广东省深圳市福田区红岭中学高一下学期第一学段考试（期中）数学试卷（解析版）-A4

这是一份广东省深圳市福田区红岭中学高一下学期第一学段考试（期中）数学试卷（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（说明：本试卷考试时间为120分钟，满分为150分）
命题人：张磊 审题人：蓝浚涵
一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）
1. 已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部为（ ）
A. iB. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据i的周期性可得复数，即可由复数除法运算法则求解.
【详解】由得，
故z的虚部为为，
故选：B
2. 三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出图形，可得出三个不互相重合的平面将空间所分成的部分数，即可得出的值.
【详解】按照三个平面中平行的个数来分类：
（1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成部分；
（2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成部分；

（3）三个平面中没有平行的平面：
（i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成部分；
（ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成部分.

（iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成部分；

综上，可以为、、、部分，不能为部分，
故选：B.
3. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用投影向量的定义求解即可.
【详解】因为，，所以，
所以，，
所以在上的投影向量为.
故选：A.
4. 已知，，是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ）
A. ，，则
B. 若且，则
C. ，则与同向
D. 若，是非零向量，且，则与同向
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量基本概念和相关运算法则对各选项进行判断即可.
【详解】对于A，若，则，，但不一定成立；、
对于B，因为，所以，即，无法推出（即当时原式也可以成立），故B错误；
对于C，因为，所以，即，所以，由于两向量夹角范围为，所以与夹角为或，即与同向或异向，故C错误；
对于D，由平方得，化简得，由于两向量夹角范围为，所以与夹角为，即与同向，故D正确.
故选:D
5. 紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，由圆台的结构可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为，所以，求出的值，最后利用圆锥的体积公式进行运算，即可求出结果.
【详解】根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，
圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，
可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，
设大圆锥的高为，所以，解得：，
则大圆锥的底面半径为5，高为10，小圆锥的底面半径为3，高为6，
所以该壶的容积.
故选：B.
6. 已知，表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，，，则
D. 若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】ABC选项，可举出反例；D选项，可由平行和垂直的性质和判定证明.
【详解】A选项，若，则或，A错误；
B选项，若，不能推出，B错误；
C选项，若，则不能推出，C错误；
D选项，因为，所以，D正确.
故选：D
7. 已知的三个顶点在以为球心的球面上，且，，，三棱锥的体积为，则球的表面积为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据余弦定理和勾股定理的逆定理即可判断三角形是直角三角形，根据棱锥的体积求出到平面的距离，利用勾股定理计算球的半径，得出球的面积．
【详解】由余弦定理得，解得，
，即．
为平面所在球截面的直径．
作平面，则为的中点，
，
．
．
．
故选：．
【点睛】本题考查了球与棱锥的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，判断的形状是关键．
8. 如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取的中点，连接，利用即可求解.
【详解】取的中点，连接，如图所示，

所以的取值范围是，即，
又由，所以.
故选：B.
二、多选题（本大题共3小题，每题6分，共18分，每小题选项中有多个选项是正确的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）
9. 已知复数，下列结论正确有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆
D. 若是关于的方程的一个根，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】由复数，可判定A错误；根据复数的运算法则，可判定B正确；结合复数的几何意义，可判定C正确；根据复数相等的条件，列出方程，求得的值，可判定D正确.
【详解】对于A中，若复数，满足，但两个虚数不能比大小，所以A项错误；
对于B中，若，则，即，
可得或，所以，所以B项正确；
对于C中，由于表示两个复数在复平面上对应的两点之间的距离，
所以，表示复平面内到点距离为3的点的集合，
所以对应的点的轨迹为圆心在，半径为3的圆，所以C项正确；
对于D中，由是关于的方程的根，
故，即，
可得，所以，所以D项正确.
故选：BCD．
10. 长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为．设和的夹角为θ（），则（ ）．

A. 当船的航行时间最短时，B. 当船的航行距离最短时，
C. 当时，船的航行时间为12分钟D. 当时，船的航行距离为
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A，首先，从而要船的航行时间最短时，则只需最大，由此即可判断；对于B，当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直，由此即可验算；对于C，由公式即可验算；对于D，由题意，根据向量模的运算公式以及数量积的运算律即可验算.
【详解】对于A，船的航行时间为（），若要船的航行时间最短时，则最大，也就是说当且仅当时，船的航行时间最短时，故A正确；
对于B，当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直，从而，故B正确；
对于C，当时，船的航行时间为小时，也就是6分钟，故C错误；
对于D，由题意设位移分量为，位移为，
则，其中（小时），
又因为，，和的夹角为，
从而，故D错误.
故选：AB.
关键点点睛：判断B选项的关键是当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直，由此即可顺利得解.
11. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，P为的中点，点Q满足，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则四面体的体积为定值
B. 若的外心为O，则为定值2
C. 若，则点Q的轨迹长度为
D. 若且，则存在点，使得的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，取的三等分点分别为，由条件确定的轨迹，结合锥体体积公式判断；对于B，由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断；由条件确定轨迹，将原问题转化为平面上两点间的距离最小问题求解；对于C，由条件确定点的轨迹为圆弧，利用弧长公式求轨迹长度即可判断；对于D，把沿着进行翻折，使得，A，B，P四点共面，再由勾股定理和余弦定理求出长度.
此时有最小值.
【详解】对于A，取的三等分点分别为，如图所示，

因为，所以，
令，，则，所以．
因为，
所以的面积为定值，点P到平面的距离也是定值，故A正确．
对于B，

若外心为O，过点O作于点H，则H是的中点．
因为，
所以，故B错误．
对于C，

在平面中作，
显然平面，由长度和角度，可得．
在中，，
所以，则点Q在以为圆心，为半径的圆上运动．
设此圆与交于点，因为且，
所以，则点Q的轨迹长度是．故C正确．
对于D，若且，则点Q与点P重合．
把沿着进行翻折，使得，A，B，P四点共面，

此时有最小值AP（这里和后面的A均为翻折后的点）．
在中，，，，满足勾股定理，
所以，从而，
在中，由余弦定理得，故D正确．
故选：ACD
【点睛】本题解决的关键在于根据所给条件结合线面位置关系确定点的轨迹，再结合锥体体积公式，空间图形与平面图形的转化解决问题.
三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分）
12. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为_______m.
【答案】
【解析】
【分析】在中由正弦定理可求得，进而即可求解树的高度.
【详解】在中，，，，
，
在中，由正弦定理得，
所以，
所以树的高度为.
故答案为：.
13. 在△ABC中，O是BC边上靠近点B的五等分点，过点O的直线与射线AB，AC分别交于不同两点M，N，设，则______．
【答案】5
【解析】
【分析】根据向量的加减运算表示出，利用三点共线可得即可求得答案.
【详解】由题意知，
由于M、O、N三点共线，可知，
所以，
故答案为：5.
14. 在中，D是边上靠近B的三等分点，若，.①面积的最大值_______；②的最小值_______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】第一空：根据余弦定理和基本不等式可求的最大值，再利用三角形的面积公式求最大值即可；第二空：在中，由正弦定理得，由，根据余弦定理表示方程，进而可将表示成关于角的三角函数，即可求的最小值.
【详解】第一空：
在中，由余弦定理得，
又，，所以，
当且仅当，即为等边三角形时等号成立，所以，
又D是边上靠近B的三等分点，所以，即的面积的最大值为.
第二空：中，，，由正弦定理，得，
又，所以，
因为，所以，
由余弦定理，得，
将代入上式，化简得，
所以，
其中，当，即时，取得最小值，
因此，取得最小值.
故答案为：①；②.
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 设，，向量，，，且，．
（1）求；
（2）求向量与夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平面向量的垂直与共线，列出方程组求解的值，从而可得的坐标，再利用模的运算公式求解即可；
（2）由向量的坐标运算可得，计算，然后结合向量夹角公式即可求得夹角余弦值．
【小问1详解】
向量，，，且，，
可得且，解得，，
即，，则，
则；
【小问2详解】
因为，，
所以，，
设向量与夹角为，
则，
即向量与夹角余弦值为．
16. 已知中，.
（1）求的值；
（2）为边的中点，若，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由同角的三角函数关系，正弦定理边化角，余弦定理求解即可；
（2）设，由余弦定理求解即可；
【小问1详解】
，
即，由正弦定理角化边可得，
由余弦定理可得；
【小问2详解】
设，由余弦定理结合（1）得，即，
在中，，在中，，
所以，即，所以，
所以，等式两边同时除以可得，
解得或（舍去），所以.
17. 如图，在四棱台中，底面是正方形，平面，，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）由棱台的性质可证得，再根据线面平行的判定定理可得证；
（2）根据条件，利用几何关系求得及面积公式求得，再利用等体积法，即可得出点到平面距离．
【小问1详解】
连接BD，交AC于O，连接，
∵四边形是正方形，∴，
由棱台的性质可得，
由，，
可得，则，，
∴四边形是平行四边形，则，
又∵平面， 平面，
∴平面；
【小问2详解】
因为平面，所以直线到平面的距离等于到平面的距离，
取中点，连，，因为，且，
所以是平行四边形，则，而平面，
故平面，又平面，故，
，得，
又，所以，
所以，
所以，
设到平面的距离为，又因为平面，到平面的距离为，
因为，所以，
所以
故直线到平面的距离为.
18. 已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角的平分线，CB与AD相交于点O，，，.
（1）求的值；
（2）求的长；
（3）若，求的面积.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）因为，利用二倍角公式直接求解即可；
（2）在中，由余弦定理先求出，再求出，再把分成两个三角形，即和，利用三角形的面积公式列出等式，即可求出；
（3）方法一，在中，利用正弦定理先求出，的正弦及余弦值，利用差角的正弦公式求出，在中，由余弦定理求出，再利用求面积即可；方法二，在等腰中，由去求，得到与的比例关系，从而得到与及与的比例关系，即可求出的面积.
【小问1详解】
因为，对角线为钝角的平分线，
所以，
解得或（舍），
所以；
【小问2详解】
由题意，在中，由余弦定理可得
，
即，
整理可得，解得或（舍去），
因为，所以，
又因为，
所以，
所以，
解得；
【小问3详解】
方法一：在中，由正弦定理可得，
即，所以，
因为为钝角，所以，
因为，所以，
所以，所以，
在中，由余弦定理可得
，
解得，
因为
，
所以；
方法二：在中，由，
可得，所以，
所以，所以，
又由于，从而，即，
所以，
，
所以.
19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．
（1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
（2）如图，已知在三棱锥中，平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．

①求直线PC与直线AB所成角的余弦值；
②若点Q在棱PB上运动，求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值．
【答案】（1）2 （2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据离散曲率的定义计算即可
（2）①首先证明，再由点处的离散曲率可求出，从而其它相应的线段都可计算，
把与平移至中位线处，得出为异面直线与的夹角或其补角，在用余弦定理求解即可.
②首先是把线面角做出，设，再把角的三角函数值表示成的函数，最后转化为函数最值问题.
【小问1详解】
由离散曲率的定义得：，
，
，
，
四个式子相加得：.
【小问2详解】
①如图，分别取的中点，连接，显然有，
所以为异面直线与的夹角或其补角，设，因为，所以，，

因平面，平面，所以，，，，
因为，，所以平面，又因为平面，所以，
由点处的离散曲率为可得，
所以，，，而，，
所以，故异面直线与的夹角的余弦值为.
②如图，过点做交与，连接，因为平面，所以平面，
则为直线与平面所成的角，设，
在中，
因为，所以，所以，
故，
当分母最小时，最大，即最大，此时，即（与重合），，所以的最大值为.