2024-2025学年湖南省长沙市雅礼教育集团高一下学期3月月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省长沙市雅礼教育集团高一下学期3月月考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.▵ABC中，已知a=5,b=4,C=120∘，则边c为( )
A. 41B. 41或 61C. 61D. 21
2.若sin (π+α)+cs (π2+α)=−m，则cs (3π2−α)+2sin (2π−α)的值为 ( )
A. −2m3B. 2m3C. −3m2D. 3m2
3.已知非零向量a,b满足向量a+b与向量a−b的夹角为π2，那么下列结论中一定成立的是( )
A. a=bB. a=bC. a⊥bD. a//b
4.若角θ满足sinθtanθ0在区间−π4,π3上是增函数，若函数fx在0,π2上的图象与直线y=2有且仅有一个交点，则ω的范围为( )
A. 2,5B. 1,5C. 1,2D. 1,32
8.如图，在▵ABC中，∠A=90 ∘，∠B=60 ∘，AB=2，D为线段AC的中点，DM⊥BC，E为线段DM的中点，
F为线段AB上的动点，则EF⋅AB的最大值与最小值的差为( )
A. 134B. 5C. 3D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组向量中，不能作为基底的是( )
A. e1=(1,0)，e2=(0,1)B. e1=(1,2)，e2=(−2,1)
C. e1=(3,−4)，e2=(−3,4)D. e1=(2,6)，e2=(−1,−3)
10.已知函数f(x)=cs2x−2 3sinxcsx，则下列命题正确的是( )
A. f(x)的最小正周期为π；
B. 函数f(x)的图象关于x=π3对称；
C. f(x)在区间上0,π2单调递减；
D. 将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度后所得到的图象与函数y=2cs2x的图象重合．
11.在▵ABC中，AB=AC=5,BC=6,P为▵ABC内的一点，AP=xAB+yAC，则下列说法正确的是( )
A. 若P为▵ABC的重心，则x+y=12
B. 若P为▵ABC的外心，则PB⋅BC=−18
C. 若P为▵ABC的垂心，则x+y=716
D. 若P为▵ABC的内心，则x+y=58
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知|a|= 3,|b|=1,|a−2b|= 6，则a⋅b= ．
13.已知cs7π8−α=15，则csπ8+α= ．
14.对集合A={−1,2,x,y}，其中x>0，y>0，定义向量集合Ω={a|a=(m,n)，m，n∈A}，若对任意a1∈Ω，存在a2∈Ω，使得a2⊥a1，则x+y= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=12sin(2x−π3)，x∈R，
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间[−π4,π4]上的最大值和最小值．
16.(本小题15分)
如图所示，在△ABC中，D为BC边上一点，且BD=2DC.过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点(E,F两点不重合)．
(1)用AB，AC表示AD;
(2)若AE=λAB，AF=μAC，求1λ+2μ的值．
17.(本小题15分)
已知α,β∈(0,π2)，其中cs2α=725,sin(α−β)=−2 25．
(1)求cs(α−π4)的值；
(2)求sinβ的值．
18.(本小题17分)
在▵ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，asinA−bsinB= 3asinC−csinC且csA⋅csB⋅csC>0
(1)求角B的值；
(2)若a=2，求▵ABC的周长的取值范围．
19.(本小题17分)
城市住宅小区的绿化建设是提升小区品质、改善空气质量、创造美丽怡人的居住环境的重要组成部分．如图1，长沙市某小区居民决定在小区内部一块半径长为20 m的半圆形荒地上建设一块矩形绿化园CDEF，其中C，D位于半圆O的直径上，E，F位于半圆O的圆弧上，记∠DOE=α．
图1 图2
(1)求矩形CDEF的面积S关于α的函数解析式，并求该矩形面积的最大值以及取得最大值时α的值．
(2)部分居民提出意见，认为这样的绿化园建设太过单调，一名居住在本小区的设计师提出了如图2所示的绿化园建设新方案：在半圆O的圆弧上取两点M，N，使得∠AOM=∠BON=π4，扇形区域AOM和BON均进行绿化建设，同时，在扇形MON内，再将矩形区域GHPQ也全部进行绿化建设，其中G，H分别在直线OM，ON上，GH与AB平行，P，Q在扇形MON的圆弧上，请问：与(1)中的原方案相比，选择哪一种方案所得到的绿化面积的最大值更大？
参考答案
1.C
2.C
3.B
4.B
5.A
6.D
7.D
8.D
9.CD
10.ABD
11.BCD
12.14
13.−15
14.5或1+ 2
15.解：(1)T=2π|ω|=2π2=π故f(x)的最小正周期为π；
(2)∵x∈[−π4,π4]，
∴2x−π3∈[−5π6,π6]
由y=sint的图像可知：
当2x−π3=π6时，f(x)的最大值为12×12=14；
当2x−π3=−π2时，f(x)的最小值为12×−1=−12．
所以f(x)的最大值为14；最小值为−12．
16.解：(1)在△ABD中，由AD=AB+BD，
又BD=2DC，
所以BD=23BC，
所以AD=AB+BD=AB+23BC
=AB+23(AC−AB)
=AB−23AB+23AC
=13AB+23AC．
(2)因为AD=13AB+23AC，
又AE=λAB，AF=μAC，
所以AB=1λAE，AC=1μAF，
所以AD=13λAE+23μAF，
又D，E，F三点共线，且A在线外，
所以有：13λ+23μ=1，
即1λ+2μ=3．

17.解：(1)依题意，cs2α=2cs2α−1=1−2sin2α=725，
因为α∈(0,π2)，解得sinα=35,csα=45，
故cs(α−π4)=csαcsπ4+sinαsinπ4=45× 22+35× 22=7 210；
(2)因为sin(α−β)=−2 25，且α,β∈(0,π2)，
故α−β∈(−π2,0)，则cs(α−β)= 1−sin2(α−β)= 175，
故sinβ=sin[α−(α−β)]=sinαcs(α−β)−csαsin(α−β)
=35× 175−45×(−2 25)=3 17+8 225．
18.【详解】(1)由asinA−bsinB= 3asinC−csinC，
可得，a2−b2= 3ac−c2，即a2+c2−b2= 3ac，
由余弦定理得：csB=a2+c2−b22ac= 3ac2ac= 32，
因为B∈(0,π)，所以B=π6．
(2)由csA⋅csB⋅csC>0，则csA>0，csB>0，csC>0，
所以A,B,C均为锐角，
在锐角▵ABC中，a=2，B=π6，
由正弦定理得：2sinA=bsinπ6=csinC，
故b=1sinA，c=2sinCsinA=2sinA+π6sinA= 3sinA+csAsinA，
则b+c= 3sinA+csA+1sinA= 3+1+1csAtanA= 3+1+ 1+tan2AtanA
= 3+1tanA+ 1tan2A+1，
因为锐角▵ABC中，B=π6，
则A∈0,π2，C=π−π6−A∈0,π2，
解得：A∈π3,π2，
故tanA∈( 3,+∞)，1tanA∈0, 33，
则 1tan2A+1∈1,2 33， 3+1tanA+ 1tan2A+1∈(1+ 3,2 3)，
故b+c∈(1+ 3,2 3)，a+b+c∈(3+ 3,2+2 3)
所以三角形周长的取值范围是(3+ 3,2+2 3)．

19.解：(1)如图，作OI与DE平行，交EF于I，
∵OI与DE平行，四边形CDEF为矩形，
∴OI⊥EF，OI⊥CD，
∴OI垂直平分EF，OI垂直平分CD，
∴CD=2OD;
∵DE=OE⋅sinα=20sinα，OD=OE⋅csα=20csα，
∴S=DE⋅CD=DE⋅2OD=20sinα⋅2×20csα
=400×2sinαcsα=400sin2α(0