安徽省合肥市普通高中六校联盟2025-2026学年高三上学期第一次教学质量监测数学试卷（Word版附解析）

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（考试时间：120 分钟 满分：150 分）
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知 ， ，则复数 z 在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知向量 且 ，求 （ ）
A. B. C. D.
4. 在 的展开式中， 的系数为（ ）
A. 3 B. 6 C. 60 D. 30
5. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 2024 年 8 月 20 日国产第一款 3A 游戏《黑神话：悟空》上线，首日销量超 450 万份，总销售额超过 15
亿元，视觉设计深入挖掘中国传统文化元素，其中“六角木塔”取景山西省朔州市应县老城西北角的佛宫
寺内，如图 1，其最高处的塔刹下部分可以近似看成一个正六棱锥，如图 2，已知正六棱锥的高为 h，其侧
面与底面夹角为 ，则六棱锥的体积为（ ）
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A. B. C. D.
7. 已知直线 ，圆 ，过 上一点 作 的两条切
线，切点分别为 ，使四边形 的面积为 的点 有且仅有一个，则此时直线 的方程为
（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系
为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知 ，函数 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A. 的图象关于 轴对称
B. 的最小正周期为
C. 的最大值为
D. 在 上的最小值为
10. 已知 是定义在 上的奇函数， ， 是奇函数，且 ，则下列说法
中正确的有（ ）
A. 为偶函数 B.
C. D.
11. 已知数列 ，其前 n 项和为 ，数列 ，其前 n 项和为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 为等差数列，则数列 也是等差数列
B. 若 ，则数列 等比数列
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C. 若 ，则 时 取到最小值
D. 若 为等比数列，且 ，则
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12. 某单位在五一假期，需要从 5 人中选若干人在 5 天假期值班（每天只需 1 人值班），不出现同一人连续
值班 2 天，共有________种不同的安排方法．
13. 过函数图象上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”．若一条直线同
时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数 与函数 的“公法
线”方程为______．
14. 已知 随机取 或 1，构成数列 为初始数列，当 不为常数列 时，对数
列 进行如下操作：①统计 中-1 的个数，记为 ；②把 改为 ，其余项不变，得到新数列；③
若新数列为常数列 ，停止操作，记录操作次数 ，否则将 替换为新数列，重复上述操作，可知
对任意初始数列 ，必在有限次操作后停止．如： ，对初始数列 1， ，操作过程为 1，
， ， ，1； ．当 时，对所有可能的初始数列 ，对应
操作次数的和为________．
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解 30
~40 岁人群的体质健康是否与性别有关，在 3 月感冒易发季节对某社区中该年龄段的 60 位居民进行了检测，
将检测结果制成如下 2×2 列联表：
健康状况
性别 合计
不感冒 感冒
男 12 18 30
女 6 24 30
合计 18 42 60
（1）在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取 9 人，再从这 9 人中随机选取 4 人访谈，
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记参与访谈的男性人数为 ，求 的分布列和期望 ；
（2）依据小概率值 的 独立性检验，能否据此推断 30~40 岁人群的体质健康与性别有关？若把
表中所有数据扩大到原来的 10 倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，
结论还一样吗？请解释原因．
附录： ，其中 ．
0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
16. 在矩形 中， 为 上两个不同的三等分点，如图 1．将 和 分别沿 向
上翻折，使得点 重合，记重合后的点为 ，如图 2．已知 ，四棱锥 的体积为 ．
（1）求 ；
（2）求平面 与平面 所成角的正弦值．
17. 已知函数 .
（1）当 时，证明： ；
（2）若 存在极大值，且极大值大于 0，求 取值范围.
18. 抛物线 : ， 为 的焦点，过抛物线外一点 作抛物线 的两条切线， ， 是切点.
（1）若点 纵坐标为 ，求证：直线 恒过定点；
（2）若| |＝ ，求 面积的最大值;
（3）证明：| |·| |= .
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19. 已知椭圆 中心为坐标原点，焦点在 轴上，离心率为 ，点 在椭圆 上.
（1）求 的方程;
（2）过点 且斜率存在的两条直线 互相垂直，直线 交 于 两点，直线 交 于
两点， 分别为弦 和 的中点，直线 交 轴于点 ，其中 .
① 求 ；
② 设椭圆 上顶点为 ，记 的面积为 ，令 ，求证:
.