广东省广州市2026届高三下学期一模数学试题 含解析

这是一份广东省广州市2026届高三下学期一模数学试题 含解析，共22页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用 2B 铅笔
在答题卡的相应位置填涂考生号．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂
黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的
相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不
按以上要求作答无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件，利用复数的运算得 ，再由共轭复数的定义，即可求解.
【详解】因为 ，则 ，
所以 .
2. 集合 的子集个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
【答案】D
【解析】
【详解】解不等式 得 ，则集合 ，有 3 个元素，
则集合 的子集个数为 .
第 1页/共 22页
3. 已知函数 ，则 （ ）
A. B. 0 C. D. 2
【答案】B
【解析】
【详解】因为 ，所以 ，所以
.
4. 函数 的最小正周期是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】因为
，所以最小正周期为 .
5. 已知向量 ， ，向量 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】设 .
已知 ， ，所以 .
则 ，即 .
因 表示点 到原点的距离，而点 是直线 上的点，
故 的最小值即为原点到直线 的距离 ，
第 2页/共 22页
因为点 在直线 上，所以 可无限大，
所以 的取值范围是 .
6. 函数 在区间 上的极值点个数为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，求得 ，令 ，求得 或 ，结合正弦函数的性质，
以及函数极值点的定义，即可求解.
【详解】由函数 ，可得 ，
令 ，即 ，可得 或 ，
因为 ，可得 ，
当 时， ，所以 ， 单调递增；
当 时， ，所以 ， 单调递减；
当 时， ，所以 ， 单调递增；
当 时， ，所以 ， 单调递增；
当 时， ，所以 ， 单调递减；
当 时， ，所以 ， 单调递增，
所以 在 上递增，在 上递减，在 上递增，
在 上递增，在 上递减，在 上递增，
其中 两侧函数的单调性相同，可得 不是函数 的极值点，
所以 在区间 的极值点为 ，共有 4 个.
故选：A.
7. 已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，圆 ： 与 交于 ， 两点，若
第 3页/共 22页
直线 与直线 的斜率之积为 ，则 （ ）
A. 3 B. C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】先由已知条件解出 ， 两点坐标，再由焦半径公式求得 .
【详解】由圆 ： 可知，圆心 ，半径为 .
而圆 和抛物线 都关于 轴对称，则可设 ， .
由 ，得 .
因为点 在圆 上，又有 ，即 ，
而 ，则解得 ，所以 .而点 又在抛物线 上，
则有 ，所以 ，则 .
所以 .
8. 在正三棱柱 中， ， ，点 是平面 上的动点，则 的最
小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“胡不归”模型的概念，将 转化为点到面的距离，进而判断最小值时的情况，再根据
两角和的正弦公式，即可求出结果.
第 4页/共 22页
【详解】
如图所示，将 绕点 逆时针旋转 得 ，过 作 于 ，
则点 形成的面 与面 夹角为 ，
则 ，则 的最小值等价于 的最小值，即点 到面 的距离，
将 绕点 逆时针旋转 得 ，过 作 于 ，可知 ，
可知 ， ，所以 ， ，
则 ，
可知 ，解得 ，
所以 的最小值为 .
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量 （单位： ）服从正态分布 ，且
第 5页/共 22页
， ．从该流水线上随机抽取 4 件产品，这 4 件产品中质量 在区间
上的件数记为 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由正态分布对称性可判断 AB；由二项分布的知识判断 CD.
【详解】A 选项，由 ，得 ，
故 ，
由正态分布的对称性可知 ，A 正确；
B 选项， ，B 正确；
C 选项，由题意得 ，故 ，C 错误；
D 选项， ，D 正确.
10. 已知 ，则下列命题正确的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】BC
【解析】
第 6页/共 22页
【分析】利用和差化积公式与三角函数在区间 内的单调性、取值范围，通过公式变形可逐一验证选
项.
【详解】对于 A：已知 ，则 ，根据和角公式：
，故 A 错误；
对于 B：利用和差化积公式： ，因为 且 ，所以
，则 对任意的 成立，故 B 正确；
对于 C：已知 ， ，不妨设 ，则 ，
因为 ， ，
且 ，所以 ，
又因为余弦函数在 上单调递减，所以 ，
两边同乘正数 得： ，
即 ，故 C 正确；
对于 D：因为 ，所以原不等式等价于
，两边同时除以 2，得：
当 时： ，两边除以正数 ，得 ，因为 ，所以
， ，此时不等式成立；
当 时： ，两边除以负数 ，不等号方向改变，得 ，但 的
最大值为 1，不可能大于 1，此时不等式不成立，故 D 错误.
11. 已知曲线 的方程为 ，集合 ，若对任意的 ，都存在
，使得 成立，则称曲线 为 曲线．下列方程所表示的曲线为 曲线的是（
第 7页/共 22页
）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】令 ， ，问题化为过定点 且与直线 平行或重合的直线与曲
线 有交点 ，结合各项对应曲线的图形分析是否满足题设.
【详解】令 ， ， ，
等价于过定点 且与直线 平行或重合的直线与曲线 有交点 ，
对于 A： 如下图， ，
如图示，其中任意点 在曲线上运动，都存在一点 ，使直线 平行或重合，满足题设，
对于 B： 如下图，且 ，
如图示，其中任意点 在曲线上运动，都存在一点 ，使直线 平行或重合，满足题设，
对于 C： 如下图， ， ，则 ，
若 与曲线相切且 为切点，则 ，故 ，此时
令 ，则 ，即 ，故 ，即有 与 相切于 ，
第 8页/共 22页
如图示，此时不存在一点 ，使直线 平行或重合，不满足，
对于 D： 如下图， ， ，
如图示，其中任意点 在曲线上运动，都存在一点 ，使直线 平行或重合，满足题设，
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知椭圆 （ ）的离心率为 ，则 ______．
【答案】4
【解析】
【详解】显然 ，故 ，解得 .
13. 已知函数 为奇函数，当 时， （ ），若 在 上单调递增，
则 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，利用函数的对称性，得 在区间 上单调递增，再由二次函数的性质，即可求
解.
【详解】因为函数 为奇函数，所以 关于点 中心对称，
第 9页/共 22页
又 在 上单调递增，则 在区间 上也单调递增，
又当 时， （ ），对称轴为 ，
当 时， 的图象开口向下，且 ，此时 在区间 上单调递减，
不合题意，
所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 .
14. 某公园里有一块边长分别为 30 米，40 米，50 米的三角形草坪（记为 ），点 ， 在 的
边上，线段 把草坪分成面积相等的两部分．如果沿 铺设灌溉水管，则水管的最短长度为______米．
【答案】20
【解析】
【分析】分别讨论 在各个边的情况，结合三角形面积公式与基本不等式即可求得水管的最短长度.
【详解】由 ，可得 是直角三角形，其面积 ，
不妨设 ，
①若 在 上，如图：
设 ，
则有 ，解得 ，
，即 ，
当且仅当 时等号成立；
②若 在 上，如图：
第 10页/共 22页
设 ，
则有 ，解得 ，
，即 ，
当且仅当 时等号成立；
③若 在 上，如图：
设 ，
则有 ，解得 ，
，即 ，
当且仅当 时等号成立；
因为 ，所以 的最小值为 20，即水管的最短长度为 20 米.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列 的首项 ，且满足 ．
（1）证明：数列 为等比数列；
（2）若数列 的前 项和 小于 120，求 的最大值．
【答案】（1）证明见解析
第 11页/共 22页
（2）
【解析】
【分析】（1）令 ，得 ，代入已知条件整理即可得证；
（2）根据（1）中结论可得数列 的通项，应用分组求和及等差等比的前 n 项和公式求 ，利用单
调性及 能成立求参数的最大值.
小问 1 详解】
令 ，则 ，于是 ，结合已知有 ，
所以 ，即 ．
因为 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．
即数列 为等比数列．
【小问 2 详解】
由（1）知， ，则 ，
则 ，
令 ，整理得 ，而 在 上单调递增，
且 ，
所以 ， 的最大值为 ．
16. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的菱形， ， 平面 ，
点 是棱 的中点．
第 12页/共 22页
（1）求证： ；
（2）若点 到平面 的距离为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，证得 和 ，利用线面垂直的判定定理，证得 平面
，进而证得 ；
（2）取 的中点 ，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设 ，求得向量 和
平面 的法向量 ，利用向量的距离公式，列出方程，求得 ，再由 的一个法向量
为 ，结合向量的夹角公式，即可求解.
【小问 1 详解】
取 的中点 ，连接 ，
因为点 是棱 的中点，所以 ，
又因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
由底面 为菱形，且 ，可得 为等边三角形，
因为 是 的中点，所以 ，
又因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
【小问 2 详解】
取 的中点 ，连接 ，因为 是 的中点，可得 ，
因为 ，所以 ，
第 13页/共 22页
又因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，
以 坐标原点，以 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，
设 ，可得 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，可得 ，
令 ，可得 ，所以 ，
因为点 到平面 的距离为 ，可得 ，
则 ，解得 ，所以 ，所以 ，且 .
又因为平面 与 轴所在直线垂直，所以平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 夹角为 ，可得 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值 .
17. 甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标进行射击，直至有人命中目标，比赛结束，命中目标者
获胜．假设甲每次射击命中目标的概率均为 （ ），乙每次射击命中目标的概率均为
（ ），各次射击结果互不影响．
（1）若甲先射击，甲第 2 次射击且获胜的概率为 ，求 （用 ， 表示）；
第 14页/共 22页
（2）若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求 的最小值．
参考公式：若 ，则 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）判断出甲第 2 次射击且获胜的情形，利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可.
（2）分别求出乙先射击，甲、乙获胜的概率，根据题意列出不等式求解即可.
【小问 1 详解】
甲第 2 次射击且获胜，即甲第 1 次未命中，乙第 1 次未命中，甲第 2 次命中.
所以 .
小问 2 详解】
设乙先射击并获胜的概率为 ，甲获胜的概率为 .
乙获胜的情况为：
乙第 1 次射击并命中，概率为 ；
第 1 轮甲乙均未命中，乙第 2 次射击并命中，概率为 ；
第 2 轮甲乙均未命中，乙第 3 次射击并命中，概率为 ；
第 轮甲乙均未命中，乙第 次射击并命中，概率为 ；
这是一个首项为 ，公比为 的无穷等比数列，所以 .
甲获胜 情况为：
第 1 轮乙未命中，甲命中，概率为 ；
第 2 轮乙未命中，甲命中，概率为 ；
第 3 轮乙未命中，甲命中，概率为 ；
第 15页/共 22页
第 轮乙未命中，甲命中，概率为 ；
这是一个首项为 ，公比为 的无穷等比数列，所以 .
由题意知， 恒成立，即 恒成立，
因为 ， ，所以 ，
所以 恒成立，即 .
因为 ，所以 ， ，所以 .
所以 的最小值为 .
18. 已知函数 ．
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）若 有且仅有 1 个零点，求 的值；
（3）若存在 ，使得 对任意 恒成立，证明： ．
【答案】（1） 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）
（3）证明见解析；
【解析】
【分析】（1）先求定义域，再对函数 求导，利用导数即可得到单调区间；
（2）由 有且仅有 1 个零点，分离参数得到 有且仅有 1 个解，令
， 利用导数得到 的单调性和最小值 ，所以 .
（3）由 对任意 恒成立，得到 ，则只需证明 即可，
利用导数得到 最大值为 .因此 ，再令
，得到 时 取得最大值 ，因此
第 16页/共 22页
，即 ，故 得证.
【小问 1 详解】
当 时， ，定义域为 ，
求导得到 ，
令 ，则当 时 ，
所以 在 内单调递减，且 ，
即 在 内单调递减，且 ，
所以当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减；
综上所述， 单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
【小问 2 详解】
因为 有且仅有 1 个零点，
所以方程 有且仅有 1 个解，
即 有且仅有 1 个解，
令 ， ，
则 ，
令 ，则 ，
所以 在区间 上单调递增，
又因为 ，
所以当 时， ，即 ， 单调递减；
当 时， ，即 ， 单调递增；
所以函数 在 处取得极小值也是最小值 ，
第 17页/共 22页
当 时， ， 时， ，
因为 有且仅有 1 个解，
所以 .
【小问 3 详解】
因为 对任意 恒成立，
所以 ，即 ，
因此 ，
要证 ，只需证明 即可，
对函数求导得到 ，
令 ，则 ，
所以 在区间 单调递减，
即 在区间 单调递减，
存在唯一极大值点 ，满足 ，即 ，
在 内 函数 单调递增，
内 函数 单调递减，
所以当 时取得极大值也是最大值
.
因此 ，
令 ，则 ，
第 18页/共 22页
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
故 在 时取得最大值 ，
因此 ，
所以 ，所以 ，
故 得证.
19. 已知双曲线 ： （ ， ）的焦点到其渐近线的距离为 ，点 在 上．
（1）求 的方程；
（2）点 ， 分别在 的两条渐近线上运动，且 ，线段 的中点为 ．
（ⅰ）设 ， ，求 的最大值；
（ⅱ）设 ， （ ），点 不在 轴上，若 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）4；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）由焦点到渐近线的距离求得 ，再将点 代入到双曲线方程即可求解；
（2）（i）设出渐近线上的点 ，由中点坐标和 得出 的轨迹为椭圆 ，发现
为其焦点，结合椭圆的定义即可求得 ，再使用基本不等式即可求解；（ⅱ）由
及正弦定理，用坐标表示 ，并使用三角函数恒等变换和椭圆方程消去 ，
得到比值关于 的表达式，结合 的取值范围即可求解.
【小问 1 详解】
第 19页/共 22页
设右焦点 ，其中一条渐近线方程为 ，即 ，
由题意得 到 的距离 ，
即 ，因为点 在 上，
将 代入，得 ，解得 ，
即双曲线 .
【小问 2 详解】
（i）由（1）得渐近线方程为 ，设 ，
设 ，则有 ，即 ，
则 ，
所以 ，
即 ，整理得 ，
即 的轨迹是椭圆 ，易得其焦点为 ，长半轴长为 2，
所以 是点 轨迹的焦点，所以 ，
则 ，当且仅当 时等号成立.
第 20页/共 22页
（ⅱ）在 中，由正弦定理得 ，
因为 ，所以 应在 轴右侧，即 ，
且 ，
所以 ，设 ，则 ，
不妨令 ，因为 在 上，且 ，
所以 ，
又 ，
联立 ，整理得 ，
而 ，解得 ，
设 ，则 ，
易得当 时 ，则 在 上单调递增，
所以 ，即 ，因为 短半轴长为 1，因此 ，
由 整理得 ，
因为 ，解得 ，
第 21页/共 22页
因为 ，代入 ，所以整理得 ，
令 ，则 ，则 ，代入 ，
整理得 ，
设 其中 ，
易得当 时 单调递增，则 单调递减， 单调递增， 单调递增，
单调递增， 单调递增，最终有 在 上单调递增，
所以 ，即 .
由于椭圆的对称性，当 时结果一致，
综上，
第 22页/共 22页