1.7 正方形 课件 2026年春湘教版数学八年级下册

1.7 正方形湘教·八年级下册新课导入 瓷砖（如下图）的形状大多是正方形，它是什么样的四边形呢？它与平行四边形、矩形、菱形有什么关系？正方形的四条边都相等，四个角都是直角.正方形是有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形.正方形是一组邻边相等的矩形.正方形是有一个角是直角的菱形.试着用一张长方形纸片折出一个正方形.新知探究 我们把有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.定义有一个角是直角一组邻边相等一组邻边相等有一个角是直角说一说，正方形具有哪些性质？正方形的四条边都相等.AB=BC=CD=DA正方形的四个角都是直角.∠A=∠B=∠C=∠D=90°正方形的对角线相等，且互相垂直平分.AC=BD且AC⊥BD，OA=OC，OB=OD 请根据平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系，在下图中适当的空白处填上它们的名称.平行四边形矩形菱形正方形（1）正方形是中心对称图形吗？若是，它的对称中心是什么？（2）正方形是轴对称图形吗？若是，它的对称轴是什么？正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴.证明因为四边形 ABCD 为正方形，所以 AD = CD，∠A = ∠DCF = 90°.因为 DF⊥ DE，所以∠EDF = 90°，即 ∠1+∠3 = 90°.又因为∠2 +∠3 = 90°，∴∠1 = ∠2.因此△AED≌△CFD（角边角），从而 DE = DF.例1 如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 AB 上任意一点，过点 D 作 DF⊥DE， 交 BC 的延长线于点 F.求证：DE = DF.观察示意图，如何判断一个四边形是正方形？ 先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等. 先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角是直角.例2 如图， 已知点 A′，B′，C′，D′ 分别是正方形 ABCD 四条边上的点，并且 AA′ = BB′ = CC′ = DD′.求证：四边形 A′B′C′D′ 是正方形.又因为AA′ = BB′，所以 A′B = B′C.又因为∠B =∠C= 90°， B′B′ = CC′，所以△BB′A′≌△CC′B′（边角边），从而 B′A′ = C′B′.同理可证，△AA′D′≌△DD′C′，△AA′D′≌△BB′A′.于是 A′D′= D′C′= C′B′= B′A′. 因此四边形 A′B′C′D′ 是菱形.又因为∠1 =∠3，∠1 +∠2 = 90°，所以∠2 +∠3 = 90°.于是∠D′A′B′= 90°. 因此四边形 A′B′C′D′ 是正方形.证明 因为四边形 ABCD 是正方形，所以AB = BC.对边平行 且相等对角相等两条对角线互相平分中心对称对边平行且相等四个角都是直角两条对角线互相平分且相等轴对称中心对称对边平行，四条边都相等对角相等两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角轴对称中心对称几种特殊四边形的性质对边平行，四条边都相等四个角都是直角两条对角线互相垂直平分且相等， 每条对角线平分一组对角轴对称中心对称特殊四边形的常用判定方法 平行 四边形（1）两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等；（4）两条对角线互相平分；（5）两组对角分别相等矩形（1）有三个角是直角；（2）有一个角是直角的平行四边形；（3）两条对角线相等的平行四边形 菱形（1）四条边都相等；（2）有一组邻边相等的平行四边形；（3） 两条对角线互相垂直的平行四边形正方形（2）有一组邻边相等的矩形；（3）有一个角是直角的菱形平行且相等；（1）有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形；（3）一组对边1. 已知正方形的一条对角线长 4 cm，求它的边长和面积.【选自教材P42 练习 第1题】解：设正方形的边长为x cm，根据勾股定理，得x2 + x2=42，解得 （舍去） .∴ S正方形 = x2 = 8 (cm2).∴ 正方形的边长为 cm，面积为 8 cm2.随堂练习2. 如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么这个矩形一定是正方形吗？为什么？理由：由两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得此矩形的四条边都相等，即为正方形.答：是正方形.【选自教材P42 练习 第2题】3. 如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 为菱形 AEFC 的一边，求 ∠FAB 的度数.解：在正方形 ABCD 中，∵ AC 为对角线，∠DAB = 90°，∴AC 平分∠DAB，即∠CAE = ∠DAC = 45°.【选自教材P42 练习 第3题】又∵在菱形 AEFC 中，AF 为对角线，∴AF 平分∠CAE，即∠FAB = ∠CAF = 22.5°. 1. 说一说正方形的定义。2. 正方形有哪些性质？3.如何判定一个四边形是正方形？课堂小结1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.课后作业