河北省唐县2026届高三数学上学期期中调研考试试题含解析

这是一份河北省唐县2026届高三数学上学期期中调研考试试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
一、单选题
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数函数与对数函数的性质解不等式，求出集合 A 和集合 B，再取并集即可求解.
【详解】由 解得 ，故集合 ，
由 解得 ，故集合 ，
所以 .
故选：A.
2. 已知复数 为纯虚数，则实数 （ ）
A. B. 1 C. 3 D. 或 1
【答案】B
【解析】
【分析】利用纯虚数的概念可得 所满足的条件，计算求解即可.
【详解】因为复数 纯虚数，
所以 ，解得 .
故选：B.
3. 函数 在 上单调递增的必要不充分条件为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
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【分析】由函数 在 上单调递增，则 在 上恒成立，再根据二次函数恒成立的等价条件求
解即可.
【详解】由函数 在 上单调递增，得 在 上恒成立，
则 ，解得 ，
因此 A 是充分条件，B 是充要条件，C 是既不充分也不必要条件，D 是必要不充分条件.
故选：D
4. 已知等比数列 ，则 （ ）
A. 3 B. ±3 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等比数列性质计算得解.
【详解】在等比数列 中， ，由 ，得 ，
而 ，因此 ，又 ，且 同号，则 ，
所以 .
故选：C
5. 已知 ， 分别是正方体 的棱 ， 上的动点（不与顶点重合），则下列结论错
误的是（ ）
A.
B. 平面 平面
C. 四面体 的体积为定值
D. 平面
【答案】C
【解析】
【分析】A，利用线面垂直的判定定理证明 平面 即可； B，根据平面 平面
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判断； C，根据 到平面 的距离， 到 的距离为定值， 的长不是定值判断；D，根
据平面 平面 判断.
【详解】如图所示：
， 分别是正方体 的棱 ， 上的动点（不与顶点重合），
对于 A， ， ， ， 、 平面 ，
平面 ， 平面 ， ，故 A 正确；
对于 B，∵平面 平面 ，平面 与平面 重合，∴平面 平面 ，
故 B 正确；
对于 C， 到平面 的距离 为定值， 到 的距离为定值， 的长不是定值，∴四面体
的体积不为定值，故 C 错误；
对于 D，∵平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，故 D 正确．
故选：C．
【点睛】方法点睛：证明直线和平面垂直的常用方法：①线面垂直的定义；②判定定理；③垂直于平面的
传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；④面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；⑤面面垂直的性质．
6. 已知直线 与 ： 交于 两点，若 在 上的投影向量的模为
，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，将问题转化成圆心到直线的距离为 ，利用点到线的距离公式，即可求解.
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【详解】因为 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ，
又易知直线 过定点 ，
如图，过 作 于 ，因为 在 上 投影向量的模为 ，
则 ，所以 ，则 ，解得 ，
故选：D.
7. 已知数列 的前 n 项和为 ，满足 ，对于
恒成立，则 的最小值为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由累乘法求得 ，再结合错位相减求和，即可求解.
【详解】由题，
，
又 符合上式，所以
则 ，①，
，②，
由①-②，得 ，
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所以 ，
若对于 恒成立，即 对 恒成立，
所以 对 恒成立，所以 ，所以 .
故选：B
8. 已知函数 ，若方程 恰有两个不同的实数根 ， 则 的最大值是
A -1 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出 图像, 由已知得 ，令 t= ,用 t 表示出两个实数根 ， ，然后令
g(t) ，对函数 g(t)求导即可得到所求最大值.
【详解】作出 的函数图像如图所示：
由 可得 ，∴ ，即 .
不防设 ，则 ，
令 ，则 ， ，
∴ ，令 ，则 ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴当 时， 取得最大值 .
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【点睛】本题考查了函数与方程的关系，考查了数形结合的思想方法应用，属于中档题．
二、多选题
9. 已知函数 的部分图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 在区间 上的最小值为
C. 是 图象的一个对称中心
D. 将 的图象向左平移 个单位长度后，得到的图象关于 轴对称
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据图象求得 的解析式，结合三角函数周期、最值、奇偶性、对称性、图象变换等知识确定
正确答案.
【详解】对于 A，由题图可知， 的最小正周期 ，所以 ，故 A 错误
；
对于 B，由题图可知， ，且函数图象过点 ，
当 时， ，解得 ，所以 .
当 时， ，由正弦函数的单调性知，函数 在 上单调递增，
所以函数 在区间 上的最小值为 ，故 B 正确；
对于 C，因为 ，所以点 是函数 图象的一个对称中心，
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故 C 正确；
对于 D，因为 ，所以平移后得到的图象关于 轴对称，故 D 正确
.
故选：BCD.
10. 设双曲线 的左焦点为 ，右焦点为 ，点 在 的右支上，且不与 的
顶点重合，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若 且 ，则双曲线 的两条渐近线的方程是
B. 若 ，则 的面积等于
C. 若点 的坐标为 ，则双曲线 的离心率大于 3
D. 以 为直径的圆与以 的实轴为直径的圆外切
【答案】BCD
【解析】
【分析】将 且 ，带入方程求解渐近线方程即可判断 A； ，结合双曲线的定义求解即
可判断 B；把 点坐标代入 的方程，然后计算离心率的取值范围即可判断 C；画图，两圆的圆心距 是
的中位线， 两圆的半径之和，故两圆外切，即可判断 D.
【详解】当 且 时， 的渐近线斜率为 ，选项 A 错误；
，故选项 B 正确；
把 点坐标代入 的方程得：
，选项 C 正确；
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如图， 两圆的圆心距 是 的中位线，
两圆的半径之和，故两圆外切，选项 D 正确.
故选：BCD
11. 已知 是定义在 上的偶函数，且 ，则（ ）
A. 的图象关于直线 对称 B. 为奇函数
C. 的图象关于点 对称 D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用偶函数的定义，结合 ，可得 ，即可得函数的对称
性，从而判断 ABC，进一步得函数的周期性，进而根据周期性判断 D.
【详解】因为 是偶函数，且 ，
所以 ， ，
因此 的图象关于点 对称，也关于点 对称，
即 ，即 ，
所以 为奇函数，故 A 错误，B 和 C 正确；
因为 ，所以 ，于是 ，
所以 ，又 ，
所以 ，故 D 正确．
故选：BCD.
三、填空题
12. 焦点在直线 上 抛物线的标准方程为______．
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【答案】 或
【解析】
【分析】先求出直线与坐标轴的点的坐标，然后根据抛物线方程的定义求出结果即可.
【详解】抛物线的标准方程中，焦点必在坐标轴上，先求直线和坐标轴的交点：
直线 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 ，
所以抛物线的焦点为 或 ．
当焦点为 时，抛物线方程为 ；当焦点为 时，抛物线方程为 ．
综上，抛物线的标准方程为 或 ．
故答案为： 或 ．
13. 已知 ，且满足 ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】应用同角三角函数关系结合两角差的余弦化简，应用角的范围或应用三角恒等变换结合角的范围
得出 ，最后应用二倍角余弦公式计算.
【详解】法一：由 ，则 ，
因此 ，
又因 ，
所以 ，所以 ，
则 ．
法二：由 ，则 ，
结合 则 ，
则 ．
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故答案为： .
14. 已知三棱锥 中， ， 为 的中点，过点 作三
棱锥 外接球的截面，则截面面积的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】取线段 的中点 ，根据长度关系求出点 为三棱锥 的外接球球心，再根据
的关系求出 的最小值即可.
【详解】取线段 的中点 ，连接 ，
因 ， ， ，
则由勾股定理可知， ， ，则 ，
则点 为三棱锥 的外接球球心，外接球半径为
因 ，则由勾股定理可知， ，
因 为 的中点，则 ，
设球心 到过点 的三棱锥 外接球的截面的距离为 ，截面圆的半径为 ，
则 ，
欲使截面面积最小，即 最小，则要求 最大，
当 垂直截面时， 最大，最大值为 ，
则 的最小值为 ，则截面面积的最小值为 .
故答案为：
四、解答题
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15. 已知函数 ， 为 的导函数．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若函数 在 处取得极值，求 的单调区间和最值．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程；
（2）根据题意可得 ，可得 ，进而求解函数的单调区间和最值.
【小问 1 详解】
当 时， ，
则 ，则 ，又 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
【小问 2 详解】
由 ， ，则 ，
所以 ，
则 ，
因为函数 在 处取得极值，
所以 ，解得 ，
此时 ，
则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
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则 时，函数 取得极小值，满足题意，即 ，
则函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
当 时，函数 取得最小值 ，无最大值.
16. 已知数列 的前 项和 满足 ，且 .
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）记 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由等差数列的通项公式可得 ，再由 与 的关系，即可得到结果；
（2）由裂项相消法代入计算，即可得到结果.
【小问 1 详解】
，
当 时， ；
当 时， ，
且 满足上式，所以 .
【小问 2 详解】
，
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，
数列 的前 项和为 .
17. 在平面四边形 中， ， ， ， .
（1）求 的长.
（2）若 为锐角三角形，求 面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在 中求出 ，然后利用正弦定理可求出 的长；
（2）先求出 ，然后由 为锐角三角形，求出角 的范围，再利用正弦定理表示出 ，
从而可表示出 面积，化简后结合角 的范围可求得结果.
【小问 1 详解】
在 中， ， ，则
，
由正弦定理得 ， ，
所以 ，
因为
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，
所以 ；
【小问 2 详解】
因为 ， ，所以 ，
所以 ，
因为 为锐角三角形，所以 ，
即 ，解得 ，
在 中，由正弦定理得 ，
则
，
所以
，
因为 ，所以 ，
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所以 ，所以 ，
所以 ，
即 .
18. 如图，四棱锥 中， 底面 ， ， ， .
（1）若 G 点为 的重心，求 ；
（2）若 ，证明： 平面 ；
（3）若 ，且二面角 的正弦值为 ，求 .
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）设出空间的一组基向量 ，将 用基向量表示，运用数量积的运算律即可求得 ；
（2）利用题设条件，先由线线垂直证明 平面 ，得出 ，再证 ，在底面
上，可得 ，最后由线线平行证线面平行即得；
（3）设 ， ，建立空间直角坐标系 ，求出相关点和平面法向量的坐标，利用向量
夹角的坐标公式列出方程，求得 ，即得 .
【小问 1 详解】
设 ， ， ，则 ， ，
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， .
如图，连接 并延长交 于点 ,连接 ,则
两边取平方得 .
∴ ，∴ .
【小问 2 详解】
因为 平面 ，而 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
而 平面 ，所以 .
因为 ，所以 ，在底面 上，可知 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
【小问 3 详解】
设 ， ，则 ①，因 ，如图，
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过点 作 的平行线 ，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系 .
此时有
因 设平面 的法向量为 ，
则 ，故可取 ；
又 设平面 的法向量为 ，
则 ，故可取 ；
则 ，
由题意， ，即 ②
联立① ② ，解得 故
【点睛】关键点点睛：本题主要考查空间向量在证明线面关系，空间角等方面的应用，属于较难题.
解题的关键在于结合图形，要么选择空间的一组基底，将相关向量用基底表示，通过向量的线性运算和数
量积运算求得结论；要么建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算解决问题.
19. 定义：若椭圆 上的两个点 ， 满足 ，则称 A，
B 为该椭圆的一个“共轭点对”，记作 ．已知椭圆 C： 上一点 ．
（1）求“共轭点对” 中点 B 所在直线 l 的方程．
（2）设 O 为坐标原点，点 P，Q 在椭圆 C 上，且 ，（1）中的直线 l 与椭圆 C 交于两点 ．
①求点 ， 的坐标；
②设四点 ，P， ，Q 在椭圆 C 上逆时针排列，证明：四边形 的面积小于 ．
【答案】（1）
（2）① ， ；②证明见解析
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【解析】
【分析】（1）设 ，根据“共轭点对”得直线方程为 ，化简即可；
（ 2） ① 联 立 直 线 和 椭 圆 的 方 程 ， 解 出 即 可 ； ② 设 点 ， ， 利 用 点 差 法 得
，设过点 P 且与直线 l 平行的直线 的方程为 ，计算直线与椭圆相切时的
值，再检验证明此时不满足 ，则证明出面积小于 .
【小问 1 详解】
设 中点 B 的坐标为 ，
对于椭圆 C： 上的点 ，由“共轭点对” 的定义，
可知直线 l 的方程为 ，即 l： ．
【小问 2 详解】
①联立直线 l 和椭圆 C 的方程，得 解得 或 ，
所以直线 l 和椭圆 C 的两个交点的坐标为 ， ．
②设点 ， ，则 ，
两式相减得 ．
又 ，所以 ，所以 ，
即 ，线段 PQ 被直线 l 平分．
设点 到直线 的距离为 d，
则四边形 的面积 ．
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由 ， ，得 ．
设过点 P 且与直线 l 平行的直线 的方程为 ，则当 与 C 相切时，d 取得最大值．
由 消去 y 得 ．
令 ，解得 ，
当 时，此时方程为 ，即 ，解得 ，
则此时点 P 或点 Q 必有一个和点 重合，不符合条件 ，
故直线 与 C 不可能相切，
即 d 小于平行直线 和 （或 ）的距离 ．
故 .
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是设点 ，
，代入椭圆方程，利用点差法证明出线段 PQ 被直线 l 平分，再设过点 P 且与直线 l 平行的直线
的方程为 ，将其与椭圆方程联立，求出直线与椭圆相切时的 值，即可证明面积小于 .
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