河北省唐山市2025_2026学年高二数学上学期期中试题含解析

这是一份河北省唐山市2025_2026学年高二数学上学期期中试题含解析，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符号题目要求的.
1. 直线 的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意结合斜率的定义即可求得直线的倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为 ，由直线斜率的定义可知： ，则 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查直线倾斜角的定义，特殊角的三角函数值，属于基础题.
2. 在空间直角坐标系 中，点 关于平面 的对称点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】应用空间中坐标关于面的对称性质确定坐标.
【详解】在空间直角坐标系 中，点 关于平面 的对称点的坐标是 .
故选：D.
3. 已知椭圆 的离心率为 ，短半轴长为 1，则 （ ）
A B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
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【分析】根据已知条件依次求得 的值，从而确定正确答案.
【详解】依题意，短半轴 ，
由 ，解得
故选：A
4. 过点 且与圆 相切的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断出点 M 在圆上，进而求出切线斜率即可得到答案.
【详解】因为 ，所以点 M 在圆上，而 ，
则切线斜率为 ，所以切线方程为：
即
故选：A
5. 直线 （ 为任意实数）过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】含参数的项合并，让参数的系数为 0,看成两直线的交点.
【详解】由题意整理得: ,令 ，解得 .
所以直线 （ 为任意实数）过定点
故选：B.
6. 方程 表示圆，则实数 的取值范围是（ ）
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A. 或 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的一般方程的条件，通过判别式建立不等式，求解得到实数 的取值范围.
【详解】对于方程 ，若表示圆，
则需满足 （其中 ， ， ）.
代入得 ， 化简为 ，
即 ， 因式分解得 ， 解得 .
故选：B
7. 已知 为直线 上的动点，点 满足 ，则点 的轨迹方程为（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，用点 的坐标表示出点 的坐标，再代入直线 的方程化简即得.
【详解】设点 ，由 ，得点 ，又点 在直线 上，
因此 ，整理得 ，
所以点 的轨迹方程为 .
故选：B
8. 已知椭圆 的两个焦点分别为 ， ，过点 的
直线与椭圆相交于 ， 两点，且 ， ，求椭圆的离心率（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
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【解析】
【分析】通过向量关系建立点的坐标联系，代入椭圆方程并结合共线条件，推导出 与 的关系，从而求得
离心率.
【详解】由 且 ，得 .
设 ， ，则 ， ，即 ， .
因 、 在椭圆上，故 ， .
将 ， 代入第一个方程，
得 ，即 .
由 ，代入得 ，整理得 .
又 、 、 共线，故 ，结合 ，
得 ，将 代入，化简得 .
则离心率 .
故选：A
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目的要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知圆 与圆 ，则（ ）
A. 两圆的圆心距为
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B. 两圆的公切线有 2 条
C. 两圆相交，且公共弦所在的直线方程为
D. 两圆圆心所在直线方程为
【答案】ABD
【解析】
【分析】先把两圆化为标准方程得到圆心和半径，再分别分析圆心距、两圆位置关系、公共弦方程、圆心
连线方程来判断各选项.
【详解】将圆 配方得 ，
得圆心 ，半径 ；
将圆 配方得 ，
得圆心 ，半径 .
选项 A，圆心距为 ，A 正确；
选项 B， ， ，因 ，
两圆相交，公切线有 2 条，B 正确；
选项 C，两圆方程相减得 ，即 ，
并不是 ，C 错误；
选项 D，圆心连线的斜率为 ，方程为 ，
化简得 ，D 正确.
故选：ABD
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10. 已知椭圆 的两个焦点分别为 是 上任意一点，则（ ）
A. 的离心率为
B. 的周长为 12
C. 的最小值为 2
D. 的最大值为 16
【答案】BCD
【解析】
【分析】A：根据离心率定义计算出 并判断；B：根据椭圆定义计算焦点三角形的周长并判断；C：根据
的最小值为 作出判断；D：根据椭圆定义结合基本不等式计算并判断.
【详解】由已知条件得 ，
对于 A， ，故 A 错误；
对于 B， 的周长为 ，故 B 正确；
对于 C， 的最小值为 ，故 C 正确；
对于 D， ，当且仅当 时等号成立，故 D 正确，
故选：BCD.
11. 如图所示，在棱长为 2 的正方体 中， ， 分别为棱 ， 的中点，则下列
结论正确的是（ ）
A. 直线 与平面 所成角的正弦值为
B. 点 到平面 的距离为 2
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C. 直线 与 是异面直线
D. 平面 截正方体所得的截面面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，用线面角解答 A,用点到平面距离解答 B,用平行解答 C，画出平面 的
完整图形解答出 D.
【详解】如图建立空间直角坐标系：设 D 点为原点， 为 x 轴， 为 y 轴， 为 z 轴.
， ， ， ， ，
选项 A：平面 的法向量为 ,直线 的方向向量为 ,
所以所成角的正弦值为 ,选项 A 正确.
选项 B： , ,设面 的法向量为 ,
， ,令 得 ,
距离 ，所以选项 B 错误.
选项 C： , ,不存在实数 k 使得 ,所以选项 C 正确.
选项 D：因为 ,连 , ，所以平面 截正方体所得的截面是等腰梯形 ,上底
,下底 ,腰 ，
所以面积 ,故选项 D 正确.
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故选：ACD.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 已知直线 和直线 平行，则两条直线之间的距离为_____.
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据直线平行求得 ，根据两平行直线之间的距离公式求得正确答案.
【详解】由于直线 和直线 平行，
所以 ，解得 ，
所以两条直线之间的距离为 .
故答案为：
13. 长方体 中， ， ，则点 到直线 的距离等于__________.
【答案】
【解析】
【分析】以向量 ， ， 所在方向为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，连接 ，作
垂直 ，垂足为 ，求出向量 在向量 上的投影，由勾股定理即可求点 到直线 的距离.
【详解】如图，以向量 ， ， 所在方向为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
连接 ，作 垂直 ，垂足为 ，
由 ， ， ，得 ， ，
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所以 ，
又 ，所以点 到直线 的距离 .
故答案为：
14. 若圆 上到直线 距离为 1 的点有且仅有 2 个，则 的取值范围
为_____
【答案】
【解析】
【分析】先求圆心到直线 距离，再找距离直线为 1 的两条平行线，通过分析圆与这两条平行线的位置关
系，确定半径的取值范围.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 .
圆心到直线 的距离 .
设与直线 距离为 1 的两条平行线为 ，
由 ，得 或 .
则圆心到 的距离为 ，到 的距离为 .
因为圆上到直线距离为 1 的点有且仅有 2 个，
所以圆与这两条平行线一个相交、一个相离，即 .
故答案为：
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四、解答题
15. 已知直线 与直线 相交于点 ．
（1）求过点 且与直线 垂直的直线的方程；
（2）求过点 且在 轴上的截距是在 轴上的截距的 2 倍的直线的方程．
【答案】（1） ；
（2） 或 ．
【解析】
【分析】（1）通过解方程组求出交点坐标，再根据互相垂直的两直线方程的特征，利用代入法进行求解即
可；
（2）根据截距是否为零分类进行求解即可.
【小问 1 详解】
由 得 所以点 ．
设过点 且与直线 垂直的直线的方程为 ，
将点 代入方程得 ，解得 ，
所以所求直线的方程为 ．
【小问 2 详解】
当直线过原点时，直线在 轴上的截距与在 轴上的截距都是 0，显然符合题意，
设所求直线的方程为 ，将点 代入，得 ，
故所求直线方程为 ．
当直线不过原点时，设所求直线方程为 ，将点 代入，得 ，
故所求直线方程为 ，即 ．
综上所述，所求直线的方程为 或 ．
16. 如图，在平行六面体 中， ， ，
，点 为线段 中点.
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（1）求 ；
（2）求
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先设 ， ， ，得到 ，再平方即可得到答案；
（2）由 ， ，结合数量积的运算律求解数量积即可.
【小问 1 详解】
因为在平行六面体 中，点 为线段 中点，即 ．
设 ， ， ，这三个向量不共面， 构成空间的一个基底．
则 ，
因为 ．
所以 ；
【小问 2 详解】
．
又 ，
所以
．
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17. 已知圆 的圆心在直线 上，并且经过点 ，与直线 相切.
（1）求圆 的方程；
（2）经过点 的直线 与圆 交于 两点，且 ，求直线 的方程.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据题意设圆心 ，结合所过点、与直线相切列方程求参数，即可得圆心和半径，
进而写出圆的方程；
（2）由题意直线 l 与圆 C 的距离 ，讨论直线斜率，并设直线方程，应用点到直线的距离公式求参数，
可得直线方程．
【小问 1 详解】
由题意，设圆心 ，半径 ，
∵圆 M 经过点 ，∴ ，
∵圆 M 与直线 相切，
∴圆心 到直线 的距离 ，
∴ ，化简 ，解得 ，
则圆心 ，半径 ，
所以圆 M 的方程为 ．
【小问 2 详解】
由题意，圆心 到直线 的距离 ，
若直线 的斜率不存在，其方程为 ，显然符合题意；
若直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，即 ，
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则圆心 到直线 的距离由 ，解得 ，
则直线 的方程为 ，即 ，
综上，直线 的方程为 或 ．
18. 如图，四棱锥 中，底面 为菱形，侧面 为等边三角形，平面 平面 ，
， ，M 是 的中点.
（1）求证： ；
（2）求二面角 的余弦值；
（3）在线段 上是否存在点 P，使得直线 与平面 所成的角为 45°，若存在，求出 的值：若不
存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）推导出 ，从而 平面 ，由此能证明 ．
（2）建立空间直角坐标系 ，利用向量法能求出二面角 的余弦值．
（3）求出 和平面 ABE 的法向量，利用向量法能示出在线段 EC 上存在点 P，使得直线 AP 与平面 ABE
所成的角为 ，且 ．
【小问 1 详解】
证明： ，M 是 的中点.， ，
平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ，
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【小问 2 详解】
平面 ， ， 是正三角形，
两两垂直．
建立如图所示空间直角坐标系
则 0， ， 0， ， 0， ， ， 0， ，
， 0， ，
设 是平面 BCE 的一个法向量，
则 ，
令 ，得 ，
轴与平面 ABE 垂直， 是平面 ABE 的一个法向量
，
设二面角 的平面角为 ，结合图形可知 为锐角，故
二面角 余弦值为
【小问 3 详解】
假设在线段 EC 上存在点 P，使得直线 AP 与平面 ABE 所成的角为 ．
0， ， ，
设 ， ，
则 ，
直线 与平面 所成的角为 ，
，
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由 ，解得 ，
线段 上是否存在点 P，使得直线 与平面 所成的角为 45°，且
19. 已知椭圆 C： 的离心率为 ，焦距为 2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线 l： （ ）与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且 ．
①求证： 的面积为定值；
②椭圆 C 上是否存在一点 P，使得四边形 OAPB 为平行四边形？若存在，求出点 P 横坐标的取值范围；若
不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）① 证明见解析；②不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据椭圆焦距和离心率的概念求解即可；
（2）联立椭圆方程与直线方程消去 y 后，利用韦达定理和 得出 ，表示出
的面积并化简可证明 的面积为定值；假设存在椭圆上的点 P，使得 OAPB 为平行四边形，借
助 表示出点 P 坐标代入椭圆方程可得出 ，与 矛盾，从而得出结
论．
【小问 1 详解】
由题意知，焦距 ，故 ，又 ，故 ，
所以 ，故椭圆 C 的方程为 ．
【小问 2 详解】
第 15页/共 17页
①由 消去 y，化简得： ，
设 ， ，则 ，
， ，
故 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
坐标原点到直线 l 的距离为 ，
所以 的面积为 ，
故 的面积为定值．
②假设存在椭圆上的点 P，使得 OAPB 为平行四边形，则 ，
设 ，则 ，
又因为 ，即 ，得 ，
与 矛盾，
故椭圆上不存在点 P，使得 OAPB 为平行四边形．
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