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2023-2024学年河南省信阳市第二高级中学高二上学期第二次阶段测试数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年河南省信阳市第二高级中学高二上学期第二次阶段测试数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．点（1，-1）到直线x-y+1=0的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先判断点（1，-1）不在直线上，再利用点到直线的距离求解即可.
【详解】由题意得点（1，-1）不在直线上，
所以点（1，-1）到直线的距离为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查点到直线的距离的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
2．倾斜角为135°的直线经过点和，则（ ）
A．1B．C．D．5
【答案】B
【分析】根据直线斜率的定义和两点求斜率公式，列出方程，解之即可求解.
【详解】由题意知，直线的斜率为，，
所以，解得.
故选：B.
3．已知，是空间直角坐标系中的两点，点关于轴对称的点为，则两点间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据对称性求出点的坐标，然后直接利用空间两点间距离公式求解即可.
【详解】因为，所以点关于轴对称的点，
所以.
故选：D.
4．甲乙两人通过考试的概率分别为和，两人同时参加考试，其中恰有一人通过的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】记甲乙两人通过考试分别为事件，则有，，所求的事件可表示为，由事件的独立性和互斥性，即可求出其中恰有一人通过的概率是多少．
【详解】记甲乙两人通过考试分别为事件，
则有，，
所求的事件可表示为，
．
故选：C．
5．已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．不确定
【答案】B
【分析】由题意先得出，然后根据圆心到直线的距离和半径比较大小即可得解.
【详解】由题意点在圆外，则，
而圆的圆心到直线的距离为，
其中为圆的半径，故直线与圆的位置关系是相交.
故选：B.
6．已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设点为直线上的动点，题意可转化成求与的距离和与的距离之和的最小值，求出关于直线的对称点，故，即可求出答案
【详解】设点为直线上的动点，
由可看作与的距离和与的距离之和，
设点则点为点关于直线的对称点，
故，且，
所以，
当且仅当三点共线时，取等号，
所以的最小值为.
故选：C
7．在正三棱柱中，，，分别是，中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，取的中点，的中点，的中点,可得异面直线与所成角为或其补角，利用余弦定理即可求解.
【详解】设，取的中点，的中点，的中点,
易知,,
所以异面直线与所成角为或其补角.
由正三棱柱的几何特征可得.
,
,
,，
,
在中，由余弦定理可得
,
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选:A.
8．在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：设直线因为，表示点到直线的距离，所以圆心的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，圆的半径最小值为，圆面积的最小值为．故本题的正确选项为A.
【解析】抛物线定义.
二、多选题
9．甲、乙两人进行1次投篮，已知他们命中的概率分别为和，且他们是否命中相互独立，则（ ）
A．恰好有1人命中的概率为B．恰好有1人命中的概率为
C．至少有1人命中的概率为D．至少有1人命中的概率为
【答案】AC
【分析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.
【详解】由题可知，恰有1人命中的概率为，A正确，B不正确．
2人均未命中的概率为，故至少有1人命中的概率为，C正确，D不正确．
故选：AC
10．下列选项正确的是（ ）．
A．过点且和直线平行的直线方程是
B．若直线l的斜率，则直线倾斜角的取值范围是
C．若直线与平行，则与的距离为
D．圆和圆相交
【答案】AD
【分析】对于A：根据题意可设直线方程是，代入点运算求解即可；对于B：根据斜率与倾斜角的关系结合图象分析求解；对于C：根据平行关系求的方程，进而结合两平行线间的距离公式运算求解；对于D：分别求圆心和半径，进而可得，根据两圆位置关系分析判断.
【详解】对于选项A：设与直线平行的直线方程是，
因为直线过点，
则，解得，
所以过点且和直线平行的直线方程是，故A正确；
对于选项B：因为，如图所示，
若，所以，故B错误；
对于选项C：若直线与平行，
则，解得，
可知，即，
所以与的距离为，故C错误；
对于选项D：圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
因为，且，
即，所以圆和圆相交，故D正确；
故选：AD.
11．已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，则下列说法错误的是（ ）
A．圆上恰有一个点到直线的距离为B．切线长的最小值为
C．四边形面积的最小值为2D．直线恒过定点
【答案】ABC
【分析】由圆心到直线的距离为，可判定A正误；由圆的切线长，可判定B 正误；由四边形的面积计算公式，可判定C正误；设，求得以为直径的圆的方程，进而得到两圆的相交弦的方程，联立方程组，可判定D正误．
【详解】对于A：由圆，可得圆心，半径，
圆心到直线的距离为，
，故圆上不是只有一个点到直线的距离为，故A错误；
对于B：由圆的性质，可得切线长，
当最小时，达到最小，又，则，故B错误；
对于C：由四边形的面积为，
因为，所以四边形的面积的最小值为，故C错误；
对于D：设，由题知，在以为直径的圆上，
又由，所以，
即，
因为圆，即．
两圆的方程相减得直线，即，
由，解得，即直线恒过定点，故D正确．
故选：ABC．
12．如图所示，平行六面体，其中，，，，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．直线与直线是相交直线
D．与所成角的余弦值为
【答案】ABD
【分析】对选项A，根据，再平方即可判断A正确，对选项B，根据，即可判断B正确，对选项C，根据图形即可判断C错误，对选项D，根据空间向量夹角公式即可判断D正确.
【详解】对选项A，，
则
，
所以，故A正确；
对选项B，
，所以，故B正确；
对C，直线与直线是异面直线，C错误；
对D，，，
，
，
，
，
所以，，
于是与所成角的余弦值为.
故选：ABD
三、填空题
13．一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，两人试图独立地在半小时内解决它，则问题得到解决的概率是 .
【答案】
【分析】分甲解决乙不能解决，甲不能解决乙能解决，甲能解决乙也能解决三类，利用独立事件的概率求解.
【详解】因为甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，
所以问题得到解决的概率是，
故答案为：
14．经过点，的直线在轴上的截距为 ．
【答案】27
【分析】先求得经过两点和的直线方程，然后求得横截距.
【详解】经过两点和的直线方程为，
即，令，得.
故答案为：27.
15．已知圆C的方程为，一定点为A(1,2)，要使过A点作圆的切线有两条，则a的取值范围是
【答案】
【分析】使过A点作圆的切线有两条，定点在圆外，代入圆方程计算得到答案.
【详解】已知圆C的方程为，
要使过A点作圆的切线有两条
即点A(1,2)在圆C外：恒成立.
综上所述：
故答案为
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，通过切线数量判断位置关系是解题的关键.
四、双空题
16．棱长为的正四面体的各顶点都在球心为的球面上，则过点，，的平面截四面体所得截面图形的面积为 ；球的体积为 ．
【答案】
【分析】将正四面体放到正方体中，则正方体的外接球即为正四面体的外接球，求出正方体的体对角线即为外接球的直径，即可求出外接球的体积，取的中点，连接、，则即为过点，，的平面截四面体所得截面图形，求出截面面积即可.
【详解】如图将棱长为的正四面体放到正方体中，则正方体的外接球即为正四面体的外接球，
正方体外接球的球心在体对角线的交点，体对角线即为外接球的直径，
设正方体的棱长为，由已知可得，解得，
设正方体外接球的半径为，则，即，
所以外接球的体积，
取的中点，连接、，根据正方体的性质可知即为过点，，的平面截四面体所得截面图形，
又，，所以，
即过点，，的平面截四面体所得截面图形的面积为.
故答案为：；
五、解答题
17．已知的三个顶点是，，.
(1)求BC边上的高所在直线的方程；
(2)若直线过点C，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）求出直线BC的斜率，则可求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线的方程；
（2）由题意分直线与AB平行和直线通过AB的中点两种情况求解.
【详解】（1）因为，所以BC边上的高所在直线的斜率为，
所以BC边上的高所在直线的方程，
即.
（2）因为点A, B到直线的距离相等，所以直线与AB平行或通过AB的中点，
①当直线与AB平行，
因为，且过点C，
所以方程为，即.
②当直线通过AB的中点，
所以，
所以的方程为，即.
综上：直线的方程为或.
18．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，已知第一盘棋甲赢的概率为，由于心态不稳，若甲赢了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率依然为，若甲输了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率就变为．已知比赛没有和棋，且前两盘棋都是甲赢．
(1)求第四盘棋甲赢的概率；
(2)求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）第四盘棋甲赢的事件为A，它是第三盘棋甲赢和甲输的两个互斥事件的和，再利用独立事件、互斥事件的概率公式计算作答.
（2）甲恰好赢三盘棋的事件为B，它是甲在第三盘赢、第四盘赢、第五盘赢的互斥事件的和，再利用独立事件、互斥事件的概率公式计算作答.
【详解】（1）记第四盘棋甲赢的事件为A，它是第三盘棋甲赢和甲输的两个互斥事件的和，
，，则，
所以第四盘棋甲赢的概率是.
（2）记甲恰好赢三盘棋的事件为B，它是后三盘棋甲只赢一盘的三个互斥事件的和，
甲只在第三盘赢的事件为、只在第四盘赢的事件为、只在第五盘赢的事件为，
则，，，
则有，
所以比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率为.
19．如图，在正四棱柱中，已知，三棱锥的体积为．
(1)求点到平面的距离；
(2)求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据棱锥的体积公式求出正四梭柱的高，以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；
（2）利用向量法求解即可.
【详解】（1）因为为正四棱柱，，
所以平面，，
所以，
所以，
如图以点为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
设平面的法向量为，
则，可取，
则点到平面的距离；
（2）因为且，
所以为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面，
同理可证平面，
又平面，
所以平面平面，
所以是平面的法向量，
设与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
20．已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上.
(1)求圆的方程；
(2)已知直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）根据直线与圆相切,根据点到直线距离公式求出圆心,再应用圆的标准方程即可;
（2）根据几何法求弦长,再结合面积公式计算即可.
【详解】（1）由已知可设圆心，则，解得或（舍），
所以圆的方程为.
（2）设圆心到直线的距离为，则，
即，解得，
又，所以，解得，
所以直线的方程为或
.
21．如图，直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）连接，由（1）知⊥平面，又直线与平面所成的角的正切值为，可得，以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用二面角的坐标公式计算大小可得答案．
【详解】（1）是正三角形，为的中点，
．
又是直三棱柱，
平面ABC，
．
又，
平面．
（2）连接，由（1）知平面，
∴直线与平面所成的角为，
．
是边长为2的正三角形，则，
．
在直角中，，，
．
建立如图所示坐标系，则，，，，．
，，设平面的法向量为，则，即，解得平面的法向量为．
，，设平面的法向量为，则，即，解得平面的法向量为．
设平面与平面夹角为，则
．
平面与平面夹角的余弦值为．
22．已知点M（1，0），N（1，3），圆C：，直线l过点N．
(1)若直线l与圆C相切，求l的方程；
(2)若直线l与圆C交于不同的两点A，B，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，证明：为定值．
【答案】(1)或
(2)证明见解析
【分析】（1）先判断直线l不存在斜率时符合题意；再设直线l的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，列式求解即可．
（2）设出直线l的方程，与圆的方程联立，得到关于的一元二次方程，再利用根与系数的关系及直线的斜率公式进行证明．
【详解】（1）解：若直线l的斜率不存在，
则l的方程为，
此时直线l与圆C相切，
故符合条件；
若直线l的斜率存在，
设斜率为k，其方程为，
即，
由直线l与圆C相切，圆心（0，0）到l的距离为1，
得，解得，
所以直线l的方程为，
即，
综上所述，直线l的方程为或；
（2）证明：由（1）可知，l与圆C有两个交点时，斜率存在，
此时设l的方程为，
联立，
得，
则 ，
解得，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，（1）
所以，
将（1）代入上式整理得，
故为定值．
一、单选题
1．点（1，-1）到直线x-y+1=0的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先判断点（1，-1）不在直线上，再利用点到直线的距离求解即可.
【详解】由题意得点（1，-1）不在直线上，
所以点（1，-1）到直线的距离为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查点到直线的距离的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
2．倾斜角为135°的直线经过点和，则（ ）
A．1B．C．D．5
【答案】B
【分析】根据直线斜率的定义和两点求斜率公式，列出方程，解之即可求解.
【详解】由题意知，直线的斜率为，，
所以，解得.
故选：B.
3．已知，是空间直角坐标系中的两点，点关于轴对称的点为，则两点间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据对称性求出点的坐标，然后直接利用空间两点间距离公式求解即可.
【详解】因为，所以点关于轴对称的点，
所以.
故选：D.
4．甲乙两人通过考试的概率分别为和，两人同时参加考试，其中恰有一人通过的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】记甲乙两人通过考试分别为事件，则有，，所求的事件可表示为，由事件的独立性和互斥性，即可求出其中恰有一人通过的概率是多少．
【详解】记甲乙两人通过考试分别为事件，
则有，，
所求的事件可表示为，
．
故选：C．
5．已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．不确定
【答案】B
【分析】由题意先得出，然后根据圆心到直线的距离和半径比较大小即可得解.
【详解】由题意点在圆外，则，
而圆的圆心到直线的距离为，
其中为圆的半径，故直线与圆的位置关系是相交.
故选：B.
6．已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设点为直线上的动点，题意可转化成求与的距离和与的距离之和的最小值，求出关于直线的对称点，故，即可求出答案
【详解】设点为直线上的动点，
由可看作与的距离和与的距离之和，
设点则点为点关于直线的对称点，
故，且，
所以，
当且仅当三点共线时，取等号，
所以的最小值为.
故选：C
7．在正三棱柱中，，，分别是，中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，取的中点，的中点，的中点,可得异面直线与所成角为或其补角，利用余弦定理即可求解.
【详解】设，取的中点，的中点，的中点,
易知,,
所以异面直线与所成角为或其补角.
由正三棱柱的几何特征可得.
,
,
,，
,
在中，由余弦定理可得
,
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选:A.
8．在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：设直线因为，表示点到直线的距离，所以圆心的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，圆的半径最小值为，圆面积的最小值为．故本题的正确选项为A.
【解析】抛物线定义.
二、多选题
9．甲、乙两人进行1次投篮，已知他们命中的概率分别为和，且他们是否命中相互独立，则（ ）
A．恰好有1人命中的概率为B．恰好有1人命中的概率为
C．至少有1人命中的概率为D．至少有1人命中的概率为
【答案】AC
【分析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.
【详解】由题可知，恰有1人命中的概率为，A正确，B不正确．
2人均未命中的概率为，故至少有1人命中的概率为，C正确，D不正确．
故选：AC
10．下列选项正确的是（ ）．
A．过点且和直线平行的直线方程是
B．若直线l的斜率，则直线倾斜角的取值范围是
C．若直线与平行，则与的距离为
D．圆和圆相交
【答案】AD
【分析】对于A：根据题意可设直线方程是，代入点运算求解即可；对于B：根据斜率与倾斜角的关系结合图象分析求解；对于C：根据平行关系求的方程，进而结合两平行线间的距离公式运算求解；对于D：分别求圆心和半径，进而可得，根据两圆位置关系分析判断.
【详解】对于选项A：设与直线平行的直线方程是，
因为直线过点，
则，解得，
所以过点且和直线平行的直线方程是，故A正确；
对于选项B：因为，如图所示，
若，所以，故B错误；
对于选项C：若直线与平行，
则，解得，
可知，即，
所以与的距离为，故C错误；
对于选项D：圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
因为，且，
即，所以圆和圆相交，故D正确；
故选：AD.
11．已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，则下列说法错误的是（ ）
A．圆上恰有一个点到直线的距离为B．切线长的最小值为
C．四边形面积的最小值为2D．直线恒过定点
【答案】ABC
【分析】由圆心到直线的距离为，可判定A正误；由圆的切线长，可判定B 正误；由四边形的面积计算公式，可判定C正误；设，求得以为直径的圆的方程，进而得到两圆的相交弦的方程，联立方程组，可判定D正误．
【详解】对于A：由圆，可得圆心，半径，
圆心到直线的距离为，
，故圆上不是只有一个点到直线的距离为，故A错误；
对于B：由圆的性质，可得切线长，
当最小时，达到最小，又，则，故B错误；
对于C：由四边形的面积为，
因为，所以四边形的面积的最小值为，故C错误；
对于D：设，由题知，在以为直径的圆上，
又由，所以，
即，
因为圆，即．
两圆的方程相减得直线，即，
由，解得，即直线恒过定点，故D正确．
故选：ABC．
12．如图所示，平行六面体，其中，，，，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．直线与直线是相交直线
D．与所成角的余弦值为
【答案】ABD
【分析】对选项A，根据，再平方即可判断A正确，对选项B，根据，即可判断B正确，对选项C，根据图形即可判断C错误，对选项D，根据空间向量夹角公式即可判断D正确.
【详解】对选项A，，
则
，
所以，故A正确；
对选项B，
，所以，故B正确；
对C，直线与直线是异面直线，C错误；
对D，，，
，
，
，
，
所以，，
于是与所成角的余弦值为.
故选：ABD
三、填空题
13．一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，两人试图独立地在半小时内解决它，则问题得到解决的概率是 .
【答案】
【分析】分甲解决乙不能解决，甲不能解决乙能解决，甲能解决乙也能解决三类，利用独立事件的概率求解.
【详解】因为甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，
所以问题得到解决的概率是，
故答案为：
14．经过点，的直线在轴上的截距为 ．
【答案】27
【分析】先求得经过两点和的直线方程，然后求得横截距.
【详解】经过两点和的直线方程为，
即，令，得.
故答案为：27.
15．已知圆C的方程为，一定点为A(1,2)，要使过A点作圆的切线有两条，则a的取值范围是
【答案】
【分析】使过A点作圆的切线有两条，定点在圆外，代入圆方程计算得到答案.
【详解】已知圆C的方程为，
要使过A点作圆的切线有两条
即点A(1,2)在圆C外：恒成立.
综上所述：
故答案为
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，通过切线数量判断位置关系是解题的关键.
四、双空题
16．棱长为的正四面体的各顶点都在球心为的球面上，则过点，，的平面截四面体所得截面图形的面积为 ；球的体积为 ．
【答案】
【分析】将正四面体放到正方体中，则正方体的外接球即为正四面体的外接球，求出正方体的体对角线即为外接球的直径，即可求出外接球的体积，取的中点，连接、，则即为过点，，的平面截四面体所得截面图形，求出截面面积即可.
【详解】如图将棱长为的正四面体放到正方体中，则正方体的外接球即为正四面体的外接球，
正方体外接球的球心在体对角线的交点，体对角线即为外接球的直径，
设正方体的棱长为，由已知可得，解得，
设正方体外接球的半径为，则，即，
所以外接球的体积，
取的中点，连接、，根据正方体的性质可知即为过点，，的平面截四面体所得截面图形，
又，，所以，
即过点，，的平面截四面体所得截面图形的面积为.
故答案为：；
五、解答题
17．已知的三个顶点是，，.
(1)求BC边上的高所在直线的方程；
(2)若直线过点C，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）求出直线BC的斜率，则可求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线的方程；
（2）由题意分直线与AB平行和直线通过AB的中点两种情况求解.
【详解】（1）因为，所以BC边上的高所在直线的斜率为，
所以BC边上的高所在直线的方程，
即.
（2）因为点A, B到直线的距离相等，所以直线与AB平行或通过AB的中点，
①当直线与AB平行，
因为，且过点C，
所以方程为，即.
②当直线通过AB的中点，
所以，
所以的方程为，即.
综上：直线的方程为或.
18．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，已知第一盘棋甲赢的概率为，由于心态不稳，若甲赢了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率依然为，若甲输了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率就变为．已知比赛没有和棋，且前两盘棋都是甲赢．
(1)求第四盘棋甲赢的概率；
(2)求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）第四盘棋甲赢的事件为A，它是第三盘棋甲赢和甲输的两个互斥事件的和，再利用独立事件、互斥事件的概率公式计算作答.
（2）甲恰好赢三盘棋的事件为B，它是甲在第三盘赢、第四盘赢、第五盘赢的互斥事件的和，再利用独立事件、互斥事件的概率公式计算作答.
【详解】（1）记第四盘棋甲赢的事件为A，它是第三盘棋甲赢和甲输的两个互斥事件的和，
，，则，
所以第四盘棋甲赢的概率是.
（2）记甲恰好赢三盘棋的事件为B，它是后三盘棋甲只赢一盘的三个互斥事件的和，
甲只在第三盘赢的事件为、只在第四盘赢的事件为、只在第五盘赢的事件为，
则，，，
则有，
所以比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率为.
19．如图，在正四棱柱中，已知，三棱锥的体积为．
(1)求点到平面的距离；
(2)求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据棱锥的体积公式求出正四梭柱的高，以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；
（2）利用向量法求解即可.
【详解】（1）因为为正四棱柱，，
所以平面，，
所以，
所以，
如图以点为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
设平面的法向量为，
则，可取，
则点到平面的距离；
（2）因为且，
所以为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面，
同理可证平面，
又平面，
所以平面平面，
所以是平面的法向量，
设与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
20．已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上.
(1)求圆的方程；
(2)已知直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）根据直线与圆相切,根据点到直线距离公式求出圆心,再应用圆的标准方程即可;
（2）根据几何法求弦长,再结合面积公式计算即可.
【详解】（1）由已知可设圆心，则，解得或（舍），
所以圆的方程为.
（2）设圆心到直线的距离为，则，
即，解得，
又，所以，解得，
所以直线的方程为或
.
21．如图，直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）连接，由（1）知⊥平面，又直线与平面所成的角的正切值为，可得，以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用二面角的坐标公式计算大小可得答案．
【详解】（1）是正三角形，为的中点，
．
又是直三棱柱，
平面ABC，
．
又，
平面．
（2）连接，由（1）知平面，
∴直线与平面所成的角为，
．
是边长为2的正三角形，则，
．
在直角中，，，
．
建立如图所示坐标系，则，，，，．
，，设平面的法向量为，则，即，解得平面的法向量为．
，，设平面的法向量为，则，即，解得平面的法向量为．
设平面与平面夹角为，则
．
平面与平面夹角的余弦值为．
22．已知点M（1，0），N（1，3），圆C：，直线l过点N．
(1)若直线l与圆C相切，求l的方程；
(2)若直线l与圆C交于不同的两点A，B，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，证明：为定值．
【答案】(1)或
(2)证明见解析
【分析】（1）先判断直线l不存在斜率时符合题意；再设直线l的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，列式求解即可．
（2）设出直线l的方程，与圆的方程联立，得到关于的一元二次方程，再利用根与系数的关系及直线的斜率公式进行证明．
【详解】（1）解：若直线l的斜率不存在，
则l的方程为，
此时直线l与圆C相切，
故符合条件；
若直线l的斜率存在，
设斜率为k，其方程为，
即，
由直线l与圆C相切，圆心（0，0）到l的距离为1，
得，解得，
所以直线l的方程为，
即，
综上所述，直线l的方程为或；
（2）证明：由（1）可知，l与圆C有两个交点时，斜率存在，
此时设l的方程为，
联立，
得，
则 ，
解得，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，（1）
所以，
将（1）代入上式整理得，
故为定值．
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