2025-2026学年河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）高二上期01月测试（二）数学答案（空白卷）

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数学答案
12．
13．
14．
15．(1)
(2)
【分析】（1）求出圆心到直线的距离，利用弦长可求答案；
（2）设出动点坐标，找出两动点间的关系，把的坐标代入可求轨迹方程.
【详解】（1）因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
又因为经过点，所以方程为，即.
圆化为标准型为，
圆心到直线的距离为，
因为圆截直线所得弦长为4，所以，解得.
（2）设线段MN中点的坐标为，，则，即
因为点在圆上运动，所以，
所以，
即，所以线段MN中点的轨迹方程为.
16．(1)，
(2)
【分析】（1）根据已知求的方法求通项公式，利用等差数列和等比中项性质求的通项公式；
（2）化简，利用裂项相消法求数列的前项和；
【详解】（1）当时，，解得，
当时，，整理得
又∵，∴，,
∴数列是首项为3、公比为3的等比数列，
，
设等差数列的公差为 ，∵ ，且、、成等比数列
∴. ，即，即
，
解得，∴.
（2）由（1）可知
则
17．(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在为靠近的处或中点，满足要求.
【分析】（1）若是的中点，连接，易得四边形为平行四边形，则，再由线面平行的判定证明结论；
（2）首先注意是长宽高分别为的长方体的一部分，再求出外接球的半径，即可求球体的体积；
（3）构建合适的空间直角坐标系，标出相关点坐标并设且，再求出与平面的方向向量、法向量，应用向量法求线面角得到方程，即可得结论.
【详解】（1）若是的中点，连接，又为中点，则，，
由且，所以，，
所以四边形为平行四边形，则，
平面，平面，则平面；
（2）由平面，即平面，平面，则
由，，则， 且都在平面内，
所以平面，易知是长宽高分别为的长方体的一部分，
所以为长方体的体对角线，且与该长方体的外接球重合，故，
所以外接球半径，则外接球的体积为；
（3）构建如上图示的空间直角坐标系，则且，
所以，
若是平面的一个法向量，则，取，则，
由与平面所成角为，则，
所以，可得，可得或，
综上，存在为靠近的处或中点时，与平面所成角为.
18．(1)1；
(2)①；②.
【分析】（1）直接代入公式计算得解.
（2）①根据给定条件，求出的表达式，再利用错位相减求和即可；②由①的结论及已知建立恒成立的不等式，分段求解即得范围.
【详解】（1）当时，由，，得，
所以.
（2）①，，
则当时，，，
而，
于是，
，令，
则，两式相减得
，因此，
所以.
②由①，知，
对任意的，不等式，
当时，恒成立，因此；
当时，，而当时，，当时，，因此；
当时，，，
数列单调递增，且恒有，因此，
所以实数的取值范围是.
19．(1)；
(2)①证明见解析，；②证明见解析.
【分析】（1）根据焦点坐标和已知点即可得到方程组，解出即可；
（2）①设直线，将其与双曲线方程联立得到一元二次方程，再根据判别式等于0即可得到，则得到方程，再将其与双曲线渐近线方程联立即可得到交点坐标，最后根据三点共线即可得到轨迹方程；
②根据点到直线距离公式和两点距离公式即可得到，设，写出直线的方程，再将其与双曲线渐近线方程联立即可，再利用等比数列求和公式得到，最后再裂项求和即可证明.
【详解】（1）得
双曲线的方程为：.
（2）①当直线斜率存在时，设直线，
联立，得，
，
即，
又，即为，
，
，即，，
当直线斜率不存在时，也满足．
直线方程：，
双曲线的渐近线：，
分别联立得和.
则交点，
，
，
可得三点共线且方程为：，
由于，
，
，
又，
，
共线，共线，
共线，共线且轨迹方程为.
②，直线方程：，
则，
由于，且且，
由，
则，
，
设，直线，
与分别联立得和.
则交点，
.
即，
，
又，
所以，
因为，
.
得证.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
C
D
A
B
D
B
C
BC
BC
CD