安徽省合肥市普通高中六校联盟2025-2026学年高三上学期第一次数学教学质量监测数学试卷（有解析）

这是一份安徽省合肥市普通高中六校联盟2025-2026学年高三上学期第一次数学教学质量监测数学试卷（有解析），共26页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，，则复数z在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知向量且，求（ ）
A. B. C. D.
4. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. 3B. 6C. 60D. 30
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 2024年8月20日国产第一款3A游戏《黑神话：悟空》上线，首日销量超450万份，总销售额超过15亿元，视觉设计深入挖掘中国传统文化元素，其中“六角木塔”取景山西省朔州市应县老城西北角的佛宫寺内，如图1，其最高处的塔刹下部分可以近似看成一个正六棱锥，如图2，已知正六棱锥的高为h，其侧面与底面夹角为，则六棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知直线，圆，过上一点作的两条切线，切点分别为，使四边形的面积为的点有且仅有一个，则此时直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知，函数，则下列结论一定正确的是（ ）
A. 的图象关于轴对称
B. 的最小正周期为
C. 的最大值为
D. 在上的最小值为
10. 已知是定义在上的奇函数，，是奇函数，且，则下列说法中正确的有（ ）
A. 为偶函数B.
C. D.
11. 已知数列，其前n项和为，数列，其前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若为等差数列，则数列也是等差数列
B. 若，则数列等比数列
C. 若，则时取到最小值
D. 若为等比数列，且，则
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12. 某单位在五一假期，需要从5人中选若干人在5天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，共有________种不同的安排方法．
13. 过函数图象上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”．若一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数与函数的“公法线”方程为______．
14. 已知随机取或1，构成数列为初始数列，当不为常数列时，对数列进行如下操作：①统计中-1的个数，记为；②把改为，其余项不变，得到新数列；③若新数列为常数列，停止操作，记录操作次数，否则将替换为新数列，重复上述操作，可知对任意初始数列，必在有限次操作后停止．如：，对初始数列1，，操作过程为1，，，，1；．当时，对所有可能的初始数列，对应操作次数的和为________．
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解30~40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表：
（1）在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布列和期望；
（2）依据小概率值的独立性检验，能否据此推断30~40岁人群的体质健康与性别有关？若把表中所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，结论还一样吗？请解释原因．
附录：，其中．
16. 在矩形中，为上两个不同的三等分点，如图1．将和分别沿向上翻折，使得点重合，记重合后的点为，如图2．已知，四棱锥的体积为．
（1）求；
（2）求平面与平面所成角的正弦值．
17. 已知函数.
（1）当时，证明：；
（2）若存在极大值，且极大值大于0，求取值范围.
18. 抛物线:，为的焦点，过抛物线外一点作抛物线的两条切线，，是切点.
（1）若点纵坐标为，求证：直线恒过定点；
（2）若||＝，求面积的最大值;
（3）证明：||·||=.
19. 已知椭圆中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率为，点 在椭圆 上.
（1）求的方程;
（2）过点且斜率存在的两条直线 互相垂直，直线交于两点，直线交于两点， 分别为弦和的中点，直线交轴于点 ，其中.
① 求 ；
② 设椭圆上顶点为 ，记的面积为，令 ，求证: .
性别
健康状况
合计
不感冒
感冒
男
12
18
30
女
6
24
30
合计
18
42
60
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
合肥市普通高中六校联盟2025-2026学年高三第一次教学质量监测
高三年级数学试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】写出，利用补集概念求出答案.
【详解】，故.
故选：A
2. 已知，，则复数z在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】设复数，根据共轭复数的定义求出，再结合已知条件列出方程组求解的值，从而得到复数，最后确定其在复平面内的位置.
【详解】设复数，则共轭复数，
因为，
列出方程组为：
求解该方程组得：.
所以复数.
在复平面内对应点坐标，横坐标，纵坐标，
所以该点在第一象限.
故选：A.
3. 已知向量且，求（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量线性运算坐标表示计算，，再有向量垂直数量积为0列式计算可得，即可求得.
【详解】因为，所以，，
由得，，
则有，解得或，
因为，所以，即.
故选：C
4. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. 3B. 6C. 60D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】求出展开式的通项，再根据的次数确定的次数，最后求出的系数.
【详解】根据二项式定理，可得展开式的通项为（）.
要求的系数，则的次数，此时.
同样根据二项式定理，展开式的通项为（）.
要得到，则令，解得.
当，时，的系数为
在的展开式中，的系数为60.
故选：C.
5. 已知，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据诱导公式化简得到，再弦化切得到，最后用两角差的正切公式化简得解.
【详解】因为，所以，
即，所以，
则.
故选：A.
6. 2024年8月20日国产第一款3A游戏《黑神话：悟空》上线，首日销量超450万份，总销售额超过15亿元，视觉设计深入挖掘中国传统文化元素，其中“六角木塔”取景山西省朔州市应县老城西北角的佛宫寺内，如图1，其最高处的塔刹下部分可以近似看成一个正六棱锥，如图2，已知正六棱锥的高为h，其侧面与底面夹角为，则六棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据侧面与底面夹角求出底面边长，即可求出底面积，再由锥体的体积公式计算可得.
【详解】
如图取的中点，连接、，因为为正六棱锥，
所以，，
所以为侧面与底面的夹角，所以，
又底面，底面，所以，
所以，又底面为正六边形，所以为等边三角形，
所以，则，
所以，
所以，
所以六棱锥的体积为.
故选：C
7. 已知直线，圆，过上一点作的两条切线，切点分别为，使四边形的面积为的点有且仅有一个，则此时直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，可得，且，由点到直线的距离公式求得，进而求得直线的方程，再求出直线的方程，求得点的坐标，求出以为直径的圆的方程，易知直线是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线，两圆方程相减得解.
【详解】如图，，解得，
所以，
因这样的点有且仅有一个，由图知此时，
则圆心到直线的距离为6，
即，化简得，其中，
，则，
，
所以，即，则直线的斜率为，
所以直线，即，
联立，解得，即，
因的中点坐标为，且，
则以为直径的圆的方程为 ，
整理得，
易知直线是圆与以为直径圆的公共弦所在直线，
将两圆的方程相减得，
故直线的方程为.
故选：B.
8. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，可判断，，得解.
【详解】，
，
，则，
又，，
.
故选：C.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知，函数，则下列结论一定正确的是（ ）
A. 的图象关于轴对称
B. 的最小正周期为
C. 的最大值为
D. 在上的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】由可得A正确；根据函数的周期举反例可判断B的正误，举反例可得D错误；由辅助角公式可得C正确.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，当时，,
此时,函数的最小正周期是，故B错误；
对于C，，由正弦函数的值域可得最大值为，故C正确；
对于D，当时，，
所以，
当时，，当时，，由于不确定的大小，所以最小值为不正确，故D错误；
故选：AC
10. 已知是定义在上的奇函数，，是奇函数，且，则下列说法中正确的有（ ）
A. 为偶函数B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由及复合函数的导数求法、奇偶性定义判断A；由题设有，得，令求参数得判断B；利用奇偶性、对称性判断C、D.
【详解】由于是定义在上的奇函数，所以，
则，即，故A正确；
因为是奇函数，所以，即，
所以，则，令，所以，
所以，即的图象关于直线对称，
则，故B错误；
，故C正确；
，故D正确.
故选：ACD
11. 已知数列，其前n项和为，数列，其前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若为等差数列，则数列也是等差数列
B. 若，则数列为等比数列
C. 若，则时取到最小值
D. 若为等比数列，且，则
【答案】AC
【解析】
【分析】利用等差数列前项和公式推导的表达式，即可判断；根据等比数列的定义即可判断；通过等差数列前项和的二次函数的形式即可判断；根据等比数列前项和的形式与已知条件给出的形式，即可解得.
【详解】因为为等差数列，所以前项和，
所以，
所以，
所以数列是等差数列，故正确；
因为，若，则所有项都为，
所以数列不是等比数列，故错误；
因为，所以，
所以为等差数列，首项为，公差为，
所以，此二次函数开口向上，对称轴为，
因为，所以当时，取到最小值，故正确；
因为为等比数列，且，故公比不为1，
所以，
所以，所以，故错误.
故选：.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12. 某单位在五一假期，需要从5人中选若干人在5天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，共有________种不同的安排方法．
【答案】1280
【解析】
【分析】根据分步计数乘法原理，结合题意计算即可得结果.
【详解】根据题意，第一天从5个人中选1个人值班，有5种选法；第二天不能选第一天值班的人，所以有4种选法；第三天同样不能选第二天值班的人，所以还是有4种选法；第四天也不能选第三天值班的人，有4种选法；第五天不能选第四天值班的人，有4种选法.
所以，总共有种不同的安排方法.
故答案为：1280.
13. 过函数图象上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”．若一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数与函数的“公法线”方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求出曲线在点处的法线方程，以及曲线在点处的法线方程，根据这两法线重合可得出关于、的方程，解出这两个未知数的值，即可得出“公法线”方程.
【详解】对于函数，有，可得，解得，
故函数的定义域为，
由求得，，则法线斜率为，
则在点处的法线方程为，
即，
由求导得，则法线斜率为，
则在处的法线方程为，
即，
由“公法线”得，，
这两个等式相加得，即，
令，则，
故函数在上为增函数，
又因为，所以函数有且只有唯一的零点，
解方程组，可得或，，
又因为，故，故要舍去，即，，
所以“公法线”方程为，
故答案为：.
14. 已知随机取或1，构成数列为初始数列，当不为常数列时，对数列进行如下操作：①统计中-1的个数，记为；②把改为，其余项不变，得到新数列；③若新数列为常数列，停止操作，记录操作次数，否则将替换为新数列，重复上述操作，可知对任意初始数列，必在有限次操作后停止．如：，对初始数列1，，操作过程为1，，，，1；．当时，对所有可能的初始数列，对应操作次数的和为________．
【答案】24
【解析】
【分析】按的个数及出现的位置分类，利用列举法分别求出操作次数即可.
【详解】当时，按的个数及出现的位置，初始数列共有7种情况：
初始数列，；
初始数列，；
初始数列，；
初始数列，；
初始数列，；
初始数列，；
初始数列，；
所以所求操作次数的和为.
故答案：24
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解30~40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表：
（1）在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布列和期望；
（2）依据小概率值的独立性检验，能否据此推断30~40岁人群的体质健康与性别有关？若把表中所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，结论还一样吗？请解释原因．
附录：，其中．
【答案】（1）分布列见解析，
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用分层抽样的方法抽取人，则抽取男性人，女性 人，随机变量的所有取值为，求出对应概率，即可列出分布列，求出期望；
（2）根据列联表中的数据， 经计算得到，再和参考数据表中对应的数据比较，即可得到结论.
【小问1详解】
样本中不感冒的男性有人，女性有 人，比例为，
按照性别采用分层抽样的方法抽取人，则抽取男性人，女性 人，
所以随机变量的所有取值为.
则 ， ， ，
，
所以的分布列为
所以.
【小问2详解】
提出统计假设：岁人群的体质健康与性别无关.
根据列联表中的数据，经计算得到，
因为，假设成立，
所以依据小概率值的独立性检验，不能据此推断岁人群的体质健康与性别有关.
如果把所有数据都扩大10倍后，
，，
所以依据小概率值的独立性检验，能据此推断岁人群的体质健康与性别有关.
与之前的结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化.
16. 在矩形中，为上两个不同的三等分点，如图1．将和分别沿向上翻折，使得点重合，记重合后的点为，如图2．已知，四棱锥的体积为．
（1）求；
（2）求平面与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设出所求线段，根据勾股定理以及余弦定理，表示出四棱锥的高，结合四棱锥的体积公式，可得答案.
（2）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案.
【小问1详解】
取的中点分别为，连接，
过点作，垂足为，
设，则，
为等边三角形，，
在中，，
在中，，
，
又梯形的面积，
所以四棱锥的体积为，
解得（舍去），即；
【小问2详解】
由（1）可得．
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以．．
设平面的法向量为，则
取，得．
设平面的法向量为，则
取，得．
所以，，
所以平面与平面所成角的正弦值为．
17. 已知函数.
（1）当时，证明：；
（2）若存在极大值，且极大值大于0，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求导后分析单调性，得到最大值即可；
（2）求导后，分和讨论单调性和极值，当时，构造函数，由导数分析单调性解抽象函数不等式可得.
【小问1详解】
时，，，
时，；时，，
所以在区间上单调递增，上单调递减，
所以.
【小问2详解】
，
时，，在上单调递增，无极值；
时，时，；时，，
所以在区间上单调递增，上单调递减，
所以的极大值为，
令，则，
所以在区间上单调递增，由已知，
所以，解得，
综上，.
18. 抛物线:，为的焦点，过抛物线外一点作抛物线的两条切线，，是切点.
（1）若点的纵坐标为，求证：直线恒过定点；
（2）若||＝，求面积的最大值;
（3）证明：||·||=.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数分别求出直线和直线的方程，由直线和直线都过即可求出直线的方程，再根据点的纵坐标为，即可得到直线恒过定点；
（2）将直线的方程与抛物线的方程联立，利用弦长公式求出，利用点到直线距离公式求出的高，即可求出面积的最大值.
（3）设直线方程为，与抛物线方程联立，可得，直线的方程为，进而可得直线的方程为，求得，进而可得，可得结论.
【小问1详解】
设，，
由得，则直线的方程为，
即，即，
同理，直线的方程为
又直线与直线都过，
则，，
从而均在直线上，
故直线的方程为，又，
故直线的方程为，
故直线过定点；
【小问2详解】
联立，得，
，则，
则，
于是，，
又点N到直线AB的距离，
所以 (当时取等号).
则面积的最大值为；
【小问3详解】
由题意知直线斜率存，且.
设直线方程为，
由，得，
，.
对求导，，
所以，
，
直线的方程为，
又，直线的方程为，
同理可得直线的方程为.
由，得，所以，
当时，||=||=2，，所以||·||=；
当时，，，
又，，
所以.所以||·||=，
综上：||·||=.
19. 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率为，点 在椭圆 上.
（1）求的方程;
（2）过点且斜率存在的两条直线 互相垂直，直线交于两点，直线交于两点， 分别为弦和的中点，直线交轴于点 ，其中.
① 求 ；
② 设椭圆的上顶点为 ，记的面积为，令 ，求证: .
【答案】（1）
（2）①②证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知列出关于的方程组即可求解；
（2）①设的方程为，根据韦达定理以及中点坐标公式求得的坐标，同理可得的坐标，进一步可得点的坐标即可得解；②依次得出，，进而得到，从而通过放缩和裂项即可求解.
【小问1详解】
由题意，设椭圆方程为，
则有，解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
①设的方程为．
，
由，得，
，
同理可得：，
三点共线，当轴时，则，
当与轴不垂直时，由得：
，
②因为，所以，
由得：，且，
，
，
.
性别
健康状况
合计
不感冒
感冒
男
12
18
30
女
6
24
30
合计
18
42
60
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
1
2
3
4