当时，由（1）得：（元，
他实际付款1650元．
25．（8分）有足够多的长方形和正方形卡片，如图：
（1）如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系，写出这个长方形表示的等量关系．
（2）小明想用类似方法解释整式乘法，那么需用1号卡片张2号卡片张，3号卡片张，那么 12 ．
（3）如果要拼成一个大正方形，她先取1号卡片1张，再取2号卡片16张，则她还需取3号卡片 张．
解：（1）如图所示：
由条件可知大长方形的面积，
拼成的大长方形面积为，
大长方形的代数意义为，
（2）1号正方形的面积为，2号正方形的面积为，3号长方形的面积为，
故根据的结论可知，，，，
所以，，
故答案为：12；
（3），
需要3号卡片8张．
故答案为：8．
26．（9分）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．
（1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式 ．
利用上述公式解决问题：
【直接应用】
（2）若，，则 ；
【类比应用】
（3）若，求，求的值．
【知识迁移】
（4）如图②，点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为10，△的面积为3，求的长度．
解：（1）图①从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为，
可以验证公式．
故答案为：．
（2）由条件可知，
当，时，
．
故答案为：32．
（3）由条件可知
；
（4）设正方形的边长为，正方形的边长为，
则，，，
，，
，，
，
，
，
，，
，即．
一次性购物
金额低于200元
金额低于500元但不低于200元
金额大于或等于500元
优惠方法
不予优惠
九折优惠
其中金额500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
A
C
C
C
D
A
A
一次性购物
金额低于200元
金额低于500元但不低于200元
金额大于或等于500元
优惠方法
不予优惠
九折优惠
其中金额500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠