2025-2026学年安徽省芜湖市鸠江区九年级上学期期末数学试卷（学生版）

这是一份2025-2026学年安徽省芜湖市鸠江区九年级上学期期末数学试卷（学生版），共7页。试卷主要包含了选择题每小题都给出A，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1.中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A.B.
C D.
2.关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（ ）
A.B.2C.D.0
3.如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ）
A.10B.12C.15D.20
4.点P1（﹣1，），P2（3，），P3（5，）均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A.B.
C.D.
5.甲口袋中装有2张卡片，它们分别写有汉字“数”、“学”；乙、丙口袋中各装有3张卡片，它们分别写有汉字“数”、“学”、“美”．从这三个口袋中各随机取出1张卡片，取出的3张卡片恰好有“数”、“学”、“美”三个字的概率是（ ）
A.B.C.D.
6.国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2023年至2025年我国快递业务收入由6000亿元增加到8500亿元．设我国2023年至2025年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
7.如图，是的直径，C为上一点，射线与相切于点C，过点A作交于点D，垂足为点E，连接，，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A.B.
C.D.
8.在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
9.如图，是的直径，，是上的两点，且平分，分别与，相交于点，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A.B.
C.D.
10.抛物线（是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；③若，则关于的一元二次方程无实数解；④点，在抛物线上，若，，总有，则．其中正确的结论有（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，满分20分）
11.已知点与关于原点对称，则________．
12.一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为_______．
13.如图，在正方形ABCD中，AD=2，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为___．
14.△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15.解方程：
16.在网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位，在中，，，．
（1）试在图中作出以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形；
（2）若点B的坐标为，试在图中画出直角坐标系，作出与关于原点对称的图形，并直接写出点、的坐标．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17.已知关于的方程．
（1）求证：方程总有两个实数根：
（2）若方程的一个根比另一个根大3，求的值．
18.为弘扬中华传统文化，某校举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．弟子规．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“弟子规”的概率是多少？
（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19.如图内接于，，CD是的直径，点P是CD延长线上一点，且．
求证：PA是的切线；
若，求的直径．
20.某电商店铺销售一种儿童服装，其进价为每件50元，现在的销售单价为每件80元，每周可卖出200件，双十二期间，商家决定降价让利促销，经过市场调查发现，单价每针降低1元，每周可多卖出20件．
（1）若想满足每周销售利润为7500元，同时尽可能让利于顾客，则销售单价为多少元？
（2）销售单价应为多少元，该店铺每周销售利润最大？最大销售利润为多少元？
六、解答题（本题满分12分）
21.阅读下列材料，完成相应的任务
任务：
（1）材料中划横线部分短缺的条件为： ；
（2）请用符号语言将下面“布拉美古塔定理”的逆命题补充完整，并证明该逆命题的正确性：
已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，F为AD上一点，直线FM交BC于点E，
① ．
求证：② ．
证明：
22.（一）猜测探究
在等边中，点是直线上的一个动点，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．
（1）如图1，当点在边上运动时，线段，和的关系是 ___________；
（2）如图2，当点运动到线段的延长线上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（二）拓展应用
如图3，将绕点逆时针旋转得到，连接，交于点，连接，若，，，求线段的长．
八、解答题（本题满分14分）
23.设二次函数，（，，是实数，）．
（1）若，函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求，的值．
（2）设函数的最大值为，函数的最小值为，若，求证：．
（3）若函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，求证：．婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，特别是在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”．该定理的内容及部分证明过程如下：
古拉美古塔定理：已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，直线ME⊥BC，垂足为E，并且交直线AD于点F，则AF＝FD．
证明：∵AC⊥BD，ME⊥BC
∴∠CME+∠C＝90°，∠CBD+∠C＝90°
∴∠CBD＝∠CME
∴ ，∠CME＝∠AMF
∴∠CAD＝∠AMF
∴AF＝MF
…