2026合肥普通高中六校联盟高三上学期第一次教学质量监测试题数学含解析

这是一份2026合肥普通高中六校联盟高三上学期第一次教学质量监测试题数学含解析，文件包含2026年江西省中考历史模拟预测卷原卷版docx、2026年江西省中考历史模拟预测卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，则复数z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知向量且，求（ ）
A．B．C．D．
4．在的展开式中，的系数为（ ）
A．3B．6C．60D．30
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．2024年8月20日国产第一款3A游戏《黑神话：悟空》上线，首日销量超450万份，总销售额超过15亿元，视觉设计深入挖掘中国传统文化元素，其中“六角木塔”取景山西省朔州市应县老城西北角的佛宫寺内，如图1，其最高处的塔刹下部分可以近似看成一个正六棱锥，如图2，已知正六棱锥的高为h，其侧面与底面夹角为，则六棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知直线，圆，过上一点作的两条切线，切点分别为，使四边形的面积为的点有且仅有一个，则此时直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知，函数，则下列结论一定正确的是（ ）
A．的图象关于轴对称
B．的最小正周期为
C．的最大值为
D．在上的最小值为
10．已知是定义在上的奇函数，，是奇函数，且，则下列说法中正确的有（ ）
A．为偶函数B．
C．D．
11．已知数列，其前n项和为，数列，其前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．若为等差数列，则数列也是等差数列
B．若，则数列为等比数列
C．若，则时取到最小值
D．若为等比数列，且，则
三、填空题
12．某单位在五一假期，需要从5人中选若干人在5天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，共有 种不同的安排方法．
13．过函数图象上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”．若一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数与函数的“公法线”方程为 ．
14．已知随机取或1，构成数列为初始数列，当不为常数列时，对数列进行如下操作：①统计中-1的个数，记为；②把改为，其余项不变，得到新数列；③若新数列为常数列，停止操作，记录操作次数，否则将替换为新数列，重复上述操作，可知对任意初始数列，必在有限次操作后停止．如：，对初始数列1，，操作过程为1，，，，1；．当时，对所有可能的初始数列，对应操作次数的和为 ．
四、解答题
15．研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解30~40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表：
(1)在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布列和期望；
(2)依据小概率值的独立性检验，能否据此推断30~40岁人群的体质健康与性别有关？若把表中所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，结论还一样吗？请解释原因．
附录：，其中．
16．在矩形中，为上两个不同的三等分点，如图1．将和分别沿向上翻折，使得点重合，记重合后的点为，如图2．已知，四棱锥的体积为．
(1)求；
(2)求平面与平面所成角的正弦值．
17．已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若存在极大值，且极大值大于0，求的取值范围.
18．抛物线:，为的焦点，过抛物线外一点作抛物线的两条切线，，是切点.
(1)若点的纵坐标为，求证：直线恒过定点；
(2)若||＝，求面积的最大值;
(3)证明：||·||=.
19．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率为，点 在椭圆 上.
(1)求的方程;
(2)过点且斜率存在的两条直线 互相垂直，直线交于两点，直线交于两点， 分别为弦和的中点，直线交轴于点 ，其中.
① 求 ；
② 设椭圆的上顶点为 ，记的面积为，令 ，求证: .
参考答案
1．A
【详解】，故.
故选：A
2．A
【详解】设复数，则共轭复数，
因为，
列出方程组为：
求解该方程组得：.
所以复数.
在复平面内对应点坐标为，横坐标，纵坐标，
所以该点在第一象限.
故选：A.
3．C
【详解】因为，所以，，
由得，，
则有，解得或，
因为，所以，即.
故选：C
4．C
【详解】根据二项式定理，可得展开式的通项为（）.
要求的系数，则的次数，此时.
同样根据二项式定理，展开式的通项为（）.
要得到，则令，解得.
当，时，的系数为
在的展开式中，的系数为60.
故选：C.
5．A
【详解】因为，所以，
即，所以，
则.
故选：A.
6．C
【详解】
如图取的中点，连接、，因为为正六棱锥，
所以，，
所以为侧面与底面的夹角，所以，
又底面，底面，所以，
所以，又底面为正六边形，所以为等边三角形，
所以，则，
所以，
所以，
所以六棱锥的体积为.
故选：C
7．B
【详解】如图，，解得，
所以，
因这样的点有且仅有一个，由图知此时，
则圆心到直线的距离为6，
即，化简得，其中，
，则，
，
所以，即，则直线的斜率为，
所以直线，即，
联立，解得，即，
因的中点坐标为，且，
则以为直径的圆的方程为 ，
整理得，
易知直线是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线，
将两圆的方程相减得，
故直线的方程为.
故选：B.
8．C
【详解】，
，
，则，
又，，
.
故选：C.
9．AC
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，当时，,
此时,函数的最小正周期是，故B错误；
对于C，，由正弦函数的值域可得最大值为，故C正确；
对于D，当时，，
所以，
当时，，当时，，由于不确定的大小，所以最小值为不正确，故D错误；
故选：AC
10．ACD
【详解】由于是定义在上的奇函数，所以，
则，即，故A正确；
因为是奇函数，所以，即，
所以，则，令，所以，
所以，即的图象关于直线对称，
则，故B错误；
，故C正确；
，故D正确.
故选：ACD
11．AC
【详解】因为为等差数列，所以前项和，
所以，
所以，
所以数列是等差数列，故正确；
因为，若，则所有项都为，
所以数列不是等比数列，故错误；
因为，所以，
所以为等差数列，首项为，公差为，
所以，此二次函数开口向上，对称轴为，
因为，所以当时，取到最小值，故正确；
因为为等比数列，且，故公比不为1，
所以，
所以，所以，故错误.
故选：.
12．1280
【详解】根据题意，第一天从5个人中选1个人值班，有5种选法；第二天不能选第一天值班的人，所以有4种选法；第三天同样不能选第二天值班的人，所以还是有4种选法；第四天也不能选第三天值班的人，有4种选法；第五天不能选第四天值班的人，有4种选法.
所以，总共有种不同的安排方法.
故答案为：1280.
13．
【详解】对于函数，有，可得，解得，
故函数的定义域为，
由求得，，则法线斜率为，
则在点处的法线方程为，
即，
由求导得，则法线斜率为，
则在处的法线方程为，
即，
由“公法线”得，，
这两个等式相加得，即，
令，则，
故函数在上为增函数，
又因为，所以函数有且只有唯一的零点，
解方程组，可得或，，
又因为，故，故要舍去，即，，
所以“公法线”方程为，
故答案为：.
14．24
【详解】当时，按的个数及出现的位置，初始数列共有7种情况：
初始数列，；
初始数列，；
初始数列，；
初始数列，；
初始数列，；
初始数列，；
初始数列，；
所以所求操作次数的和为.
故答案为：24
15．(1)分布列见解析，
(2)答案见解析
【详解】（1）样本中不感冒的男性有人，女性有 人，比例为，
按照性别采用分层抽样的方法抽取人，则抽取男性人，女性 人，
所以随机变量的所有取值为.
则 ， ， ，
，
所以的分布列为
所以.
（2）提出统计假设：岁人群的体质健康与性别无关.
根据列联表中的数据，经计算得到，
因为，假设成立，
所以依据小概率值的独立性检验，不能据此推断岁人群的体质健康与性别有关.
如果把所有数据都扩大10倍后，
，，
所以依据小概率值的独立性检验，能据此推断岁人群的体质健康与性别有关.
与之前的结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化.
16．(1)
(2)
【详解】（1）取的中点分别为，连接，
过点作，垂足为，
设，则，
为等边三角形，，
在中，，
在中，，
，
又梯形的面积，
所以四棱锥的体积为，
解得（舍去），即；
（2）由（1）可得．
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以．．
设平面的法向量为，则
取，得．
设平面的法向量为，则
取，得．
所以，，
所以平面与平面所成角的正弦值为．
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）时，，，
时，；时，，
所以在区间上单调递增，上单调递减，
所以.
（2），
时，，在上单调递增，无极值；
时，时，；时，，
所以在区间上单调递增，上单调递减，
所以的极大值为，
令，则，
所以在区间上单调递增，由已知，
所以，解得，
综上，.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）设，，
由得，则直线的方程为，
即，即，
同理，直线的方程为
又直线与直线都过，
则，，
从而均在直线上，
故直线的方程为，又，
故直线的方程为，
故直线过定点；
（2）联立，得，
，则，
则，
于是，，
又点N到直线AB的距离，
所以 (当时取等号).
则面积的最大值为；
（3）由题意知直线斜率存在，且.
设直线方程为，
由，得，
，.
对求导，，
所以，
，
直线的方程为，
又，直线的方程为，
同理可得直线的方程为.
由，得，所以，
当时，||=||=2，，所以||·||=；
当时，，，
又，，
所以.所以||·||=，
综上：||·||=.
19．(1)
(2)①②证明过程见解析
【详解】（1）由题意，设椭圆方程为，
则有，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）
①设的方程为．
，
由，得，
，
同理可得：，
三点共线，当轴时，则，
当与轴不垂直时，由得：
，
②因为，所以，
由得：，且，
，
，性别
健康状况
合计
不感冒
感冒
男
12
18
30
女
6
24
30
合计
18
42
60
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
C
C
A
C
B
C
AC
ACD
题号
11









答案
AC









1
2
3
4