2026年广东省广州市高三下学期高考一模数学试题（含答案）

这是一份2026年广东省广州市高三下学期高考一模数学试题（含答案），文件包含广东省广州市2026年普通高中毕业班综合测试一数学试题含答案docx、2026年广州市普通高中毕业班综合测试一数学解析答案pdf、2026年广州市普通高中毕业班综合测试一数学pdf等3份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若z(2+i)=5, 则 z=
A. - 2+iB. 2-iC. 2+iD. - 2-i
2.集合 A=x∈Z∣x2−2x≤0的子集个数为
A. 3B. 4C. 7D. 8
3.已知函数f（x）= lg3 x−1,， x＞1 3x ， x≤1，则f(f(lg₃2))=
A. - 1B. 0C. lg₃2D. 2
4.函数 fx=sinx+π6 sin π3−x的最小正周期是
A. 2π B. 3π2C. πD. π2
5. 已知向量a=(2,3), b=(0,1), 向量c满足c·(a-b)=1, 则|c|的取值范围是
A. 2 4+∞ B. 02 4 C. 18+∞ D. 0 18
6. 函数f(x)= sinx-xcsx在区间(-3π,3π)上的极值点个数为
A. 4B. 5C. 6D. 7
7.已知抛物线 C:y2=2px（p＞0）的焦点为F，圆. M:x+12+y2=16与C交于A, B两点，若直线AM 与直线BM 的斜率之积为-3，则|AF|=
A. 3B. 72C. 4D. 5
8.在正三棱柱 ABC−A1B1C1中， AB=2,AA1=1, 点 D 是平面ABC上的动点，则 A1D+22CD的最小值是
A. 524B. 322C. 534D. 332
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量X (单位：g)服从正态分布N(μ,σ²),且 P(X＜14)=18,PX≤18=78.从该流水线上随机抽取4件产品，这4件产品中质量X在区间[14，18]上的件数记为ξ，则
A. μ=16B. P14≤X≤18=34
C. Pξ=1=2764D. E(ξ)=3
10.已知x≠y，则下列命题正确的是
A. ∃x,y∈0 π2 ,sinx+siny＜sinx+y
B. ∀x,y∈0 π2 ,sinx+siny＜2sinx+y2
C. ∃x,y∈0 π2 ,sinx−siny＜sinx−y
D. ∀x,y∈0 π2 ,sinx−siny＜2sinx−y2
11. 已知曲线 C 的方程为 F(x,y)=0, 集合 T=xy∣Fxy=0, 若对任意的 x1y1∈T,都存在 x2y2∈T,使得 x1y2−2=x2y1成立，则称曲线C为α曲线.下列方程所表示的曲线为α曲线的是
A. x2+y2=5B. x-y-1=0C. y= lnxD. y=e−x−2
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分.
12.已知椭圆 x2m+1+y2m=1（m＞0）的离心率为 55 , 则m= .
13. 已知函数f(x+1)为奇函数, 当x＜1时, fx=ax2−xa≠0,若f(x)在 1 32 上单调递增，则a的取值范围是 .
14.某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪(记为△ABC)，点D，E在△ABC的边上，线段DE 把草坪分成面积相等的两部分.如果沿DE 铺设灌溉水管，则水管的最短长度为 米.
四、解答题：本题共5 小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知数列{an}的首项a1=23 , 且满足 1an+1=an+12an.
(1)证明：数列 1an−1 为等比数列；
(2)若数列 1an+n 的前n项和 Sn小于120，求n的最大值.
16.(15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形， ∠ABC=60∘,
PA⊥平面ABCD, 点E 是棱 PB的中点.
(1) 求证: AB⊥CE;
(2)若点B 到平面PCD的距离为 32 ，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.
17.(15分)
甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标进行射击，直至有人命中目标，比赛结束，命中目标者获胜.假设甲每次射击命中目标的概率均为α(0＜α＜1),乙每次射击命中目标的概率均为β(0＜β＜1)，各次射击结果互不影响.
(1)若甲先射击，甲第2次射击且获胜的概率为p，求p(用α，β表示)；
(2)若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求β的最小值.
参考公式: 若0＜q＜1, 则 l=0∞ q'=1+q+q2+q3+⋯=11−q.
18. (17分)
已知函数f(x)=(1-2x) lnx+ ax-1.
(1) 若a=1, 求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)有且仅有1个零点，求a的值；
(3) 若存在a, 使得f(x)≤a+b对任意x＞0恒成立, 证明: a-b＜4.
19.(17分)
已知双曲线 C： x 2a 2－ y 2b2=1（a＞b＞0）的焦点到其渐近线的距离为. 2 , 点 22
在C上.
(1) 求C的方程;
(2)点A，B分别在C的两条渐近线上运动，且 ∣AB∣=22,线段AB的中点为M.
(i)设 E03,F0−3,求|ME|·|MF|的最大值;
(ii) 设P(-t,0), Q(t,0)(t＞1),点M 不在x轴上，若 ∠MQP=2∠MPQ,
求 ∣MP∣∣MQ∣的取值范围.
参考答案
1-8.
【答案】C
【答案】D
【答案】B
【答案】C
【答案】A
【答案】A
【答案】C
【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】CD
11.【答案】ABD
12.【答案】4
13.【答案】[1,+∞)
14.【答案】20
15. 11an+1=an+12an=12×an+12,
两边同时-1，有 1an+1−1=121an−1,
所以 1an+1−11an−1=12(常数),
所以 1an−1是首项为 12,，公比为 12的等比数列.
(2)设数列 1an的前 n 项和为 Tn,
所以 Tn−n=1−12n,所以 Tn=n+1−12n,
所以 Sn=Tn+1+2+⋯+n=n+1−12n+1+nn2=n+1n+22−12n
16.(1)取 AB 中点 F ,连接 AC,FC,EF
因为平行四边形 ABCD 是菱形， ∠ABC=60∘,所以 △ABC是等边三角形
又因为 F 是 AB 中点，所以 CF⟂AB
又因为 E,F 分别是 PB,AB 中点,所以. EF‖AP
又因为 AP⊥底面 ABCD,AB⊂底面 ABCD ,所以 AP⊥AB
所以 EF⊥AB
又因为 FC⊥AB,EF,FC⊂平面 EFC,EF∩FC=F
所以 AB⟂平面EFC
又因为 EC⊂∓面EFC,所以 AB⊥CE
(2)连接 AC,BD 交于点 O ,以 O 为原点张云帆讲数学
分别以 OB，OC 平行于 AP 的直线为 x 轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系 B300,C010,D−300
设 AP=a ,所以 P(0,-1,a)
设平面 PCD 的法向量为 n1=x1y1z1
CD=−3−10,CP=0−2a
{CD→·n1→=0CP→·n1→=0⇒{−3x1−y1=0−2y1+az1=0
令 z1=6,则 y1=3a,x1=−3a,所以 n1=−3a3a6
又因为 DB=2300,
所以点 B 到面 PCD 的距离 d=∣DB⋅n1∣∣n1∣=∣−6a∣3a2+9a2+36=32
所以 a=3 ,所以平面 PCD 的法向量 n1=−3396,P0−13
又因为 A(0,-1,0),所以 AP=003,AB=310
设平面 PAB 的法向量 n2=x2y2z2
{AF→·n2→=0AB→·n2→=0⇒{3z2=03x2+y2=0
令 x2=1,则 y2=−3,z2=0,所以 n2=1−30
设平面 PAB 与平面 PCD 夹角为θ,
所以 csθ=∣n1⋅n2∣∣n1∣n2∣=34.
17.(1)甲先射，甲第2 次射且胜的概率为 p
第1次甲不中,1-α,
第1次乙不中,1-β,
第2次甲中，α，
所以 p=(1-α)(1-β)α.
(2)乙先,乙胜为 pz,甲胜为 p甲,
乙胜：第1次乙中，β，
第1次乙不中，第1次甲不中，第2次乙中， 1−β21−α2β,
第1，2均未命中，第3次乙中， 1−β21−α2β,
因为构成等比，首项 q1=β,公比q=(1-α)(1-β),
故 p乙=k=0∞ β[1−α1−βk=β1−1−α1−β.
同理，甲胜： p甲=1−βα1−1−α1−β,
因为 p乙＞p甲,所以 β＞α1−β⇒β＞α1+α,
又α∈(0,1),所以 βmin=12.
18.f(x)=(1-2x) lnx+ ax-1
f'x=−2lnx+1−2xx+a
(1)当a=1时, f'x=−2lnx+1−xx,f''x=−2x−1x2＜0,
所以 f'(x)单调递减, 又 f'(1)=0 ,所以 f'(x)在(0,1) 为正,( 1+∞为负
所以f(x)在(0,1)为↗ ,(1,+∞)为\.
2f''x=−2x−1x2＜0
所以f'(x)单减,f'(1)=a-1
①由(1)知, a=1时, f(1)=0, (0,1)↗, (1,+∞)\, 此时仅有1个零点1, 此时(a=1符合；
②当a＞1时, f'1=a−1＞0,∃x0＞1,使 fx0=0,f(x)在 0x0↑,x0+∞,
f'x0=0⇒−2lnx0+1−2x0x0+a=0⇒a=2lnx0+2x0−1x0,
fxmax=fx0=1−2x0lnx0+ax0−1
=1−2x0lnx0+2x0lnx0+2x0−1−1
=lnx0+2x0−2,
设h(x)= lnx+2x-2∴h(1)=0 ,所以 h(x)＞0
所以 fxmax=lnx0+2x0−2＞0,又x→0,f(x)→-∞,
所以 f(x)有两个零点，舍.
③当a＜1时, f'1=a−1＜0,∃x0∈01,使 f'x0=0,f(x)在( 0x0/,x0+∞＞
fxmax=fx0=lnx0+2x0−2,由②知 fx0＜0,所以f(x)＜0无零点，舍
综上,a=1
(3) f(x)≤a+b 即( 1−2xlnx+ax−1≤a+b,即 b≥1−2xlnx+ax−1−1=gx
若对 ∀x＞0 恒成立,即 b≥gxmax,
又 g'x=−2lnx+1−2xx+a=−2lnx+1x+a−1
g''x=−2x−1x2＜0,g''x＜0⇒g'x
且x→0 时, g'x→+∞,x→+∞时， g'x→−∞
故 ∃x0＞0,使 g'x0=0即 −2lnx0+1x0+a−2=0,即 a=2lnx0−1x0+2
此时 gxmax=gx0=1−2x0lnx0+ax0−1−1
=1−2x0lnx0+2lnx0−1x0+2x0−1−1
=−lnx0+2x0+1x0−4
欲证 a-b≤4,此时 b≥gx0⇒−b≤−gx0
所以 a−b≤a−gx0=2lnx0−1x0+2+lnx0−2x0−1x0+4
=3lnx0−2x0−2x0+6
设 px=3lnx−2x−2x+6⇒p'x=−2x2+3x+2x2=−2x+1x−2x2
p(x) max=p(2)=3ln2-4-1+6=3ln2+1=3×0.7+1=3.1＜4
所以a-b≤4,证毕.
19. 1b=2,所以 x2a2−y22=1,所以 2a2−22=1,所以 a2=1
所以 x2−y22=1所求
(2)渐近线: y=±2x,设 Ax12x1,Bx2−2x2,μxy
因为 ∣AB∣=22,所以 x1−x22+2x1+x22=22
所以 x1−x22+2x1+x22=8
所以 2y2=2×4x2=8即 x2+y24=1
所以 E，F是点μ 的轨迹的焦点，
所以 ∣μE∣+∣μF∣=4
所以 |μEμF|≤
当且仅当 ∣μE∣=∣μF∣=2时，成立
(3)P(-t,0),Q(t,0),(t＞1)点μ 不在 x 上,∠MQP=2∠μPQ
在 △μQP 中，由正弦定理 μPsin∠μQP=μQsin∠μPQ及 ∠μQP=2∠μPQ
所以 s sin∠μQP=sin2∠μPQ=2sin∠μPQ⋅cs∠μPQ
所以 μPμQ=2cs∠μPQ
设 ∠μPQ=θ ,则 ∠μQP=2θ,θ∈0π3,cs∈121
故 μPμQ∈12,令 y＞0
又μ在 x2+y24=1,μxy,所以 tanθ=yx=t,tan2θ=yt−x
又 tan2θ=2tanθ1−tanθ⇒2yx+tx+t2−y2=yt−x⇒y2=3x2+2tx−t2=41−x2
所以 7x2+2tx−t2+4=0
所以 x=−t±22t2+77
又 x∈−1t3,所以 ∣μP∣∣μQ∣=x+t2+y2x−t2+y2,代入 y2=41−x2
即 μPμQ=−3x2=2tx+t2+43x2−2tx+t2+4
因为 x∈−1t3 ,所以 μPμQmin=2155,
综上， μPμQ∈21552.