广东省深圳市红岭中学高二下学期期中数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省深圳市红岭中学高二下学期期中数学试题（解析版）-A4，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（说明：本试卷考试时间为120分钟，满分为150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 函数的图象在点处的切线斜率为（ ）
A 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线的斜率.
【详解】函数，求导得，则，
所以所求切线的斜率为3.
故选：D
2. 已知某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是85%，乙厂产品的合格率是90%．在该市场随机购买一个灯泡，是合格品的概率为（ ）
A. 86%B. 87%C. 88%D. 89%
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用全概率公式计算得解.
【详解】该市场随机购买一个灯泡，是合格品的概率为.
故选：B
3. 甲、乙两人计划分别从“围棋”，“篮球”，“书法”三门兴趣班中至少选择一门报名学习，若甲只选一门，且甲乙不选择同一门兴趣班，则不同的报名学习方式有（ ）
A. 3种B. 6种C. 9种D. 12种
【答案】C
【解析】
【分析】甲有种选法，乙可以选一门或者选两门，有种选法，根据分步乘法计数原理计算即可．
【详解】由题意得，甲只选一门，有种选法，乙可以选一门或者选两门，有种选法，
故不同的报名学习方式有种，
故选：C．
4. 设随机变量的分布列为
则（ ）
A. 0.95B. 0.85C. 0.75D. 0.65
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分布列的性质求出，再利用互斥事件的概率公式求解.
【详解】依题意，，解得，
所以.
故选：A
5. 设等比数列的前项和为，若，且成等差数列，则（ ）
A. 10B. 12C. 15D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，列式求出数列的公比，进而求出前4项即可.
【详解】由成等差数列，得，而，则，
等比数列的公比，则，
所以.
故选：C
6. 若，则（ ）
A. 28B. 56C. 112D. 120
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用组合数的性质求出，再利用组合性质求解.
【详解】由，得，解得，
所以
.
故选：B
7. 函数 的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断函数的单调性，结合函数的特值可得结果.
【详解】由，则
当 时，，则，
所以函数在上单调递增，排除选项A，C
又 ，排除除选项B
故选：
【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数单调性以及特值是解决本题的关键．比较基础．
8. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到，再由，即可得解.
【详解】令，，
则，因为，所以，所以，
则，所以，
所以，所以在上单调递减，
所以，即，即，即，
又，，
所以.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．少选得部分分，多选或错选得0分，全部选对得6分．
9. 已知数列满足，记分别为数列的前项和，则（ ）
A. B. 当时，
C. D. 当时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】构造常数列求出数列判断A；利用等差数列前项和公式求解判断B；利用裂项相消法求和C；由单调性判断D.
【详解】对于A，数列中，由，得，因此数列是常数列，
，，A正确；
对于B，数列为等差数列，，显然是递增数列，
当时，，B错误；
对于C，，，
因此，C正确；
对于D，当时，，而数列是递增数列，
则，因此，D正确.
故选：ACD
10. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】令即可判断A，令、再解方程组，即可判断B、C，将式子两边对求导，再令，即可判断D.
【详解】因为，
对于A：令，可得，故A正确；
对于B、C：令得，，
令得，，
所以，，故B、C错误；
对于D：由，
两边对求导可得，
令可得，故D正确.
故选：AD
11. 设函数，则（ ）
A. 是的极大值点B. 直线是曲线的切线
C. 当时，D. 当时，
【答案】ABD
【解析】
【分析】分段利用导数说明函数的单调性，即可判断A，令，求出的值，即可判断B，结合A判断C，令，，利用导数说明函数的单调性，即可判断D.
【详解】因为，
对于A：当时，所以在上单调递增，
当时，所以当时，当时，
所以上单调递增，在上单调递减，
则是的极大值点，故A正确；
对于B：令，解得，又，
点在直线上，所以是函数在点处的切线，故B正确；
对于C：由A可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，
又，，所以，则，
所以，即，
即，故C错误；
对于D：因为，所以，
令，，
则，
所以在上单调递增，又，所以恒成立，
所以当时，，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 记数列的前项和为，若，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定的递推公式，利用前项和与项的关系求出通项公式即可.
【详解】数列中，，当时，，
整理得，而，即，
因此数列是首项为2，公比为的等比数列，，
所以.
故答案为：
13. 的展开式中的系数为_____．（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后即可得解.
【详解】的展开式通项为，
的展开式通项为，
所以，的展开式通项为，
由可得或，
因此，展开式中的系数为.
故答案为：.
14. 已知函数．若，则的单调递减区间为_____；若是增函数，则_____．
【答案】 ①. ②. 1
【解析】
【分析】把代入，利用导数求出函数的单调递减区间；利用导数结合单调性列出恒成立的不等式，再由的根相等求解.
【详解】当时，函数的定义域为R，
求导得，由，得，
所以的单调递减区间为；
函数是增函数，则，恒成立，
而，因此，恒成立，
的零点满足，当且仅当的根相等时，恒成立，
因此，令，求导得，当时，；
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
于是，即有唯一解1，所以.
故答案为：；1
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）求使成立的的取值集合.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前项和公式建立方程组，求出首项及公差即可.
（2）由（1）的结论，求出前项和并化简不等式，解不等式即可.
【小问1详解】
设等差数列的公差为d，由，，
得，解得，
所以的通项公式为.
【小问2详解】
由（1）知，
由，得，整理得，
显然，则由，解得，
所以满足条件的n的取值集合为.
16. 图1是边长为的等边三角形，点、分别在、上，且．将沿折起到的位置，连接、，如图2，若．
（1）证明：平面平面；
（2）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，且
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理可证得，，利用线面垂直、面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）假设在线段上存在点，使平面与平面所成的角为，以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 设，利用空间向量法可得出关于的等式，解出的值，即可得出结论.
【小问1详解】
翻折前，是边长为的等边三角形，
因为，，．
由余弦定理得．
因为，所以，折叠后有．
在四棱锥中，连接，如下图所示：
在中，，，，
由余弦定理可得，
因为，，所以，所以，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，故平面平面.
【小问2详解】
翻折前，翻折后，则有，又平面，
以为原点，以点、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
过作交于点，
设，则，，，
易知，，，所以.
因为平面，所以平面的一个法向量为，
因为直线与平面所成的角为，
所以，解得.
所以，满足，符合题意.
所以在线段上存在点P，使直线与平面所成的角为，此时.
17. 设为坐标原点，当点在曲线上运动时，点满足，记的轨迹为曲线．
（1）求程；
（2）已知，和是上相异的两点，分别记直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设点、，根据题意得出，将点的坐标代入曲线得出，结合化简得出点的轨迹方程；
（2）设直线的方程为，联立抛物线方程，设、，可得根与系数的关系式，结合化简可得参数之间的关系，进而利用直线方程求得定点坐标.
【小问1详解】
设点、，因为，即，
可得，即，
因为点在曲线上，即，即，即.
【小问2详解】
由题意点坐标适合，即点在曲线上，
若直线的斜率为时，直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
需满足，即，
设、，则，，
因为，，
所以，
所以，将，代入得，
即，
所以直线的方程为，即，
所以直线经过定点.
18. 某社团由名男生、名女生组成，现举办社团活动，要从这人中随机抽取人参加比赛，比赛共有三项，对于被抽中的人，每人参赛的情况相互独立，概率如下表所示：
规定：每参加项比赛，社团积分增加分．
（1）在抽取的人中至少有名男生的前提下，求有女生参加比赛的概率；
（2）求该社团最终的积分为分的概率；
（3）若学校提出两种奖励方案，供参加比赛的社团自行选择．
方案一：每个社团奖励“参与奖”元；
方案二：对参赛的社团最终获得的积分按“积分元”的方式兑换奖金．
为使最终获得奖励金额的期望最大，该社团应选择哪种方案？并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）方案二更有利，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用条件概率公式结合古典概型概率计算公式即可求解；
（2）根据题意，“积分为分”说明“总共参加了场比赛”即“人都是男生，且都参加了三项比赛”，分步计算概率，相乘即可；
（3）针对方案二，进行积分的可能取值和相应概率计算，再根据数学期望公式得到，与方案一比较即可得出结论.
【小问1详解】
根据题意，设“抽取的人至少有名男生”为事件，设“有女生参加比赛”为事件，
则，，
利用条件概率公式，可得.
【小问2详解】
根据题意，该社团最终的积分为分，说明抽取的人都是男生，且人都参加了三项比赛，
所求概率.
小问3详解】
对于方案二，设参加比赛的社团最后获得的奖金为，则所有可能取值为、、、、.
则，
，
，
，
.
所以EX=200×124+300×14+400×512+500×14+600×124=400>300，
即获得的奖励金额的期望大于，故方案二更有利.
19. 曲率是指曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲率越大，表示曲线在该点处的弯曲程度越大．记，定义曲线在点处的曲率为．
（1）比较曲线在点和处弯曲程度的大小；
（2）若函数的图象上存在两个不同的点、，使得曲线在、处的曲率均为．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：．
【答案】（1）答案见解析
（2）（i）；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据曲率的定义可求出曲线在点、处曲率，比较大小即可；
（2）（i）分析可知有两个不同的解、，参变量分离可知有两个不同的解，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围；
（ii）由方程组得，设，先证，结合分析将所证不等式等价变形为即证，令，即证，构造函数，结合函数的单调性可证得结论成立.
【小问1详解】
设，其中，则，，
所以，，，，
所以在点处的曲率为.
在点处的曲率为，
所以曲线在点处的曲率大于其在点处的曲率.
【小问2详解】
（i）因为，其中，
则，，
因为函数的图象上存在两个不同的点、，
使得曲线在、处的曲率均为．
即有两个不同的解、，即有两个不同的解、，
所以，
令，得，令，得，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在单调递减，
所以，，作出直线与函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，即当时，直线直线与函数的图象有两个交点，
因此，实数的取值范围是；
（ii）由得，
不妨设，由（i）可知，先证明，
即证，即证，
令，即证，构造函数，其中，
则对任意的恒成立，
所以函数在上为增函数，则，
故当时，，所以，，
1
2
3
4
0.6
参加一项的概率
参加两项的概率
参加三项的概率
女生
男生